Ecuații Euler (dinamica fluidelor)

În dinamica fluidelor , ecuațiile Euler sunt cele trei ecuații de echilibru canonic care descriu un flux inviscid . Ei își datorează numele matematicianului și fizicianului elvețian Euler , elev al lui Johann Bernoulli .

Ecuațiile

Ecuațiile lui Euler, în forma cea mai generală posibilă, sunt:

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \ \mathbf {u} \right)=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \ \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\,{\textrm {I}}\right)=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial E_{tot}}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left[\mathbf {u} \left(E_{tot}+P\right)\right]=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ \ mathbf {u} \ right) = 0 \\\\\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + p \, {\ textrm {I}} \ right) = 0 \\\\\ displaystyle {\ frac {\ partial E_ {tot}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left [\ mathbf {u} \ left (E_ {tot} + P \ right) \ right] = 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ \ mathbf {u} \ right) = 0 \\\\\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + p \, {\ textrm {I}} \ right) = 0 \\\\\ displaystyle {\ frac {\ partial E_ {tot}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left [\ mathbf {u} \ left (E_ {tot} + P \ right) \ right] = 0 \ end {cases}}}

Unde ρ este densitatea fluidului, u viteza acestuia, p presiunea , E _tot energia totală pe unitate de volum. Sistemul de ecuații trebuie completat cu un model fluid complet, adică asigurând o ecuație canonică sau două ecuații de stare.

În ceea ce privește primele două ecuații ale sistemului, acestea descriu echilibrul masei ( ecuația continuității ) și impulsul într-un fluid . Având în vedere un caz bidimensional și staționar, le putem exprima în termeni de componente de viteză ( v _x , v _y ), densitate ρ și presiune p pentru fiecare punct ( x , y ) al unui sistem cartesian de referință.

Ecuația de continuitate :

{\frac {\partial \rho v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v_{y}}{\partial y}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {y}} {\ partial y}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {y}} {\ partial y}} = 0}

Moment lung x :

{\frac {\partial \rho v_{x}^{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v_{x}v_{y}}{\partial y}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} ^ {2}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} ^ {2}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

Moment de-a lungul y :

{\frac {\partial \rho v_{x}v_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v_{y}^{2}}{\partial y}}=-{\frac {\partial p}{\partial y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} v_ {y}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {y} ^ {2}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho v_ {x} v_ {y}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v_ {y} ^ {2}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

Dacă luăm în considerare fluidul incompresibil, care este plauzibil pentru viteze mici, în mod evident, densitatea rămâne constantă și, prin urmare, ecuațiile devin:

Ecuația de continuitate:

{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = 0}

Moment lung x :

v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}

{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + v_ {y} {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + v_ {y} {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

Elan de-a lungul y :

v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}

{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} + v_ {y} {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} + v_ {y} {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

Ecuațiile diferențiale date mai sus sunt de obicei rezolvate prin metode numerice în dinamica calculului fluidelor (CFD).

Ele au, de asemenea, o importanță enormă în diferite probleme de dinamică a fluidelor. De exemplu, ele pot fi utilizate pentru calcularea forțelor aerodinamice ( ridicare și tracțiune ) care acționează asupra unui profil aerian , dacă sunt cuplate cu un tratament al stratului limită în regiunile apropiate corpului.

Mai mult, aceste ecuații, integrate de-a lungul unei linii de curgere în cazul unui debit incompresibil ( $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$ ) și staționare (adică debitul care nu depinde de timp), conduc la binecunoscuta ecuație Bernoulli , care exprimă într-un mod foarte simplu relația dintre presiune și viteză . Pe de altă parte, efectul Coandă poate fi demonstrat prin integrarea în direcția normală a liniilor de curgere.

Derivarea ecuației de continuitate

Dorind să derivăm ecuația continuității, care explică principiul conservării masei în fluidul dinamic, considerăm o suprafață $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ care cuprinde un volum V de fluid. Masa în interiorul suprafeței închise va fi dată de integral peste volumul închis al densității , nu neapărat constantă, a fluidului:

{\ displaystyle M _ {\ Sigma} = \ int \ limits _ {V} \ rho ({\ vec {r}}, t) dV}

Dorind să găsim o funcție care exprimă fluxul de masă, să luăm o suprafață infinitesimală

d\Sigma

{\ displaystyle d \ Sigma}

{\ displaystyle d \ Sigma}

orientat de un versor

{\hat {n}}

{\ displaystyle {\ hat {n}}}

{\ hat {n}}

(să luăm ieșirea de pe fața infinitesimală). Infinitezimal Debitul calculat pe suprafață va fi inscriptibil ca produs al timpilor de masa infinitezimal viteza fluidului:

{\ displaystyle d \ Phi _ {\ Sigma} = \ rho ({\ vec {r}}, t) {\ vec {v}} ({\ vec {r}}, t) {\ hat {n}} d \ Sigma}

unde de fapt masa infinitesimală este exprimată ca

dm=\rho dV

{\ displaystyle dm = \ rho dV}

{\ displaystyle dm = \ rho dV}

.

Luând integralul pe întreaga suprafață care cuprinde volumul V, obținem că debitul este:

{\ displaystyle \ Phi _ {\ Sigma} = \ oint \ limits _ {\ partial \ Sigma} \ rho {\ vec {v}} {\ hat {n}} d \ Sigma}

În acest moment, pentru conservarea masei trebuie verificat că derivata masei care respectă timpul corespunde fluxului de masă care traversează suprafața, prin urmare:

{\ displaystyle {\ frac {dM _ {\ Sigma}} {dt}} = - \ Phi _ {\ Sigma}}

unde semnul derivă din alegerea vectorului unitar care iese din suprafață.

În termeni integrali, aceasta implică faptul că:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int \ limits _ {V} \ rho dV = - \ oint \ limits _ {\ partial \ Sigma} \ rho {\ vec {v}} {\ hat { n}} d \ Sigma}

Prin exploatarea teoremei Gauss (sau teorema divergenței) putem rescrie fluxul de-a lungul suprafeței ca divergență a funcției integrand asupra volumului și obținem:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int \ limits _ {V} \ rho dV = - \ int \ limits _ {V} \ nabla (\ rho {\ vec {v}}) dV}

Luând toți termenii pe o parte și aducând operatorul derivat în prima integrală avem:

{\ displaystyle \ int \ limits _ {V} {\ frac {d \ rho} {dt}} dV + \ int \ limits _ {V} \ nabla (\ rho {\ vec {v}}) dV = 0}

În timp ce derivatul $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , care depinde și de spațiu, în ceea ce privește timpul avem o derivată parțială :

{\ displaystyle \ int \ limits _ {V} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} dV + \ int \ limits _ {V} \ nabla (\ rho {\ vec {v}}) dV = 0}

Pentru liniaritatea integralei, atunci integrala făcută pe ambele funcții trebuie să fie nulă, ceea ce este ca și cum ai cere ca argumentul integral să fie nul și, prin urmare, găsim:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

Extensie

Ecuațiile lui Euler neglijează vâscozitatea și conductivitatea termică a fluidului. Când acestea iau relevanță, forma generală a ecuațiilor de mișcare a unui fluid este dată de ecuația Navier .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 32463 · BNF (FR) cb12103836j (data)

Portalul de matematică

Portal mecanic