Ecuațiile Friedmann

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Ecuațiile Friedmann sunt un set de ecuații din cosmologia fizică care guvernează expansiunea spațiului în modele omogene și izotrope ale universului în contextul relativității generale . Ele au fost derivate pentru prima dată de Aleksandr Fridman în 1922 din ecuația de greutate a câmpului Einstein în metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker și un fluid perfect cu o densitate de masă dată și presiune . [1] Ecuațiile pentru curbura spațială negativă sunt obținute de Fridman în 1924. [2]

Recrutări

Pentru a deriva ecuațiile lui Friedmann este necesar să presupunem că universul este spațial omogen și izotrop (adică să presupunem principiul cosmologic ); empiric, acest lucru este rezonabil la scări mai mari de ~ 100 Mpc . Principiul cosmologic implică faptul că metrica universului trebuie să fie de formă

unde este este o metrică tridimensională care trebuie să fie (a) spațiu plat, (b) o sferă cu curbură pozitivă constantă sau (c) un spațiu hiperbolic cu curbură constantă negativă. Aceasta este metrica Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker (FLRW). Parametrul discutată mai jos, în funcție de tipul de spațiu, își asumă valorile curburii Gaussiene corespunzătoare, respectiv 0, 1, −1. Acest fapt ne permite să înțelegem „ factorul de scară .

Ecuațiile lui Einstein raportează acum evoluția acestui factor de scară la presiunea și energia materiei din univers. Din metrica FLRW este posibil să se calculeze simbolurile Christoffel și, prin urmare, tensorul Ricci . Din acestea, cu tensorul energie-impuls pentru un fluid perfect, ecuațiile descrise mai jos sunt obținute din ecuațiile de câmp ale lui Einstein.

Ecuații

Există două ecuații Friedmann independente pentru modelarea unui univers omogen și izotrop. Primul este:

care se obține din componenta 00 a ecuației câmpului lui Einstein . Al doilea este:

care se obține din prima împreună cu urma ecuației câmpului (dimensiunea celor două ecuații este timpul −2 ).

În aceste ecuații este factorul de scară, G , Λ și c sunt constante universale ( G este constanta gravitațională universală , Λ este constanta cosmologică (dimensiunile lungime -2 ) și c este viteza luminii în vid). ρ și p sunt densitatea de masă volumetrică (nu densitatea energetică) și respectiv presiunea. k este o constantă fixă ​​pentru o anumită soluție, dar variază în funcție de soluție.

În ecuațiile anterioare, , ρ și p sunt funcții ale timpului. este curbura spațială la un anumit moment din univers; este egal cu o șesime din scalarul spațial Ricci dat fiind faptul că în modelul spațial Friedmann

Raportul se numește parametrul Hubble .

Observăm că, în ecuațiile lui Friedmann, nu depinde de sistemul de coordonate ales la un moment fix. Există două opțiuni comune pentru Și care descriu aceeași fizică:

  • k = +1, 0 sau −1, în funcție de faptul dacă forma universului este o 3-sferă plană închisă (adică un spațiu euclidian ) sau respectiv un 3- hiperboloid deschis. [3] Dacă k = +1, atunci este raza de curbură a universului, dacă k = 0, atunci poate fi fixat la un număr pozitiv la un anumit moment. Dacă k = −1, atunci (aproximativ) putem spune asta · este raza de curbură a universului.
  • este factorul de scară setat la 1 în prezent. este curbura spațială când (adică la timpul prezent). Dacă forma universului este hipersferică e este raza de curbură ( la timpul prezent), atunci . De sine este pozitiv, atunci universul este hipersferic. De sine este zero, atunci universul este plat . De sine este negativ, atunci universul este hiperbolic .

Folosind prima ecuație, putem rescrie a doua ecuație ca

care elimină și exprimă conservarea energiei de masă .

Aceste ecuații sunt uneori simplificate prin substituire

a da:

Forma simplificată a celei de-a doua ecuații este invariantă în această transformare.

Parametrul Hubble se poate schimba în timp dacă alte părți ale ecuației sunt dependente de timp (în special densitatea masei, energia vidului sau curbura spațială). Calculul parametrului Hubble la momentul curent dă constanta Hubble care este constanta de proporționalitate a legii Hubble . Aplicate unui fluid cu o ecuație de stare dată, ecuațiile lui Friedmann dau evoluția timpului și geometria universului în funcție de densitatea fluidului.

Unii cosmologi numesc a doua dintre aceste două ecuații ecuația Friedmann pentru accelerație și rezervă termenul de ecuație Friedmann doar pentru prima ecuație.

Parametrul densității

Parametrul densității este definit ca raportul densității reale (sau observate) cu densitate critică a universului Friedmann. Relația dintre densitatea reală și densitatea critică determină geometria generală a universului; unde sunt egali, geometria universului este plană (euclidiană). În modelele primitive, care nu includeau termenul constantei cosmologice , densitatea critică a fost inițial definită ca punct de distribuție a apei dintre un univers în expansiune și un univers contractant.

În prezent, densitatea critică este estimată la aproximativ 5 atomi ( hidrogen monatomic) pe metru cub, în ​​timp ce densitatea medie a materiei obișnuite ( barion ) din univers este considerată a fi de aproximativ 0,2-0,25 atomi pe metru cub. [4] [5]

Distribuția relativă estimată a componentelor densității energetice ale universului. Energia întunecată domină energia totală (74%), în timp ce materia întunecată (22%) reprezintă cea mai mare parte a masei. Din restul de materie barionică (4%), doar o zecime este compactă. În februarie 2015, echipa europeană de cercetare din spatele navei spațiale Planck Surveyor a publicat noi date care afirmă aceste valori la 4,9% pentru materia obișnuită, 25,9% pentru materia întunecată și 69,1% pentru energia întunecată.

O densitate mult mai mare provine din materia întunecată necunoscută; atât materia obișnuită, cât și cea întunecată contribuie la contracția universului. Cu toate acestea, cea mai mare parte provine din așa-numita energie întunecată , care ia în considerare termenul constantei cosmologice. Deși densitatea totală este egală cu densitatea critică (mai exact, cu excepția cazului în care există o eroare de măsurare), energia întunecată nu duce la contracția universului, ci mai degrabă ar putea accelera expansiunea acestuia. Astfel, universul s-ar putea extinde pentru totdeauna.

O expresie pentru densitatea critică poate fi găsită prin asumarea constantei cosmologice Λ la zero (așa cum este adevărat pentru toate universurile Friedmann) și prin stabilirea curburii spațiale normalizate, k , egală cu zero. Când substituțiile sunt aplicate primei ecuații Friedmann obținem:

(unde h = H o / (100 km / s / Mpc). Pentru H o = 67,4 km / s / Mpc, adică h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 −27 kg / m 3 )

Parametrul densității (util pentru compararea diferitelor modele cosmologice) este, prin urmare, definit ca:

Prima ecuație Friedmann este adesea văzută în termeni de valori reale ale parametrilor de densitate, adică [6]

Aici este densitatea radiației curente (adică când ), este densitatea curentă a materiei ( întuneric plus barion ), este "densitatea curburii spațiale" actuale și este constanta cosmologică sau densitatea de curent a vidului.

Soluții utile

Ecuațiile Friedmann pot fi rezolvate exact în prezența unui fluid perfect cu ecuația de stare

unde este este presiunea , este densitatea de masă a fluidului din sistemul de referință în mișcare e este o anumită constantă.

În cazul planului spațial ( k = 0), soluția pentru factorul de scală este

unde este este o anumită constantă de integrare care trebuie fixată cu alegerea condițiilor inițiale. Această familie de soluții etichetate de este extrem de important pentru cosmologie. De exemplu, descrie un univers dominat de materie, în care presiunea este neglijabilă în comparație cu densitatea de masă. Din soluția generică este ușor de văzut că într-un univers dominat de materie factorul de scară are o tendință asemănătoare

Un alt exemplu important este cazul unui univers dominat de radiații, adică când . Asta duce la

Rețineți că această soluție nu este valabilă pentru un univers dominat de constanta cosmologică, care corespunde . În acest caz, densitatea energiei este constantă, iar factorul de scară crește exponențial.

Amestecuri

Dacă materia este un amestec de două sau mai multe fluide care nu interacționează, fiecare cu propria ecuație de stare, atunci

este valabil separat pentru fiecare fluid f . In orice caz,

din care se obține

De exemplu, se poate forma o combinație liniară de astfel de termeni

unde: A este densitatea „prafului” (materie obișnuită, w = 0) când ; B este densitatea radiației ( w = 1/3) când ; C este densitatea „energiei întunecate” ( w = -1). Aceasta este înlocuită în

și rezolvă pentru în funcție de timp.

Ecuația Friedmann a fost redefinită

Intreaba-te pe tine insuti , unde este Și sunt respectiv factorul de scară și parametrul Hubble în prezent. Atunci ai

unde este . Pentru fiecare formă de potențial eficient , există o ecuație de stare cine o va produce.

Notă

  1. ^ ( DE ) A. Friedman , Über die Krümmung des Raumes , în Z. Phys. , vol. 10, nr. 1, 1922, pp. 377-386, bibcode : 1922ZPhy ... 10..377F , DOI : 10.1007 / BF01332580 . (Traducere în limba engleză: A Friedman, On the Curvature of Space , în General Relativity and Gravitation , vol. 31, nr. 12, 1999, pp. 1991-2000, Bibcode : 1999GReGr..31.1991F , DOI : 10.1023 / A: 1026751225741 . ). Manuscrisul original rusesc este păstrat în arhiva Ehrenfest .
  2. ^ ( DE ) A Friedmann , Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes , in Z. Phys. , vol. 21, n. 1, 1924, pp. 326–332, Bibcode : 1924ZPhy ... 21..326F , DOI : 10.1007 / BF01328280 . (Traducere în limba engleză: A Friedmann, On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space , in General Relativity and Gravitation , vol. 31, n. 12, 1999, pp. 2001–2008, Bibcode : 1999GReGr..31.2001F , DOI : 10.1023 / A: 1026755309811. )
  3. ^ Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity , ISBN 0-19-859686-3 .
  4. ^ Rees, M., Just Six Numbers, (2000) Orion Books, Londra, p. 81, p. 82 [ neclar ]
  5. ^ Din ce este făcut universul? , la map.gsfc.nasa.gov .
    "Densitatea efectivă a atomilor este echivalentă cu aproximativ 1 proton la 4 metri cubi." .
  6. ^ Robert J. Nemiroff și Patla, Bijunath, Adventures in Friedmann cosmology: O extindere detaliată a ecuațiilor cosmologice Friedmann , în American Journal of Physics , vol. 76, p. 265, Bibcode : 2008AmJPh..76..265N , DOI : 10.1119 / 1.2830536 , arXiv : astro-ph / 0703739 .

Bibliografie

Elemente conexe