ecuațiile lui Maxwell

Ecuațiile lui Maxwell (așa - numitele , deoarece acestea au fost elaborate de James Clerk Maxwell ) sunt un sistem de cuplat liniar ecuații diferențiale parțiale (două vectoriala și două scalar , pentru un total de opt ecuații scalare) care, împreună cu forța Lorentz , constituie legile fundamentale care reglementează interacțiunea electromagnetică . ^[1]

Folosit în fizica clasică , ele exprimă evoluția în timp și constrângerile la care câmpul electromagnetic este supus în raport cu distribuțiile de sarcină și a curentului electric din care este generat.

Ei grup și să extindă legile electromagnetismului, cunoscute până la mijlocul secolului al 19 - lea , inclusiv legea lui Gauss pentru câmpul electric și legea lui Faraday . Această sinteză a fost realizată de Maxwell care, prin adăugarea curentului de deplasare la legea lui Ampère , a făcut ecuațiile ce descriu câmpul electric și câmpul magnetic într - un clasic sau non - cuantic mod, simetrice. Devine vizibil în acest fel că acestea sunt două manifestări ale aceleiași entități, câmpul electromagnetic. Domeniul electromagnetismului care studiază câmpurile electromagnetice neglija aspectele lor cuantice este electrodinamicii clasice .

Cele patru ecuații arată câmpuri electrice cum dinamice, adică variabile în timp, sunt capabile să genereze câmpuri magnetice și vice - versa, astfel unificarea, teoretic și într - un mod perfect simetric, de energie electrică cu magnetism , deja exprimat experimental în legea Faraday-Neumann- Lenz . Maxwell însuși a observat că ecuațiile recunosc undei soluții, care au dus la descoperirea undelor electromagnetice și , în special , natura luminii a fost explicată, până în prezent subiectul diferitelor speculații teoretice. Câmpurile electromagnetice, introduse inițial ca o entitate matematică, dobândit propria lor realitate fizica, deoarece acestea ar putea exista independent de sursele pe care le-au generat.

fundal

Ecuațiile apar pentru prima dată în formă completă și diferențială în text O teorie Dynamical a câmpului electromagnetic , publicat de James Clerk Maxwell în 1865 , în timp ce notatia moderna cea mai comuna a fost dezvoltat de Oliver Heaviside .

Formularea ecuațiilor lui Maxwell a definit complet legătura dintre câmpul electric și câmpul magnetic , în mod definitiv unificarea electricității și magnetism și în același timp o sinteză teoretică a tuturor fenomenelor experimentale conectate la aceste domenii. Faraday a observat deja o influență magnetică asupra câmpului electric: cu cel mai recent al lui Maxwell la ecuațiile, în cazul în care curentul de deplasare este introdus, cele două domenii sunt considerate în toate privințele două manifestări diferite ale unui singur câmp, câmp electromagnetic . ^[2]

Cu toate acestea, importanța lor nu se încheie la nivel istoric în caracterul lor sintetic: ele au și un caracter predictiv, care a deschis la predicție și detectarea experimentală ulterioară a existenței undelor electromagnetice , necunoscute anterior, a căror descoperire a fost facuta de catre Hertz . În Italia, studiile privind undele electromagnetice au fost efectuate de către Righi , printre altele , și a condus unul dintre studenții săi, Marconi , la inventarea telegrafului fără fir.

Descrierea relativistă a câmpului necesar ulterior introducerii tensorului electromagnetic , patru - potențialul și utilizarea patru vector notație. În același timp, electrodinamică cuantică și teoria câmpului cuantic au dezvoltat, care au dat un sens mai profund fizic la conceptul de potențial quad și câmp tensorial . ^[3]

descrierile conceptuale

Legea lui Gauss

Legea lui Gauss descrie relația dintre un câmp electrostatic și încărcările electrice pentru că: punctele de câmp electrostatic din sarcinile pozitive și față de sarcinile negative, fluxul câmpului electric prin orice suprafață închisă este proporțională cu sarcina din interiorul suprafeței . Prin înfățișând câmpului electric cu liniile sale de câmp, aceasta înseamnă că liniile începe la sarcinile pozitive și se termină sarcinile negative. „Numărarea“ numărul de linii de câmp care traversează o suprafață închisă dă încărcătura totală (inclusiv taxa datorată polarizarea electrică ) închisă de acea suprafață, împărțită la permitivitatea vidului .

Portretizarea a liniilor de forță ale câmpului magnetic

Legea lui Gauss pentru magnetism

Legea lui Gauss aplicată stările de câmp magnetic că nu există „taxe magnetice“ (numite poli magnetici ) analoage sarcinilor electrice. ^[4] În locul lor, câmpul magnetic din cauza materialelor este generată de o configurație numită un dipol magnetic , iar fluxul câmpului magnetic prin orice suprafață închisă este zero. Deși dipoli magnetice seamănă cu o pereche de sarcini magnetice pozitive și negative (ca în cazul dipol electric ), acestea sunt cel mai bine reprezentate ca bobine de curent care curge. Din punct de vedere tehnic, legea prevede că fluxul magnetic total pe o suprafață gaussiană este zero, sau, echivalent, încât câmpul magnetic de inducție este un câmp vectorial solenoidali . Este o greșeală foarte comună să cred că validitatea acestei legi presupune existența unor linii de flux magnetic închis numai pe ei înșiși (eventual la infinit). Această configurație, în timp ce suficientă pentru a se conforma legii, nu este strict necesar. De fapt, există numeroase exemple de situații în care liniile de curgere ale inducției magnetice nu sunt curbe închise ^[5] .

Legea lui Faraday

Într - o furtună solară , o creștere bruscă a fluxului de particule încărcate modificå câmpul geomagnetic , care induce câmpuri electrice din atmosferă, provocând evacuări în grilele electrice (nu la scară)

Maxwell - Versiunea Faraday a lui Faraday drept descrie modul în care un câmp magnetic variabil în timp creează ( „induce“) un câmp electric. ^[4] În formă integrală, se afirmă că activitatea pe unitatea de încărcare necesară pentru a muta o taxă în jurul unei buclă închisă este egală cu rata de scădere a fluxului magnetic pe întreaga suprafață închisă.

Inducție electromagnetică este principiul din spatele multor generatoare electrice : de exemplu, un magnet rotativ creează un câmp magnetic variabil, care , la rândul său , generează un câmp electric într - un fir din apropiere.

Legea Ampère-lui Maxwell

Memoria miez magnetic este o aplicare a legii lui Ampère . Fiecare magazine de bază un bit de date.

Legea lui Ampère cu statele lui Maxwell plus , că câmpurile magnetice pot fi generate în două moduri: prin curenți electrici (cum spune legea lui Ampere originală) și prin câmpuri electrice variabile (acest lucru este adăugarea lui Maxwell, numit de el curentul de deplasare ). Sub formă integrală, câmpul magnetic indus în jurul oricărui circuit închis este proporțională cu curentul electric plus curentul de deplasare (proporțională cu viteza de schimbare a fluxului) pe întreaga suprafață închisă.

plus lui Maxwell este deosebit de importantă: ea face ca sistemul de ecuații matematic consistente pentru câmpurile non-statice, fără a schimba legile lui Ampère și Gauss pentru câmpuri statice. ^[6] Cu toate acestea, ca o consecință, prezice că un câmp magnetic variabil induce un câmp electric și invers. ^[4] ^[7] Prin urmare, aceste ecuații permit undelor electromagnetice de deplasare în spațiul gol.

Viteza calculată pentru undele electromagnetice, care ar putea fi prezise din experimentele privind taxele și curenți, ^{[Nota 1]} exact este egal cu viteza luminii ; de fapt, lumina este o formă de radiație electromagnetică (cum ar fi razele X , unde radio și alte valuri). Maxwell a înțeles legătura dintre undele electromagnetice și lumină în 1861, unificarea astfel teoriile electromagnetism și optică .

Descriere

Ecuațiile lui Maxwell descrie modul în care câmpul electric și câmpul magnetic interacționează unele cu altele și cu obiecte care au sarcina electrica . Combinat cu lui Newton a doua lege a mișcării și a forței Lorentz : ^[8]

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {B})}

\ Mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {B})

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un punct-ca sarcină electrică în mișcare cu instantanee viteza $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ în prezența unui câmp electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ și un câmp magnetic $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ , Ecuațiile lui Maxwell caracterizează complet fenomenelor electromagnetice clasice, care reglementează evoluția dinamică a câmpurilor și geneza pornind de la distribuții de sarcină arbitrare.

De obicei , ecuațiile sunt exprimate în formă locală, folosind taxa de densitatea și densitatea de curent pentru descrierea surselor de câmp. Prin operatori diferențiali divergența și rotorul propagarea câmpului este prezentată ca o funcție de spațiu $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

În formalismul Heaviside și Lorentz ecuațiile lui Maxwell sunt scrise ca un sistem de patru ecuații, dintre care două sunt vectoriala și două sunt scalar: de aceea ele pun opt constrângeri, iar necunoscutele care apar în ele sunt patru funcții vectoriale $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ , $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ , unde este $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ acestea sunt, respectiv, câmpurile electrice și magnetice atunci când acestea se propage în materiale. Acestea sunt douăsprezece funcții scalare ale poziției și timp care reprezintă, respectiv, câmpul electric în vid, câmpul electric din materiale, câmpul magnetic în vid și câmpul magnetic în materiale.

Următoarele două ecuații omogene dețin, atât în vid și în mijloace materiale:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {E} = - {\ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial}} \ prototipurilor \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ Nabla \ ori \ mathbf {E} = - \ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial} \ prototipurilor \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0

Ele reprezintă în formă diferențială, care este valabilă local, legea inducției electromagnetice de Faraday-Neumann-Lenz și legea privind fluxul câmpului magnetic al Gauss (care descrie inexistența taxelor magnetice izolate sau monopolii magnetice ) .

Următoarele două ecuații descriu modul în care materia interacționează cu câmpuri electrice și magnetice, devenind polarizat:

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ prototipurilor \ nabla \ ori \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ parțial \ mathbf {D}} {\ t parțial} } \}

\ Nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ prototipurilor \ nabla \ ori \ mathbf {H} = \ mathbf J + \ frac {\ parțial \ mathbf {D}} {\ t parțial} \

în cazul în care densitatea de curent, sursa de câmp, $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ $\ Mathbf J = \ rho \ mathbf v$ este dată de densitatea de sarcină $\mathbf {\rho }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ rho}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ rho}}$ se deplasează la derivei viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ . Cea de a doua dintre acestea se numește legea lui Ampère-lui Maxwell și încorporează declarația ecuației de continuitate , care impune conservarea taxelor de un curent electric:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial} + \ nabla \ cdot \ mathbf J = 0

care poate fi obținut prin aplicarea operatorului de divergență legii Ampère-lui Maxwell.

ecuațiile lui Maxwell în medii materiale nu sunt o problemă bine pusă în sens strict, deoarece numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute și, în plus, nu toate cele opt ecuații sunt independente, în virtutea proprietăților generale ale câmpurilor vectoriale fizice.

Prin urmare, există două constrângeri scalare care reduc numărul de ecuații independente până la șase: prin urmare, este o chestiune de scădere a numărului de necunoscute, prin introducerea altor relații, numite ecuațiile constitutive ale mijloacelor materiale, împreună cu luând în considerare forța Lorentz la sarcini electrice.

Relațiile constitutive sunt de forma:

\mathbf {D} =\mathbf {D(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )} \qquad \mathbf {H} =\mathbf {H(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {D (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})} \ prototipurilor \ mathbf {H} = \ mathbf {H (\ mathbf {E}, \ mathbf {B })}}

\ Mathbf {D} = \ mathbf {D (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})} \ prototipurilor \ mathbf {H} = \ mathbf {H (\ mathbf {E}, \ mathbf {B})}

pentru că ei trebuie să exprime modul în care reacþioneazã materie, polarizant în sine, în ceea ce privește acțiunea câmpurilor pe ea $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ . Dacă funcționează $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ Și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ acestea sunt regulate , atunci ele pot fi considerate ca fiind dezvoltate în serie Taylor în variabile $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , Iar dacă acestea sunt suficient de slabe se poate presupune că materia într-un Reacția produsă liniar, adică direct proporțională cu câmpurile. Cu alte cuvinte, se poate gândi la oprirea dezvoltării analitic la primul ordin diferențial și scris:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \qquad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu }}

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} \ prototipurilor \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} \ prototipurilor \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu}}}

ecuaţiile

În sistemul internațional de unități , expresia ecuațiile lui Maxwell este după cum urmează: ^[1] ^[9] ^[10]

	În gol		În materialele
Nume	formularul Local	formularul Global	formularul Local	formularul Global
Legea lui Gauss Electric	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$	$\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\mathop {\mathrm {d} V}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}} } \ mathop {\ mathrm {d} V}}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}} } \ mathop {\ mathrm {d} V}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}$	$\oint _{\partial V}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho _{f}\mathop {\mathrm {d} V}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ rho _ {f} \ mathop {\ mathrm {d} V }}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ rho _ {f} \ mathop {\ mathrm {d} V }}$
Legea lui Gauss magnetic	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}$
Legea lui Faraday	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {E} = - {\ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial}}}$ $\ Nabla \ ori {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ parțial {\ mathbf {B}}} {\ t parțial}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {E} = - {\ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial}}}$ $\ Nabla \ ori {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ parțial {\ mathbf {B}}} {\ t parțial}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {B } \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$
Legea Ampère-lui Maxwell	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parțial \ mathbf {E}} { \ t parțial}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parțial \ mathbf {E}} { \ t parțial}}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ int _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ int _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {f} + {\ frac {\ parțial \ mathbf {D}} {\ t parțial}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {f} + {\ frac {\ parțial \ mathbf {D}} {\ t parțial}}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int _ {S} \ mathbf {J} _ {f} \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {S} + {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {d} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int _ {S} \ mathbf {J} _ {f} \ cdot \ mathrm {d } \ mathbf {S} + {\ frac {d} {dt}} \ int _ {S} \ mathbf {d} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$

cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o suprafață, $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ contur (curba definite luând în considerare o secțiune a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ), $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un volum e $\partial V$ ${\ Displaystyle \ parțială V}$ $\ V parțial$ suprafața pe care îl delimitează. Integralele pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $\partial V$ ${\ Displaystyle \ parțială V}$ $\ V parțial$ definesc fluxul de cantități integrate, integrala pe linie $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ definește un circuit de timp ce integralei pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un volum integral.

Vectorul $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ este câmpul electric într - un vid, $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$ $\ Mathbf D = \ varepsilon_0 \ mathbf E + \ mathbf P$ este câmpul electric în materiale, de asemenea , numit de inducție electrică și care ia în considerare polarizarea electrică $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf P$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ acesta este câmpul magnetic perceput într - un punct, de asemenea , numit inducție magnetică, de altfel $\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ mathbf {B} / \ mu _ {0} - \ mathbf {M}}$ $\ mathbf H = \ mathbf B / \ mu_0 - \ mathbf M$ este un câmp magnetic introdus în materialele (numite „câmp de magnetizare“), care ia în considerare polarizarea magnetică $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ , Și $\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho _ {f}$ este gratuit electric densitatea de sarcină , adică densitatea de încărcare nu se limitează la un dielectric. Produsul $\mathbf {J} _{f}=\rho _{f}\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ rho _ {f} \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ rho _ {f} \ mathbf {v}}$ din urmă cu viteza de drift este densitatea de vectorul de liber curent electric . cele tensorii $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sunt respectiv permitivitatea electrică și permeabilitatea magnetică , care în vid sunt numere și sunt legate prin relația:

{1 \over c^{2}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}

{\ Displaystyle {1 \ peste c ^ {2}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}

{\ Displaystyle {1 \ peste c ^ {2}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii .

Relațiile dintre câmpurile sunt:

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\mathbf {E} \qquad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu }}={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}\mu _{r}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r} \ mathbf {E} \ prototipurilor \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu}} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0} \ mu _ {r}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r} \ mathbf {E} \ prototipurilor \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu}} = {\ frac {\ mathbf {B}} {\ mu _ {0} \ mu _ {r}}}}

unde este $\varepsilon _{r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ $\ varepsilon_r$ Și $\mu _{r}$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}}$ $\ mu_r$ ele sunt numite constantă dielectrică relativă și permeabilitatea magnetică relativă și sunt caracteristici ale mediului. Ele depind, în general pe direcția în mediu și pe frecvența câmpurilor (din urmă influențează în special permitivității electrice).

In cel mai simplu caz liniar, medii staționare, omogene, fără dispersie și izotrope, permitivitatea electrică și permeabilitatea magnetică sunt reduse la constante (tensori cu toate elementele egale). În acest caz, polarizarea și magnetizare vectorii sunt direct proporționale, în fiecare direcție, respectiv la câmpuri electrice și magnetice, precum și gradele de libertate ale ecuațiilor sunt reduse la jumătate. De asemenea, puteți să le aducă $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ din integralele și derivați.

Trebuie remarcat faptul că cantitățile „fundamentale“ sunt $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ , in timp ce $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ acestea trebuie considerate ca instrumente pentru a nu lua în considerare ceea ce se întâmplă în interiorul materialului.

În spațiul liber (adică în absența efectivă și sursele de curent) ecuațiile sunt scrise: ^[8]

{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ ori \ mathbf {E} & = - {\ dfrac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ parțial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ ori \ mathbf {B} & = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ parțial \ mathbf {E}} {\ t parțial}} \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 0 \\\ nabla \ ori \ mathbf {E} & = - {\ dfrac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ parțial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ nabla \ ori \ mathbf {B} & = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ parțial \ mathbf {E}} {\ t parțial}} \ end {cazuri}}}

Derivare

Ecuațiile lui Maxwell, care guvernează fenomenele de propagare ale câmpului electromagnetic , pot fi exprimate atât în local (diferențial) și forma globală (integrală). Această relație este descrisă mai jos. Ecuații în formă locală sunt liniare diferențiale ecuații în patru variabile, în timp ce în formă globală acestea sunt ecuații integrale : să le raportăm, prin urmare , este necesar să se aplice teorema lui Stokes în ei bidimensional și trei- dimensionale forme. În cazul particular al câmpurilor care variază într - un sinusoidal mod în timp, ecuațiile lui Maxwell pot fi scrise în domeniul de frecvență , utilizând transformata Fourier în fiecare membru și obținerea o simplificare în tratamentul și în utilizarea lor specifice.

Principalele instrumente matematice care permit să obțină legătura dintre forma locală și forma globală sunt două:

Teorema divergență în cazul tridimensional, care afectează forma Gauss e drept pentru ambele domenii. Teorema afirma ca debitul unui câmp printr-o suprafață închisă este egală cu integrala pe un volum de care este limita (unic în spațiul tridimensional) a divergența câmpului în sine:

\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathop {\mathrm {d} V} =\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ mathop {\ mathrm {d} V} = \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ mathop {\ mathrm {d} V} = \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

Teorema rotorului în cazul bidimensional, care afectează forma Faraday-Neumann-Lenz lege și legea Ampère-Maxwell . Teorema afirma ca circulația unui câmp este egală cu integrala pe o suprafață de ea cuprinde (multiplu în spațiul tridimensional) a rotorului câmpului în sine:

\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}

{\ Displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

{\ Displaystyle \ int _ {S} (\ nabla \ ori \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

Lui Maxwell ecuații pe scurt descrie toate proprietățile câmpului electromagnetic, și pentru a obține forma sa integrală din forma locală corespunzătoare, este necesar să se aplice verde lui teorema sau teorema divergență . În cazul particular al câmpurilor care variază într - un sinusoidal mod în timp, ecuațiile lui Maxwell pot fi scrise în frecvența domeniului ( fazorului domeniu) prin aplicarea transformatei Fourier fiecărui membru și obținerea o simplificare în tratamentul și în utilizarea lor specifice.

În teorema de curgere afirma ca fluxul câmpului electric printr - o suprafață închisă este egală cu suma cheltuielilor incluse în volumul închis de către suprafața împărțită la permitivității electrice :

\Phi _{(\mathbf {E} ),\partial V}=\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {q}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}\int _{V}\rho \mathop {\mathrm {d} V}

{\ Displaystyle \ Phi _ {(\ mathbf {E}) \ parțial V} = \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac { q} {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {V} \ rho \ mathop {\ mathrm {d} V}}

{\ Displaystyle \ Phi _ {(\ mathbf {E}) \ parțial V} = \ oint _ {\ V parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac { q} {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {V} \ rho \ mathop {\ mathrm {d} V}}

Din teorema de divergență avem, într - un material cu permitivitate electrică uniformă:

\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\int _{V}\!\nabla \cdot \mathbf {E} \,\operatorname {d} \!V=\int _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon }}\operatorname {d} \!V

{\ Displaystyle \ oint _ {\ parțial V} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \! \ Mathbf {S} = \ int _ {V} \! \ Nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} \! V = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} \ operatorname {d} \! V}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ parțial V} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \! \ Mathbf {S} = \ int _ {V} \! \ Nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ operatorname {d} \! V = \ int _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} \ operatorname {d} \! V}

și prin echivalarea integrands în ultima relație obținem forma locală a teoremei de curgere pentru câmpul electric. ^[11]

Legea Faraday-Neumann-Lenz afirmă că variația în timp a fluxului câmpului magnetic legat la un circuit generează o forță electromotoare în circuitul în sine, care se opune variației fluxului: ^[12]

\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} =-{\operatorname {d}  \over \operatorname {d} t}\int _{S}\mathbf {B} \operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = - {\ operatorname {d} \ peste \ operatorname {d} t} \ int _ {S } \ mathbf {B} \ operatorname {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} {\ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial}} \ operatorname {d} \ mathbf { S}}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = - {\ operatorname {d} \ peste \ operatorname {d} t} \ int _ {S } \ mathbf {B} \ operatorname {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} {\ frac {\ parțial \ mathbf {B}} {\ t parțial}} \ operatorname {d} \ mathbf { S}}

În cazul în care se presupune că suprafața prin care dorim să calculeze fluxul nu se mișcă în timp, aplicând operatorul diferențial numai vectorul câmp magnetic.

Aplicând teorema lui Kelvin la primul membru:

\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ ori \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d } \ mathbf {S}}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ S parțial} \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ ori \ mathbf {E} \ cdot \ operatorname {d } \ mathbf {S}}

e quindi:

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \,\operatorname {d} \mathbf {S} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\operatorname {d} \mathbf {S}

Uguagliando gli integrandi segue la relazione locale.

L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario, qui espresso nella velocità di deriva :

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {J}

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {J}

\nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf J

Tale relazione vale solamente nel caso stazionario, dal momento che la divergenza della densità di corrente deve essere nulla (poiché è nullo

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )

\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf B)

): nel caso non stazionario si contraddirebbe infatti l' equazione di continuità per la corrente elettrica . ^[13] Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

\nabla \cdot \mathbf J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)

ottenendo al secondo membro un vettore la cui divergenza si annulla nel caso stazionario, e che può essere così inserito nella legge di Ampère. Il secondo termine è detto densità di corrente di spostamento , esprimibile come prodotto di un tensore densità di spostamento per la velocità:

\rho _{Dij}={\frac {\varepsilon _{i}}{u_{j}}}{\frac {\partial \mathbf {E_{i}} }{\partial t}}

\rho _{Dij}={\frac {\varepsilon _{i}}{u_{j}}}{\frac {\partial \mathbf {E_{i}} }{\partial t}}

\rho_{D ij}= \frac {\varepsilon_i}{u_j} \frac{\partial \mathbf {E_i}}{\partial t}

e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario. ^[14] Inserendo la densità di carica generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère: ^[15] ^[16]

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {u} \left(\rho +\rho _{D}\right)

\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {u} \left(\rho +\rho _{D}\right)

\nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf u \left(\rho + \rho_D \right)

si ottiene la relazione locale. ^[17] Tale equazione è perfettamente simmetrica rispetto alla precedente equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delle equazioni di Maxwell in quanto da esse è ricavabile l' equazione delle onde , mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche .

Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo. Matematicamente la relazione si ricava applicando l'operatore divergenza a entrambi i membri della legge di Biot-Savart .

Soluzioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale vettore e Potenziale scalare .

L'equazione di Maxwell che stabilisce che la divergenza di $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ è nulla permette di riscrivere il campo magnetico derivandolo da una funzione potenziale, ossia come il rotore di un campo vettoriale $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ detto potenziale vettore : ^[18]

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Tale relazione è valida ponendo di trovarsi in un dominio semplicemente connesso . Si può allora riscrivere la legge dell'induzione elettromagnetica di Faraday Neumann:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {A}

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {A}

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come:

\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0

\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il termine tra parentesi è irrotazionale, esso può essere scritto come il gradiente di una funzione scalare, il potenziale scalare $\phi$ $\phi$ $\phi$ : ^[19]

\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi

\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue:

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

I campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ soluzioni delle equazioni di Maxwell si possono dunque esprimere mediante i potenziali: ^[20]

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A}

\mathbf B = \nabla\times\mathbf A \qquad \mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A

Le equazioni di evoluzione dei potenziali si ottengono semplicemente sostituendo i campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ nelle altre due equazioni, ossia nelle equazioni non omogenee che rappresentano la legge del flusso del campo elettrico e la legge di Ampère.

Nel caso i campi si propaghino in un mezzo diverso dal vuoto le quattro equazioni scalari non omogenee possono essere risolte solo conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle caratteristiche del materiale. ^[21] Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore e una per il potenziale scalare.

Equazioni per i potenziali

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziali ritardati .

Le equazioni di Maxwell possono essere espresse in termini dei potenziali del campo elettromagnetico . Tale formulazione introduce tuttavia una certa arbitrarietà nella forma dell'espressione dei potenziali: i campi rimangono infatti invariati se i potenziali subiscono una certa gamma di trasformazioni, dette trasformazioni di gauge . Per ottenere una formulazione relativistica, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz , si utilizza il gauge di Lorenz .

Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si procede come segue:

L'equazione del flusso del campo elettrico può essere riscritta come:

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial {\mathbf A}}{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon }}

ovvero:

\quad -\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad -\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho}{\varepsilon}

L'equazione di Maxwell che esprime la legge di Ampère in forma generalizzata, invece, si trasforma nel seguente modo:

c^{2}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)

c^{2}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)

c^{2}\nabla \times (\nabla \times {\mathbf A})={\frac {{\mathbf J}}{\varepsilon }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\nabla \phi -{\frac {\partial {\mathbf A}}{\partial t}}\right)

ossia, usando l'identità vettoriale

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {C} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {C} )-\nabla ^{2}\mathbf {C}

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {C} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {C} )-\nabla ^{2}\mathbf {C}

\nabla \times ( \nabla \times \mathbf C) = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf C) - \nabla^2 \mathbf C

si ha:

\quad -c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {A} +c^{2}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )+{\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}

\quad -c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {A} +c^{2}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )+{\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon }}

\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\varepsilon}

Tali equazioni sono anche dette equazioni elettrodinamiche , e descrivono la propagazione dei due potenziali. ^[22] Possono tuttavia essere convenientemente trasformate in equazioni disaccoppiate (cioè scritte separatamente per il potenziale scalare e per il potenziale vettore) grazie al margine di arbitrarietà contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando il fatto che il rotore di un gradiente è nullo ed eseguendo la seguente trasformazione di gauge:

{\begin{cases}\mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\nabla \Psi \\\phi \mapsto \phi -{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\\\end{cases}}

{\begin{cases}\mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\nabla \Psi \\\phi \mapsto \phi -{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\\\end{cases}}

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove $\Psi$ $\Psi$ $\Psi$ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, le equazioni di evoluzione dei potenziali non variano. I nuovi potenziali soddisfano le medesime equazioni dei vecchi potenziali, e in questo modo anche le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. ^[23]

Sfruttando dunque l'invarianza di gauge è possibile scegliere $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ in modo che soddisfi opportune condizioni. Di particolare importanza è la condizione di Lorenz , la quale è ottenuta scegliendo $\Psi$ $\Psi$ $\Psi$ in modo tale che:

\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz, ^[24] che nel caso stazionario (cioè quando $\phi$ $\phi$ $\phi$ non dipende dal tempo) si riduce al gauge di Coulomb , anche detto "gauge trasversale". ^[25]

Se la condizione di Lorenz è soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite: ^[26] ^[27]

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}

\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {J}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {J}

\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu \mathbf J

In componenti scalari, le equazioni dei potenziali si scrivono esplicitamente come:

{\begin{cases}\nabla ^{2}\phi -\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\displaystyle {\frac {\rho }{\varepsilon }}\\\nabla ^{2}A_{x}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{z}\\\end{cases}}

{\begin{cases}\nabla ^{2}\phi -\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\displaystyle {\frac {\rho }{\varepsilon }}\\\nabla ^{2}A_{x}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}-\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-\mu \rho v_{z}\\\end{cases}}

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\varepsilon}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu \rho v_x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu \rho v_y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu \rho v_z\\ \end{cases}

Si dimostra inoltre che, dato un particolare problema elettromagnetico perfettamente definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni al contorno , la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica. Più precisamente, la soluzione delle equazioni d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gauge di Lorenz assumono la forma: ^[28]

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\operatorname {d} ^{3}x_{0}

\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } \operatorname d^3 x_0

dove $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ $|\mathbf x - \mathbf x_0|$ è la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume $d^{3}x_{0}$ $d^{3}x_{0}$ $d^3 x_0$ su cui si effettua l'integrazione, e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

Equazioni di Jefimenko

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Jefimenko .

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico e il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica $\rho$ $\rho$ $\rho$ e velocità $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf{v}$ dipendente dal tempo, e si possono derivare a partire dai potenziali ritardati $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ e $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ . ^[29] I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

Utilizzando la relazione:

c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}

c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}

c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}

si ottengono le equazioni di Jefimenko rimpiazzando $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ ed $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ con i campi $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf{E}$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ : ^[30]

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{r}-\mathbf{r}') - \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| c^2}\frac{\partial \mathbf{\mathbf J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {\mathbf {J} } (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

{\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',t_{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}c}}{\frac {\partial {\mathbf {{\mathbf J}}}({\mathbf {r}}',t_{r})}{\partial t}}\right]\times ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'){\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}'

dove $\mathbf {r} '$ $\mathbf {r} '$ $\mathbf{r}'$ è un punto all'interno della distribuzione di carica , $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{r}$ è un punto nello spazio e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

t_r = t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{D}$ e $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {H}$ hanno la stessa forma. ^[31]

Forma tensoriale relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore elettromagnetico .

I potenziali $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ possono essere visti come le componenti di un quadrivettore . Se si forma un quadrivettore $J^{\mu }$ $J^{\mu }$ $J^\mu$ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell si ottiene:

J^{\mu }=(\rho c,\mathbf {J} )=\rho (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}\gamma (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}u^{\mu }

J^{\mu }=(\rho c,\mathbf {J} )=\rho (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}\gamma (c,\mathbf {u} )=\rho _{0}u^{\mu }

J^{\mu} = (\rho c, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf u) = \rho_0 \gamma(c,\mathbf u) = \rho_0 u^{\mu}

dove $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e $u^{\mu }$ $u^{\mu }$ $u^{\mu}$ rappresenta la quadrivelocità .

Il quadripotenziale è definito come:

A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)

A^{\mu }=\left({\frac {V}{c}},\mathbf {A} \right)

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Considerando la definizione di divergenza nello spaziotempo di Minkowski si ha, per quanto visto precedentemente:

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

Questo fornisce la relazione:

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0

La precedente è la condizione di Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l' operazione di gauge introdotta in precedenza stabilisce l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ e $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ . Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se si considera l' operatore di d'Alembert :

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma:

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

\Box A^{\mu }=\mu _{0}\rho _{0}u^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf E$ e da uno assiale $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf B$ . Se si pone $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ $F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$ si ottiene il tensore elettromagnetico (sistema internazionale):

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell' elettrodinamica classica .

Forma lagrangiana

La formulazione lagrangiana considera le equazioni in modo trasversale rispetto a quella euleriana. Nello specifico, se si accoppiano le leggi di Gauss generale per l'induzione elettrica e di Ampère-Maxwell a una definizione del campo magnetico, e quelle di Gauss per l'induzione magnetica e di Faraday a una definizione del campo elettrico, si ottiene:

Nome	Forma locale	Forma globale
Legge di Gauss	$\nabla \cdot \mathbf {D} -\rho =0$ $\nabla \cdot \mathbf {D} -\rho =0$ $\nabla \cdot \mathbf{D} - \rho = 0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
Legge di Ampère-Maxwell , Legge di Faraday	${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +\rho \langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}$ ${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +\rho \langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}$ $\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf{H} + \rho \langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0$	${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$ ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$ $\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf{E}= \mathbf 0$
Definizione del campo coniugato	$\mathbf {H} +\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\mathbf {H} +\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\mathbf {H} + \langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}= \mathbf 0$	$\nabla \times \mathbf {E} -(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \mathbf {E} -(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \mathbf {E} - (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B}= \mathbf 0$

Dalle prime due righe di equazioni rispettivamente segue che:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {H} +(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf {H} + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf {E} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

e imponendo la terza riga di equazioni:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times (\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} )+(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times (\langle \mathbf {v} \rangle \times \mathbf {D} )+(\nabla \cdot \mathbf {D} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \langle \mathbf {v} \rangle )\mathbf {B} +(\nabla \cdot \mathbf {B} )\langle \mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + \nabla \times (\langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}) + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

quindi sfruttando nella prima la proprietà del doppio prodotto vettoriale e nella seconda la regola di Leibniz otteniamo le leggi di Gauss coniugate, ciascuna un' equazione di conservazione per l'induzione:

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {0}

{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla )\mathbf {B} =\mathbf {0}

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {D} = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {B} = \mathbf 0

esprimibile nella derivata lagrangiana :

{\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0} \qquad {\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}

{\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0} \qquad {\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}

\frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0 \qquad \frac{D\mathbf {B}} {Dt} = \mathbf 0

infine riconsiderando la definizione del campo coniugato otteniamo le equazioni rispettivamente di Ampère-Maxwell coniugata e di Faraday coniugata, che stabiliscono un bilancio non conservativo per i campi:

{\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad \nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}

{\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0} \qquad \nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}

\frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0 \qquad \nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0

In sintesi:

Nome	Forma locale
Legge di Gauss elettrica coniugata	${\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {D} }{Dt}}=\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0$
Legge di Faraday coniugata	$\nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times {\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}-(\nabla \cdot {\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}})\mathbf {B} =\mathbf {0}$ $\nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0$
Legge di Gauss magnetica coniugata	${\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}=\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {B}}{Dt} = \mathbf 0$
Legge di Ampère-Maxwell coniugata	${\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ ${\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}-{\frac {D\langle \mathbf {v} \rangle }{Dt}}\times \mathbf {D} =\mathbf {0}$ $\frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0$

Teorema di dualità

Al secondo membro della terza equazione può essere introdotto un termine di sorgente di densità di corrente magnetica $\mathbf {J} _{H}$ $\mathbf {J} _{H}$ $\mathbf J_H$ in modo da simmetrizzarla con la quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di sorgente di densità di carica magnetica $\rho _{H}$ $\rho _{H}$ $\rho_H$ in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche, l'utilità di tale modifica consiste infatti nella possibilità di modellare, attraverso le grandezze fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico ). Le equazioni "simmetrizzate" sono:

Nome	Senza monopoli magnetici	Con monopoli magnetici
Legge di Gauss per il campo elettrico:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{E}$ $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E$
Legge di Gauss per il campo magnetico:	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{H}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{H}$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_H$
Legge di Faraday per l'induzione:	$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$ $\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$ $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0$	$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {J} _{H}$ $\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {J} _{H}$ $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = - \mathbf J_H$
Legge di Ampere-Maxwell :	$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E$	$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{E}$ $\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E$

Anche la forza di Lorentz diviene simmetrica:

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

\mathbf {F} =q_{E}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+q_{H}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)

Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualità elettromagnetica , per il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica è possibile ottenere l'espressione dell'altra corrispondente. Le sostituzioni da operare sono le seguenti:

{\begin{matrix}\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {H} &\quad \mathbf {D} \rightarrow \mathbf {B} &\quad \mathbf {J} _{E}\rightarrow \mathbf {J} _{H}&\quad \rho _{E}\rightarrow \rho _{H}\\\mathbf {H} \rightarrow -\mathbf {E} &\quad \mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {D} &\quad \mathbf {J} _{H}\rightarrow -\mathbf {J} _{E}&\quad \rho _{H}\rightarrow -\rho _{E}\\\qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon &\qquad \end{matrix}}

{\begin{matrix}\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {H} &\quad \mathbf {D} \rightarrow \mathbf {B} &\quad \mathbf {J} _{E}\rightarrow \mathbf {J} _{H}&\quad \rho _{E}\rightarrow \rho _{H}\\\mathbf {H} \rightarrow -\mathbf {E} &\quad \mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {D} &\quad \mathbf {J} _{H}\rightarrow -\mathbf {J} _{E}&\quad \rho _{H}\rightarrow -\rho _{E}\\\qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon &\qquad \end{matrix}}

\begin{matrix} \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{H} &\quad \mathbf{D} \rightarrow \mathbf{B} &\quad \mathbf J_E \rightarrow \mathbf J_H &\quad \rho_E \rightarrow \rho_H \\ \mathbf{H} \rightarrow -\mathbf{E} &\quad \mathbf{B} \rightarrow -\mathbf{D} &\quad \mathbf J_H \rightarrow -\mathbf J_E &\quad \rho_H \rightarrow -\rho_E \\ \qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon & \qquad \end{matrix}

Note

^ ^a ^b Jackson , pag. 2 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 351 .
^ Feynman , vol. 2, cap. XXV .
^ ^a ^b ^c John Jackson, Maxwell's equations , su Science Video Glossary , Berkeley Lab.
^ Luca Zilberti, The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines , in IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . URL consultato il 1º febbraio 2021 .
^ Jackson , sezione 6.3 .
^ Principles of physics: a calculus-based text , by RA Serway, JW Jewett, page 809.
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , pag. 456 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 458 .
^ Griffiths , Appendice .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 28 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 353 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 396 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 397 .
^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .
^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 398 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 502 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 503 .
^ Jackson , pag. 239 .
^ Jackson , pag. 14 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 504 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 514 .
^ Jackson , pag. 241 .
^ Jackson , pag. 242 .
^ Jackson , pag. 240 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 505 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pag. 506 .
^ Griffiths , pp. 566-567 .
^ Jackson , pag. 247 .
^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

Annotazioni

^ La quantità che ora chiameremmo ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ , con unità di velocità, fu misurata direttamente prima delle equazioni di Maxwell, in un esperimento del 1855 effettuato da Wilhelm Eduard Weber e da Rudolf Kohlrausch . Caricarono una bottiglia di Leida (la forma pù antica di condensatore ), e misurarono la forza elettrostatica associata al potenziale; poi la scaricarono, misurando la forza magnetica dalla corrente nel filo di scarica. Il risultato fu 3,107 × 10 ⁸ m/s , notevolmente vicino alla velocità della luce. Si veda Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500 BC to the 1940s , p. 115.

Bibliografia

Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Daniel Fleisch, Guida alle equazioni di Maxwell , Editori Riuniti, 2014, ISBN 978-88-6473-244-2 .
G. Gerosa e P. Lampariello, Lezioni di Campi Elettromagnetici , 2ª ed., Roma, Ingegneria 2000, 2006, ISBN 978-88-86658-36-2 .
( EN ) John D. Jackson, Classical Electrodynamics , 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( EN ) David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , 4ª ed..
( EN ) James Clerk Maxwell , A Treatise on Electricity and Magnetism , Oxford , Clarendon Press , 1873.
( EN ) Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light , 4ª ed., WH Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6 .
( EN ) Raymond Serway e John Jewett, Physics for Scientists and Engineers , 6ª ed., Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7 .
( EN ) Wayne M. Saslow, Electricity, Magnetism, and Light , Thomson Learning, 2002, ISBN 0-12-619455-6 . (vedere il capitolo 8 e in particolare le pp. 255–259 per i coefficienti del potenziale)
( EN ) Richard Feynman , Robert Leighton e Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, 2ª ed., Reading , Addison Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9045-6 .
- La fisica di Feynman , traduzione di G. Altarelli, C. Chiuderi, E. Clementel, S. Focardi, S. Franchetti, L. Monari, Giuliano Toraldo di Francia, vol. 2, 2ª ed., Bologna, Zanichelli, 2005, ISBN 978-88-08-14298-6 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikisource contiene una pagina dedicata a equazioni di Maxwell
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su equazioni di Maxwell

Collegamenti esterni

( EN ) Equazioni di Maxwell , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Le equazioni di Maxwell , su electroyou.it .
( EN ) A tensor treatment of Maxwell's equations , su mth.uct.ac.za .
( EN ) Lecture series: Relativity and electromagnetism , su farside.ph.utexas.edu .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32480 · LCCN ( EN ) sh85082387 · GND ( DE ) 4221398-8 · BNF ( FR ) cb12043257h (data)

Portale Elettromagnetismo

Portale Relatività

[def-1] Jackson , pag. 2 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , pag. 351 .

[3] Feynman , vol. 2, cap. XXV .

[VideoGlossary-4] John Jackson, Maxwell's equations , su Science Video Glossary , Berkeley Lab.

[5] Luca Zilberti, The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines , in IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . URL consultato il 1º febbraio 2021 .

[6] Jackson , sezione 6.3 .

[7] Principles of physics: a calculus-based text , by RA Serway, JW Jewett, page 809.

[Mencuccini2010-456-9] Mencuccini, Silvestrini , pag. 456 .

[10] Mencuccini, Silvestrini , pag. 458 .

[:0-11] Griffiths , Appendice .

[12] Mencuccini, Silvestrini , pag. 28 .

[13] Mencuccini, Silvestrini , pag. 353 .

[14] Mencuccini, Silvestrini , pag. 396 .

[15] Mencuccini, Silvestrini , pag. 397 .

[Cloude-16] Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .

[Slater-17] JC Slater and NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .

[18] Mencuccini, Silvestrini , pag. 398 .

[19] Mencuccini, Silvestrini , pag. 502 .

[20] Mencuccini, Silvestrini , pag. 503 .

[21] Jackson , pag. 239 .

[22] Jackson , pag. 14 .

[23] Mencuccini, Silvestrini , pag. 504 .

[24] Mencuccini, Silvestrini , pag. 514 .

[25] Jackson , pag. 241 .

[26] Jackson , pag. 242 .

[27] Jackson , pag. 240 .

[28] Mencuccini, Silvestrini , pag. 505 .

[29] Mencuccini, Silvestrini , pag. 506 .

[30] Griffiths , pp. 566-567 .

[31] Jackson , pag. 247 .

[32] Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

[8] La quantità che ora chiameremmo ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ ${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$ , con unità di velocità, fu misurata direttamente prima delle equazioni di Maxwell, in un esperimento del 1855 effettuato da Wilhelm Eduard Weber e da Rudolf Kohlrausch . Caricarono una bottiglia di Leida (la forma pù antica di condensatore ), e misurarono la forza elettrostatica associata al potenziale; poi la scaricarono, misurando la forza magnetica dalla corrente nel filo di scarica. Il risultato fu 3,107 × 10 ⁸ m/s , notevolmente vicino alla velocità della luce. Si veda Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500 BC to the 1940s , p. 115.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[Nota 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]