Ecuație diferențială

În analiza matematică o ecuație diferențială este o ecuație care leagă o funcție necunoscută de derivatele sale: dacă funcția este de o singură variabilă și ecuația are doar derivate obișnuite, se numește ecuație diferențială obișnuită ; dacă, pe de altă parte, funcția are mai multe variabile și ecuația conține derivate parțiale ale funcției în sine, se numește ecuația diferențială parțială .

Istorie

Studiul ecuațiilor diferențiale a început în urma introducerii calculului de către Newton și Leibniz în secolul al XVII-lea. În al doilea capitol al textului său din 1671, Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , ^[1] Isaac Newton axează discursul pe trei tipuri de ecuații diferențiale de gradul I, dintre care două sunt obișnuite:

{\frac {dy}{dx}}=f(x)\qquad {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x) \ qquad {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x) \ qquad {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

și una cu derivate parțiale :

x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y

{\ displaystyle x_ {1} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} = y}

{\ displaystyle x_ {1} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} = y}

El rezolvă, de asemenea, un exemplu pentru fiecare dintre tipologii, exprimând termenul nederivat ca o serie de puteri și presupunând că acestea au ca serie infinită ca soluție, dintre care observă că coeficienții pot fi aleși în mod arbitrar, producând astfel o infinitate de particularități. soluții. ^[2]

O contribuție importantă la ecuațiile obișnuite a fost adusă de frații Jacob și Johann Bernoulli . În 1695 Jacob Bernoulli se ocupă de ecuația cunoscută acum ca ecuația diferențială a lui Bernoulli : ^[3]

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} + P (x) y = Q (x) y ^ {n}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} + P (x) y = Q (x) y ^ {n}}

pentru care Leibniz, anul următor, obține soluții simplificându-l la o ecuație liniară . ^[4] În anul următor fratele său Johann se ocupă cu problema curbei brahistocrone .

O altă problemă mecanică importantă, cea a coardei vibrante , este inclusă și în studiile lui Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli și Joseph-Louis Lagrange . ^[5] ^[6] ^[7] ^[8] În 1746, d'Alembert s-a confruntat cu ecuația de undă unidimensională:

{\partial ^{2}u \over {\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}u \over {\partial t^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ partial ^ {2} u \ over {\ parțial t ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ partial ^ {2} u \ over {\ parțial t ^ {2}}} = 0}

iar apoi Euler introduce cazul tridimensional. ^[9]

Începând cu 1750, ecuația Euler-Lagrange a fost apoi dezvoltată de Euler și Lagrange, care este baza mecanicii lagrangiene .

Un alt text important este Théorie analytique de la chaleur ^[10] din 1822, în care Fourier expune ecuația căldurii .

Descriere

Ecuațiile diferențiale sunt printre cele mai studiate ecuații în matematică , având un rol fundamental în omologul matematic al multor domenii ale științei și ingineriei . Pot descrie, de exemplu, o situație generală în care o anumită sumă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ variază în funcție de timp într-un mod care depinde de valoarea cantității în sine în acel moment: aceasta corespunde faptului că ambele funcții necunoscute apar în ecuație $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ că derivatul său în raport cu timpul $df/dt$ ${\ displaystyle df / dt}$ $df / dt$ . În cel mai simplu caz, apare doar derivata:

{\frac {df}{dt}}=g(t)

{\ displaystyle {\ frac {df} {dt}} = g (t)}

{\ frac {df} {dt}} = g (t)

iar ecuația este rezolvată folosind teorema fundamentală a calculului integral . Soluțiile sale au forma:

f(t)=f_{0}+G(t)

{\ displaystyle f (t) = f_ {0} + G (t)}

f (t) = f_ {0} + G (t)

unde este $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ este constantă și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este primitivul din $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ :

G(t)=\int g(t)dt

{\ displaystyle G (t) = \ int g (t) dt}

{\ displaystyle G (t) = \ int g (t) dt}

Cu toate acestea, acestea sunt relații ale căror rareori este posibil să existe o formă analitică a soluției sau o expresie a acesteia în termeni de funcții elementare, ci mai degrabă sunt studiate existența și unicitatea soluțiilor și comportamentul lor în contexte de interes special. , de obicei în raport cu situația unui sistem fizic descris de ecuația diferențială. Ansamblul tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește integrala generală a ecuației diferențiale date.

Studiul ecuațiilor diferențiale, așa cum se întâmplă adesea în matematică, a fost puternic influențat de necesitatea analizei problemelor concrete; implică, de asemenea, diverse domenii, cum ar fi algebra liniară , analiza numerică și analiza funcțională .

Definiție

Diferitele soluții pentru diferite condiții inițiale ale ecuațiilor (obișnuite) care descriu sisteme dinamice pot fi reprezentate geometric în spațiul de fază ; Această reprezentare se numește portret de fază (portrait portrait). În imagine, portretul de fază al oscilatorului van der Pol .

Câteva soluții în spațiul de fază al ecuațiilor Lotka-Volterra .

Având o funcție $u\colon I\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ definit într-un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din mulțimea numerelor reale , ecuația diferențială asociată cu aceasta este o ecuație diferențială obișnuită (prescurtată cu ODE, acronim pentru ecuația diferențială ordinară ) și ordinea sau gradul ecuației este numit cel mai înalt ordin dintre ordinele derivatelor prezente în ecuația. Scrierea generală a unei ecuații diferențiale obișnuite de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru o funcție $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ poate avea forma:

f(x,u(x),u'(x),\dots ,u^{(n)}(x))=0

{\ displaystyle f (x, u (x), u '(x), \ dots, u ^ {(n)} (x)) = 0}

f (x, u (x), u '(x), \ dots, u ^ {{(n)}} (x)) = 0

unde este $u,u',\dots ,u^{(n)}$ ${\ displaystyle u, u ', \ dots, u ^ {(n)}}$ $u, u ', \ dots, u ^ {{(n)}}$ sunt derivatele $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ până la comandă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este liniară, ecuația este liniară . De exemplu, ecuația diferențială de gradul I:

{\frac {du}{dx}}=u

{\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = u}

{\ frac {du} {dx}} = u

este satisfăcut de funcția exponențială $u(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle u (x) = e ^ {x}}$ $u (x) = e ^ {x}$ , care este egal cu derivatul său.

În cazul în care funcția necunoscută $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ depinde de mai multe variabile, derivatele sunt derivate parțiale și avem o ecuație diferențială parțială (prescurtată cu PDE, din ecuația diferențială parțială ). Un PDE de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pentru funcție $u(x_{1},\cdots ,x_{n})\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) \ colon U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) \ colon U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ are forma:

f\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots \right)=0

{\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u, {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial u } {\ partial x_ {n}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial ^ { 2} u} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {n}}}, \ ldots \ right) = 0}

f \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u, {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {n}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial ^ {2} u } {\ partial x_ {1} \ partial x_ {n}}}, \ ldots \ right) = 0

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr întreg și o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este dat. Exemple deosebit de importante de ecuații diferențiale parțiale (liniare) sunt ecuația undei , ecuația căldurii , ecuația Poisson , ecuația transportului , ecuația continuității sau ecuația Helmholtz .

De exemplu, ecuația:

{\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial x}} = 0}

{\ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial x}} = 0

afirmă că $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ este independent de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și neavând informații despre dependența de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ are soluție generală:

u(x,y)=f(y)

{\ displaystyle u (x, y) = f (y)}

u (x, y) = f (y)

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție arbitrară a $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Ecuația obișnuită:

{\frac {du(x)}{dx}}=0

{\ displaystyle {\ frac {du (x)} {dx}} = 0}

{\ frac {du (x)} {dx}} = 0

în schimb are soluție $u(x)=c$ ${\ displaystyle u (x) = c}$ $u (x) = c$ cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ constant.

Problema lui Cauchy

Același subiect în detaliu: problema Cauchy .

Ecuațiile diferențiale sunt analizate dând o valoare precisă unora dintre variabilele implicate, în special funcția necunoscută și derivatele sale (până la ordinea $\kappa -1$ ${\ displaystyle \ kappa -1}$ $\ kappa -1$ pentru o ecuație în formă normală de ordine $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ ) în anumite puncte din domeniul definiției ecuației. Problema diferențială rezultată se numește „problema Cauchy”; de obicei, constă în stabilirea condițiilor inițiale sau a condițiilor limită pentru capetele domeniului în care este definită ecuația.

În cazul în care ecuația este definită pe o suprafață , furnizarea condițiilor de limită constă în acordarea valorii funcției de la limită sau a derivatei acesteia în raport cu direcția normală la limită. Această atribuire se numește condiții limită Cauchy și corespunde impunerii atât a condițiilor limită Dirichlet (valorile pe care soluția le asumă la marginea suprafeței), cât și a condițiilor limită Neumann (valorile derivatei soluției) .

Pentru ecuațiile obișnuite, teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy stabilește că pentru o problemă:

{\begin{cases}f(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)})=0\\y(a)=y_{0}\\y'(a)=y_{1}\\\dots \\y^{(n-1)}(a)=y_{n-1}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f (x, y, y ', y' ', \ dots, y ^ {(n)}) = 0 \\ y (a) = y_ {0} \\ y' (a) = y_ {1} \\\ dots \\ y ^ {(n-1)} (a) = y_ {n-1} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} f (x, y, y ', y' ', \ dots, y ^ {{(n)}}) = 0 \\ y (a) = y_ {0} \\ y' ( a) = y_ {1} \\\ dots \\ y ^ {{(n-1)}} (a) = y _ {{n-1}} \ end {cases}}

există o singură funcție $y(x)$ ${\ displaystyle y (x)}$ $y (x)$ care satisface toate relațiile totuși $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este suficient de regulat, de exemplu dacă este diferențiat într-un cartier al $(y_{0},\ldots ,y_{n-1})$ ${\ displaystyle (y_ {0}, \ ldots, y_ {n-1})}$ $(y_ {0}, \ ldots, y _ {{n-1}})$ .

Pentru o ecuație diferențială de ordin parțial $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ definit pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ condițiile inițiale sunt date de valoarea necunoscutului și a derivatelor sale până la comandă $\kappa -1$ ${\ displaystyle \ kappa -1}$ $\ kappa -1$ pe o varietate netedă $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $S \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ in marime $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , numită uneori „suprafața Cauchy”. Mai exact, problema Cauchy constă în găsirea funcției $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Soluție PDE care satisface:

u(x)=f_{0}(x)\qquad \forall x\in S

{\ displaystyle u (x) = f_ {0} (x) \ qquad \ forall x \ in S}

u (x) = f_ {0} (x) \ qquad \ forall x \ în S

{\frac {\partial ^{k}u(x)}{\partial \nu ^{k}}}=f_{k}(x)\qquad k=1,\ldots ,\kappa -1\quad \forall x\in S

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {k} u (x)} {\ partial \ nu ^ {k}}} = f_ {k} (x) \ qquad k = 1, \ ldots, \ kappa -1 \ quad \ forall x \ în S}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {k} u (x)} {\ partial \ nu ^ {k}}} = f_ {k} (x) \ qquad k = 1, \ ldots, \ kappa -1 \ quad \ forall x \ în S}

unde este $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ li se dau funcții definite la suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și derivatul $\partial ^{k}u(x)/\partial \nu ^{k}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {k} u (x) / \ partial \ nu ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {k} u (x) / \ partial \ nu ^ {k}}$ se calculează în raport cu direcția $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ a vectorului unitar normal a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . ^[11]

Teorema Cauchy-Kovalevskaya , care se aplică atât ecuațiilor diferențiale parțiale, cât și celor obișnuite, stabilește că dacă condițiile necunoscute și inițiale ale unei ecuații diferențiale sunt funcții analitice la nivel local , atunci există o soluție analitică și este unică. ^[12]

Ecuatii lineare

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară .

Având în vedere o ecuație obișnuită generică:

f(x,u(x),u'(x),\dots ,u^{(n)}(x))=0

{\ displaystyle f (x, u (x), u '(x), \ dots, u ^ {(n)} (x)) = 0}

f (x, u (x), u '(x), \ dots, u ^ {{(n)}} (x)) = 0

este liniar dacă:

{\frac {\partial f}{\partial u^{(i)}\partial u^{(j)}}}=0\qquad \forall i,j

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial u ^ {(i)} \ partial u ^ {(j)}}} = 0 \ qquad \ forall i, j}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial u ^ {(i)} \ partial u ^ {(j)}}} = 0 \ qquad \ forall i, j}

O ecuație liniară obișnuită poate fi scrisă ca:

a_{0}(x)u^{(n)}+a_{1}(x)u^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}(x)u'+a_{n}(x)u=g(x)

{\ displaystyle a_ {0} (x) u ^ {(n)} + a_ {1} (x) u ^ {(n-1)} + \ dots + a_ {n-1} (x) u '+ a_ {n} (x) u = g (x)}

{\ displaystyle a_ {0} (x) u ^ {(n)} + a_ {1} (x) u ^ {(n-1)} + \ dots + a_ {n-1} (x) u '+ a_ {n} (x) u = g (x)}

De sine $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt factori constanți, ecuația este rezolvată prin găsirea unei soluții la ecuația omogenă asociată:

a_{0}(x)u^{(n)}+a_{1}(x)u^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}(x)u'+a_{n}(x)u=0

{\ displaystyle a_ {0} (x) u ^ {(n)} + a_ {1} (x) u ^ {(n-1)} + \ dots + a_ {n-1} (x) u '+ a_ {n} (x) u = 0}

{\ displaystyle a_ {0} (x) u ^ {(n)} + a_ {1} (x) u ^ {(n-1)} + \ dots + a_ {n-1} (x) u '+ a_ {n} (x) u = 0}

la care se adaugă o soluție specială a ecuației complete, obținută de exemplu cu metoda variațiilor constantelor . Pentru fiecare ecuație liniară omogenă obișnuită (chiar și cu coeficienți neconstanți) se aplică și principiul suprapunerii : dacă $u_{1}(t)$ ${\ displaystyle u_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle u_ {1} (t)}$ Și $u_{2}(t)$ ${\ displaystyle u_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle u_ {2} (t)}$ sunt soluții, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, soluții $\alpha _{1}u_{1}(t)+\alpha _{2}u_{2}(t)$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} u_ {1} (t) + \ alpha _ {2} u_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} u_ {1} (t) + \ alpha _ {2} u_ {2} (t)}$ , cu $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ Și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ constant. ^[13]

O ecuație diferențială parțială poate fi în schimb liniară , semiliniară, cvasiliniară sau total neliniară. Se spune că ecuația este liniară dacă are forma:

\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u=h(x)\

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u = h (x) \}

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u = h (x) \}

pentru funcții adecvate $a_{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}$ $a _ {\ alpha} (x)$ și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , unde este $D^{\alpha }$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha}}$ este derivarea ordinii $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ cu privire la una sau mai multe variabile. De sine $h=0$ ${\ displaystyle h = 0}$ ${\ displaystyle h = 0}$ se spune că ecuația este omogenă .

Se spune că este semiliniar dacă are forma:

\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0}

\ sum _ {{| \ alpha | = k}} a _ {\ alpha} (x) D ^ {{\ alpha}} u + a_ {0} (D ^ {{k-1}} u, \ cdots , Du, u, x) = 0

cvasiliniar dacă are forma:

\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0 } (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0}

\ sum _ {{| \ alpha | = k}} a _ {\ alpha} (D ^ {{k-1}} u, \ cdots, Du, u, x) D ^ {\ alpha} u + a_ { 0} (D ^ {{k-1}} u, \ cdots, Du, u, x) = 0

și total neliniar dacă depinde neliniar de cel mai înalt grad de derivare.

Ecuațiile care nu sunt liniare sunt adesea foarte greu de tratat și, în multe cazuri, se caută metode pentru a le lineari.

PDE de ordinul II

O clasă de ecuații diferențiale parțiale din care se găsesc frecvent soluții analitice și care sunt utilizate pe scară largă în fizică și inginerie , sunt ecuațiile liniare de ordinul doi, adică de tipul:

a_{11}(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2a_{12}(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+a_{22}(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+g(x,y,u,\nabla u)=0

{\ displaystyle a_ {11} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + 2a_ {12} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x \ partial y}} + a_ {22} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + g ( x, y, u, \ nabla u) = 0}

{\ displaystyle a_ {11} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + 2a_ {12} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x \ partial y}} + a_ {22} (x, y) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + g ( x, y, u, \ nabla u) = 0}

Asumand $a_{11}$ ${\ displaystyle a_ {11}}$ ${\ displaystyle a_ {11}}$ , $a_{12}$ ${\ displaystyle a_ {12}}$ ${\ displaystyle a_ {12}}$ Și $a_{22}$ ${\ displaystyle a_ {22}}$ ${\ displaystyle a_ {22}}$ nu sunt toți nuli, termenii cu derivatele secundare definesc o formă pătratică în punct $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ : ^[14]

\sigma (x_{0},y_{0};p_{1},p_{2})=a_{11}(x_{0},y_{0})p_{1}^{2}+2a_{12}(x_{0},y_{0})p_{1}p_{2}+a_{22}(x_{0},y_{0})p_{2}^{2}

{\ displaystyle \ sigma (x_ {0}, y_ {0}; p_ {1}, p_ {2}) = a_ {11} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {1} ^ {2} + 2a_ {12} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {1} p_ {2} + a_ {22} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma (x_ {0}, y_ {0}; p_ {1}, p_ {2}) = a_ {11} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {1} ^ {2} + 2a_ {12} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {1} p_ {2} + a_ {22} (x_ {0}, y_ {0}) p_ {2} ^ {2}}

la care se asociază matricea simetrică :

A(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}a_{11}(x_{0},y_{0})&a_{12}(x_{0},y_{0})\\a_{12}(x_{0},y_{0})&a_{22}(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0}) = {\ begin {pmatrix} a_ {11} (x_ {0}, y_ {0}) și a_ {12} (x_ {0}, y_ { 0}) \\ a_ {12} (x_ {0}, y_ {0}) & a_ {22} (x_ {0}, y_ {0}) \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0}) = {\ begin {pmatrix} a_ {11} (x_ {0}, y_ {0}) și a_ {12} (x_ {0}, y_ { 0}) \\ a_ {12} (x_ {0}, y_ {0}) & a_ {22} (x_ {0}, y_ {0}) \ end {pmatrix}}}

Ecuația din punct $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ se spune:

Hiperbolic dacă $a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}>0$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22}> 0}$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22}> 0}$ . Atunci $A(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ nu are valori proprii nule.
Eliptic dacă $a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}<0$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22} <0}$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22} <0}$ . În acest caz, toate valorile proprii ale $A(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ toate sunt pozitive sau toate negative.
Parabolică dacă $a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}=0$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {12} ^ {2} -a_ {11} a_ {22} = 0}$ . Atunci $A(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle A (x_ {0}, y_ {0})}$ are cel puțin o valoare proprie zero.

Ecuațiile cu coeficienți constanți sunt hiperbolici, eliptici sau parabolici în toate punctele domeniului lor și în acest caz vorbim respectiv de „ecuație hiperbolică”, „ecuație eliptică” sau „ecuație parabolică”. De exemplu, ecuația Poisson (și versiunea sa omogenă, ecuația Laplace ) este eliptică, ecuația căldurii este parabolică, iar ecuația undei este hiperbolică.

Ecuațiile cu coeficienți neconstanți pot avea totuși un caracter „mixt”, adică pot fi hiperbolice în unele regiuni ale domeniului și eliptice sau parabolice în altele. De exemplu, ecuația Euler-Trichome :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=x{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = x {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = x {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}}}

este eliptic în regiune $x<0$ ${\ displaystyle x <0}$ ${\ displaystyle x <0}$ , hiperbolic în regiune $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ și degenerează parabolică pe linia dreaptă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Ecuații diferențiale algebrice

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială algebrică .

Formularea slabă a unei probleme diferențiale

Același subiect în detaliu: Formulare slabă .

Exemplu

Un exemplu elementar al modului în care ecuațiile diferențiale pot apărea în mod natural în studiul sistemelor este următorul: să presupunem că avem o populație de bacterii compusă inițial din $P(t=0)=P_{0}$ ${\ displaystyle P (t = 0) = P_ {0}}$ $P (t = 0) = P_ {0}$ indivizi și amândoi $P(t)$ ${\ displaystyle P (t)}$ $P (t)$ populația de atunci $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Este rezonabil să ne așteptăm ca, în medie, în orice moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ după un timp relativ scurt $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ o cantitate de indivizi noi se naște proporțional cu populația și cu timpul scurs $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ , adică egal cu $nP(t)dt$ ${\ displaystyle nP (t) dt}$ $nP (t) dt$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr (care se presupune a fi constant) care identifică rata natalității. În mod similar, este rezonabil să ne așteptăm să moară $mP(t)dt$ ${\ displaystyle mP (t) dt}$ $mP (t) dt$ indivizi în același interval de timp, fiind $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ rata de mortalitate (constantă). Populația de atunci $t+dt$ ${\ displaystyle t + dt}$ $t + dt$ , prin urmare, va fi dat de populația de atunci $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ la care se adaugă populația nou-născut și se scade cea moartă, adică:

P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt

{\ displaystyle P (t + dt) = P (t) + nP (t) dt-mP (t) dt = P (t) + (nm) P (t) dt}

P (t + dt) = P (t) + nP (t) dt-mP (t) dt = P (t) + (n-m) P (t) dt

Deci avem asta:

{\frac {P(t+dt)-P(t)}{dt}}=(n-m)P(t)

{\ displaystyle {\ frac {P (t + dt) -P (t)} {dt}} = (nm) P (t)}

{\ frac {P (t + dt) -P (t)} {dt}} = (n-m) P (t)

Relația incrementală a funcției poate fi recunoscută în expresia primului membru $P(t)$ ${\ displaystyle P (t)}$ $P (t)$ ; de sine $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ este foarte mic, acest raport va fi înlocuit cu derivatul $P'(t)$ ${\ displaystyle P '(t)}$ $P '(t)$ și va scrie:

P'(t)=(n-m)P(t)

{\ displaystyle P '(t) = (nm) P (t)}

P '(t) = (n-m) P (t)

Aceasta este o ecuație diferențială obișnuită de prim ordin. Rezolvarea acestei ecuații înseamnă determinarea tendinței în timp a populației, adică a funcției $P(t)$ ${\ displaystyle P (t)}$ $P (t)$ . Prin urmare, căutăm o funcție care poate fi adunată dimensional la prima sa derivată, adică funcția exponențială (ale cărei derivate sunt funcția în sine pentru o constantă):

P(t)=ae^{kt}

{\ displaystyle P (t) = ae ^ {kt}}

P (t) = ae ^ {{kt}}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt constante. Forțând să respecte constrângerea $P'(t)-(n-m)P(t)=0$ ${\ displaystyle P '(t) - (nm) P (t) = 0}$ $P '(t) - (n-m) P (t) = 0$ avem:

P(t)=P_{0}e^{(n-m)t}

{\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {(nm) t}}

P (t) = P_ {0} e ^ {{(n-m) t}}

Este o funcție exponențială care crește în timp dacă $n>m$ ${\ displaystyle n> m}$ $n> m$ , adică, dacă rata natalității este mai mare decât mortalitatea și scade până când dispare repede dacă $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ . Modelul examinat este deosebit de simplificat; în general, rata de creștere nu este pur și simplu proporțională cu populația actuală cu o constantă fixă de proporționalitate: este rezonabil să ne așteptăm, de exemplu, ca resursele disponibile să fie limitate și insuficiente pentru a satisface o populație arbitrar de mare. De asemenea, putem lua în considerare situații mai complicate, cum ar fi cea în care există mai multe populații care interacționează între ele, cum ar fi prada și prădătorii în modelul Volterra-Lotka .

Soluții

De obicei nu este posibil să se găsească soluții exacte pentru ecuații diferențiale. În loc să găsim o expresie analitică a unei funcții care să satisfacă ecuația, suntem adesea limitați la studierea existenței acesteia și a tendinței sale calitative sau soluțiile aproximative sunt determinate folosind computere capabile să facă aproximări folosind metode de calcul numeric . Cu toate acestea, de-a lungul secolelor, s-au găsit mai multe cazuri în care este posibil să se obțină expresia analitică a funcțiilor care reprezintă soluția unei ecuații diferențiale, la fel cum au fost dezvoltate multe instrumente de diferite tipuri pentru a căuta astfel de soluții: ecuațiile obișnuite, de exemplu, se poate recurge la utilizarea unui factor de integrare , metoda diferenței finite , metoda variației constante și diverse alte metode de soluții analitice și numerice .

În ceea ce privește ecuațiile diferențiale parțiale, nu există o teorie generală care să le analizeze, dar există cazuri în care este posibil să se găsească o soluție unică care depinde continuu de datele furnizate de problemă. Aceste soluții sunt numite „clasice” și se disting de soluțiile slabe sau generalizate. Printre numeroasele metode utilizate pentru studierea PDE se numără metoda caracteristicilor , utilizarea funcției Green , diferite transformări integrale sau metoda separării variabilelor .

De asemenea, se întâmplă adesea să se identifice clase de funcții caracterizate prin faptul că îndeplinesc câteva ecuații diferențiale importante și, din acest motiv, se bucură de proprietăți particulare care le fac de interes considerabil. De exemplu, undele , care satisfac ecuația undei , funcțiile armonice , care satisfac ecuația Laplace și funcțiile speciale , inclusiv funcțiile hipergeometrice care satisfac ecuația hipergeometrică sau funcțiile Struve , funcțiile funcțiilor Anger și Weber care satisfac cea a lui Bessel ecuații .

Soluții numerice

Același subiect în detaliu: Metode de soluție numerică pentru ecuații diferențiale obișnuite .

Soluțiile numerice sunt algoritmi care vă permit să aproximați soluția sistemului de ecuații diferențiale care alcătuiesc modelul matematic al sistemului. Acești algoritmi stau la baza software-ului de simulare precum MATLAB / Simulink și, în general, pot rezolva și probleme care nu admit soluții în formă închisă.

Software

ExpressionsinBar
Arțar : ^[15] rezolvă
SageMath ^[16]
Xcas : ^[17] dezolve (y '= k * y, y)

Notă

^ Newton, Isaac. (c. 1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), publicat în 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
^ John E. Sasser - Istoria ecuațiilor diferențiale ordinare: primii sute de ani.
^ Jacob Bernoulli , Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis , în Acta Eruditorum , 1695.
^ Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett și Gerhard Wanner, Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare I: probleme non-rigide , Berlin, New York, Springer-Verlag , 1993, ISBN 978-3-540-56670-0 .
^ [1] John T. Cannon și Sigalia Dostrovsky,Evoluția dinamicii, teoria vibrațiilor din 1687 până în 1742 , Studii de istorie a matematicii și științelor fizice, vol. 6, New York, Springer-Verlag, 1981, pp. ix + 184 p., ISBN 0-387-90626-6 . JW GREY, RECENZII DE CĂRȚI , în BULLETIN (Noua serie) A SOCIETĂȚII MATEMATICE AMERICANE , vol. 9, nr. 1, iulie 1983. (recuperat 13 noiembrie 2012).
^ Gerard F. Wheeler și William P. Crummett, The Vibrating String Controversy , în Am. J. Phys. , vol. 55, nr. 1, 1987, pp. 33–37, DOI : 10.1119 / 1.15311 .
^ Pentru o colecție specială a celor 9 lucrări revoluționare ale celor trei autori, vezi Prima apariție a ecuației undei: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - controversa despre corzi vibrante Arhivat 9 februarie 2020 la Internet Archive . (accesat la 13 noiembrie 2012). Herman HJ Lynge și Fiul.
^ Pentru contribuțiile lui de Lagrange la ecuația undelor acustice, puteți consulta Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; pagina 18. (recuperat 9 decembrie 2012)
^ Speiser, David. Descoperirea principiilor mecanicii 1600-1800 , p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
^ ( FR ) Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur , Paris, Firmin Didot Père et Fils, 1822,OCLC 2688081 .
^ Enciclopedia matematicii - problema Cauchy , la encyclopediaofmath.org . Adus 06-07-2015 .
^ Enciclopedia matematicii - teorema Kovalevskaya , la encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .
^ Paul's Online Math Notes - Second Order DE's / Basic Concepts
^ Vladimir Tkatjev - Lecture 5. Classification of the second-order equations in two variables Archiviato il 23 luglio 2015 in Internet Archive .
^ dsolve , su maplesoft.com .
^ Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0 , su doc.sagemath.org . URL consultato il 12 maggio 2020 .
^ Symbolic algebra and Mathematics with Xcas ( PDF ), su www-fourier.ujf-grenoble.fr .

Bibliografia

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lezioni di analisi matematica due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , Capitoli 4 e 5.
( EN ) George Boole , A treatise on differential equations , Cambridge, MCMILLAN AND CO., 1859. URL consultato il 14 luglio 2021 . Ospitato su Gallica .
( EN ) WW Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
( EN ) T. Craig A treatise on linear differential equations (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
( EN ) E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917)
( EN ) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
( EN ) H. Bateman Differential Equations ( Longmans, Green and co., London, 1918)
( EN ) EL Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927)
( EN ) AR Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929)
( EN ) EGC Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
( FR ) E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896)
( FR ) C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1913)
( EN ) PL Sachdev A Compendium on Nonlinear Ordinary Differential Equations (John Wiley, 1997) ISBN 0-471-53134-0
( DE ) L. Schlesinger Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Erster Band) (BG Teubner, Leipzig, 1895)
( DE ) L. Schlesinger Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Zweiter Band, Erster Theil) (BG Teubner, Leipzig, 1897)
( DE ) L. Schlesinger Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Zweiten Band, Zweiter Theil) (BG Teubner, Leipzig, 1898)
( DE ) H. Liebmann Lehrbuch der Differentialgleichungen (Veit & Comp., 1901)

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su equazione differenziale

Collegamenti esterni

( EN ) Equazione differenziale , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Equazione differenziale , in Enciclopedia della Matematica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
V. Moretti Introduzione alla teoria delle equazioni alle Derivate Parziali del secondo ordine dispense università di Trento
Modellizzazione con equazioni differenziali Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici.
( EN ) EqWorld , su eqworld.ipmnet.ru .
( EN ) MathWorld , su mathworld.wolfram.com .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6598 · LCCN ( EN ) sh85037890 · GND ( DE ) 4012249-9 · BNF ( FR ) cb133183122 (data) · NDL ( EN , JA ) 00560651

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Newton, Isaac. (c. 1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), publicat în 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[2] John E. Sasser - Istoria ecuațiilor diferențiale ordinare: primii sute de ani.

[3] Jacob Bernoulli , Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis , în Acta Eruditorum , 1695.

[4] Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett și Gerhard Wanner, Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare I: probleme non-rigide , Berlin, New York, Springer-Verlag , 1993, ISBN 978-3-540-56670-0 .

[5] [1] John T. Cannon și Sigalia Dostrovsky,Evoluția dinamicii, teoria vibrațiilor din 1687 până în 1742 , Studii de istorie a matematicii și științelor fizice, vol. 6, New York, Springer-Verlag, 1981, pp. ix + 184 p., ISBN 0-387-90626-6 . JW GREY, RECENZII DE CĂRȚI , în BULLETIN (Noua serie) A SOCIETĂȚII MATEMATICE AMERICANE , vol. 9, nr. 1, iulie 1983. (recuperat 13 noiembrie 2012).

[6] Gerard F. Wheeler și William P. Crummett, The Vibrating String Controversy , în Am. J. Phys. , vol. 55, nr. 1, 1987, pp. 33–37, DOI : 10.1119 / 1.15311 .

[7] Pentru o colecție specială a celor 9 lucrări revoluționare ale celor trei autori, vezi Prima apariție a ecuației undei: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - controversa despre corzi vibrante Arhivat 9 februarie 2020 la Internet Archive . (accesat la 13 noiembrie 2012). Herman HJ Lynge și Fiul.

[8] Pentru contribuțiile lui de Lagrange la ecuația undelor acustice, puteți consulta Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; pagina 18. (recuperat 9 decembrie 2012)

[Speiser-9] Speiser, David. Descoperirea principiilor mecanicii 1600-1800 , p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[10] ( FR ) Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur , Paris, Firmin Didot Père et Fils, 1822,OCLC 2688081 .

[11] Enciclopedia matematicii - problema Cauchy , la encyclopediaofmath.org . Adus 06-07-2015 .

[12] Enciclopedia matematicii - teorema Kovalevskaya , la encyclopediaofmath.org . URL consultato il 06-01-2013 .

[13] Paul's Online Math Notes - Second Order DE's / Basic Concepts

[14] Vladimir Tkatjev - Lecture 5. Classification of the second-order equations in two variables Archiviato il 23 luglio 2015 in Internet Archive .

[15] solve , su maplesoft.com .

[16] Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0 , su doc.sagemath.org . URL consultato il 12 maggio 2020 .

[17] Symbolic algebra and Mathematics with Xcas ( PDF ), su www-fourier.ujf-grenoble.fr .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy