Sistem de număr hexazecimal

Sistemul de numere hexazecimale (adesea prescurtat ca hex sau hex ) este un sistem numeric pozițional de bază 16, ceea ce înseamnă că folosește 16 simboluri în loc de 10 ale sistemului tradițional de numere zecimale . Pentru hexazecimale, simbolurile de la 0 la 9 sunt utilizate în general pentru primele zece cifre, iar apoi literele de la A la F pentru următoarele șase cifre, pentru un total de 16 simboluri. ^[1]

Reprezentare

Iată un tabel care compară reprezentările hexazecimale, zecimale, octale și binare ale numerelor până la 15:


0 _hex	=	0 _dec	=	0 _oct	0	0	0	0
1 _hex	=	1 _dec	=	1 _oct	0	0	0	1
2 _hex	=	2 _dec	=	2 _oct	0	0	1	0
3 _hex	=	3 _dec	=	3 _oct	0	0	1	1

4 _hex	=	4 _dec	=	4 _oct	0	1	0	0
5 _hex	=	5 _dec	=	5 _oct	0	1	0	1
6 _hex	=	6 _dec	=	6 _oct	0	1	1	0
7 _hex	=	7 _dec	=	7 _oct	0	1	1	1

8 _hex	=	8 _dec	=	10 _oct	1	0	0	0
9 _hex	=	9 _dec	=	11 _oct	1	0	0	1
Un _hex	=	10 _dec	=	12 _oct	1	0	1	0
B _hex	=	11 _dec	=	13 _oct	1	0	1	1

C _hex	=	12 _dec	=	14 _oct	1	1	0	0
D _hex	=	13 _dec	=	15 _oct	1	1	0	1
Și _hex	=	14 _dec	=	16 _oct	1	1	1	0
F _hex	=	15 _dec	=	17 _oct	1	1	1	1

Prin urmare, numărul zecimal 143, a cărui reprezentare binară este 1000 1111, poate fi scris ca 8F în hexazecimal.

Informatică

Sistemul hexazecimal este utilizat pe scară largă în informatică , datorită relației sale directe între o cifră hexazecimală și patru cifre binare. Este adesea folosit ca intermediar sau ca sistem numeric independent. De exemplu, este posibil să se exprime un octet cu exact două cifre hexazecimale (în loc de trei zecimale). De fapt, este interesant de observat cum fiecare cifră hexazecimală corespunde unei ciuguliri , adică un număr binar de patru cifre.

Există numeroase modalități de a indica un număr ca fiind hexazecimal, utilizat în diferite limbaje de programare și descriere hardware:

Ada și VHDL includ numere în „ghilimele numerice” care raportează și baza, de exemplu „16 # 5A3 #” (Notă: Ada acceptă această notație pentru toate bazele de la 2 la 16 și atât pentru numere întregi, cât și pentru numere reale).
C și limbile cu sintaxă similară (cum ar fi Java ) folosesc prefixul „0x”, de exemplu „0x5A3”. Zero-ul principal este prezent deoarece numerele trebuie să înceapă cu un caracter numeric, iar „x” înseamnă hexadecimal (în absența „x”, numărul este conceput ca octal ).
Pascal și unele ansambluri indică hexazecimal cu sufixul „h” (dacă numărul începe cu o literă, se folosește și prefixul „0”), de exemplu „0A3Ch”, „5A3h”.
Alte ansambluri ( AT&T , Motorola ) și unele versiuni de BASIC utilizează prefixul '$', de exemplu „$ 5A3”.
Alte versiuni de BASIC folosesc prefixul "& h", de exemplu "& h5A3".
Atunci când utilizează alte sisteme numerice decât baza zece sau cifre în mai multe baze, matematicienii scriu baza ca un indice al numărului, de exemplu _„16 5A3” sau „5A3 SIXTEEN _”.

Nu există un simbol standard, deci sunt utilizate toate convențiile enumerate mai sus și, uneori, același articol poate conține două convenții diferite. Cu toate acestea, nu există prea multe confuzii, deoarece toate sunt lipsite de ambiguitate.

Cuvântul „hexazecimal“ este ciudat, deoarece hex prefix este derivat din greacă έξι (EXI) (adică șase), iar zecimal provine din limba latină cuvântul pentru zece.

Conversii cu alte sisteme numerice

Sistem zecimal

O metodă de conversie a unui număr hexazecimal în zecimal este multiplicarea cifrelor sale cu puterile bazei 16. De exemplu 4F $=4\times 16^{1}+{\rm {F}}\times 16^{0}$ ${\ displaystyle = 4 \ times 16 ^ {1} + {\ rm {F}} \ times 16 ^ {0}}$ $= 4 \ times 16 ^ {1} + {{\ rm {F}}} \ times 16 ^ {0}$ unde F este 15 (vezi tabelul de mai sus):

asa de $(4{\rm {{F})_{16}=4\times 16^{1}+15\times 16^{0}}}$ ${\ displaystyle (4 {\ rm {{F}) _ {16} = 4 \ times 16 ^ {1} +15 \ times 16 ^ {0}}}}$ $(4 {\ rm {{F}) _ {{16}} = 4 \ times 16 ^ {1} +15 \ times 16 ^ {0}}}$ . (Amintiți-vă că 16 ⁰ = 1).

Atunci $(4{\rm {{F})_{16}=4\times 16^{1}+15\times 1=4\times 16+15\times 1=64+15=79}}$ ${\ displaystyle (4 {\ rm {{F}) _ {16} = 4 \ times 16 ^ {1} +15 \ times 1 = 4 \ times 16 + 15 \ times 1 = 64 + 15 = 79}}}$ $(4 {\ rm {{F}) _ {{16}} = 4 \ times 16 ^ {1} +15 \ times 1 = 4 \ times 16 + 15 \ times 1 = 64 + 15 = 79}}$ .

Operația inversă - de la zecimal la hexazecimal - se face cu o serie de diviziuni succesive. Se utilizează divizarea cu restul. Să vedem un exemplu:

${\frac {79}{16}}=4,9375$ ${\ displaystyle {\ frac {79} {16}} = 4.9375}$ ${\ frac {79} {16}} = 4.9375$ apoi rezultatul este rotunjit în jos. Acum trebuie să găsim restul, cel mai simplu mod este să înmulțim partea zecimală cu divizorul operației anterioare: $0,9375\times 16=15$ ${\ displaystyle 0.9375 \ times 16 = 15}$ $0,9375 \ ori 16 = 15$ . În cele din urmă, numărul trebuie format în sistem hexazecimal: 4 este indicat de simbolul 4, 15 de simbolul F: 4F .

Alt exemplu:

FB3 în hexazecimal corespunde numărului 4019 din baza zecimală. Da, da

$({\rm {FB}}3)_{16}=F\times 16^{2}+B\times 16^{1}+3\times 16^{0}=15\times 16^{2}+11\times 16^{1}+3\times 16^{0}=$ ${\ displaystyle ({\ rm {FB}} 3) _ {16} = F \ times 16 ^ {2} + B \ times 16 ^ {1} +3 \ times 16 ^ {0} = 15 \ times 16 ^ {2} +11 \ ori 16 ^ {1} +3 \ ori 16 ^ {0} =}$ $({{\ rm {FB}}} 3) _ {{16}} = F \ times 16 ^ {2} + B \ times 16 ^ {1} +3 \ times 16 ^ {0} = 15 \ times 16 ^ {2} +11 \ ori 16 ^ {1} +3 \ ori 16 ^ {0} =$

$=15\times 256+11\times 16+3\times 1=3840+176+3=4019.$ ${\ displaystyle = 15 \ times 256 + 11 \ times 16 + 3 \ times 1 = 3840 + 176 + 3 = 4019.}$ $= 15 \ ori 256 + 11 \ ori 16 + 3 \ ori 1 = 3840 + 176 + 3 = 4019.$

În schimb, să convertim 4019 în hexazecimal:

4019 ÷ 16 = 251 cu restul 3 .

Coeficientul 251 este din nou împărțit la 16,

251 ÷ 16 = 15 cu restul 11 ,

Cocientul 15 este mai mic decât baza 16 și procesul de divizare se oprește.

Numărul este scris începând cu ultimul rezultat obținut și succesiunea rămășițelor este elaborată. Numărul hexazecimal este 15-11-3

adică FB-3

care este scris FB3 .

Sistem binar

Motivul pentru care este folosit în informatică este că sistemul hexadecimal poate fi considerat ca o scriere mai compactă decât sistemul binar. Conversia de la baza 16 la baza 2 și invers poate fi efectuată prin înlocuirea grupurilor de cifre în loc de algoritmi de diviziune.

De exemplu, luați în considerare următorul număr de bază 16: A16BC9 ₁₆ . Pentru a-l converti în baza 2, pur și simplu luați fiecare cifră hexazecimală și înlocuiți-o cu echivalentul său în sistemul binar, așa cum este raportat în coloana din dreapta tabelului inițial. În urma acestei proceduri, se obține următorul rezultat:

A16BC9 ₁₆	=	LA	1	6	B.	C.	9 ₁₆
	=	1010	0001	0110	1011	1100	1001 ₂
	=	10100001011010111100001 _2.

Pentru a obține conversia opusă, totuși, este necesar să procedați invers: împărțiți numărul binar în grupuri de 4 cifre începând din dreapta (dacă ultimul grup conține mai puțin de 4 cifre, este necesar să puneți în față ca multe zerouri după cum este necesar pentru a-l completa) și înlocuiți fiecare grup cu echivalentul său hexazecimal. De exemplu, să presupunem că convertiți baza 2 în baza 16: 100101111111001011 ₂ . Prin efectuarea operațiunilor descrise mai sus, avem:

10 0101 1111 1100 1011 ₂	=	00 10	0101	1111	1100	1011 ₂
	=	2	5	F.	C.	B ₁₆
	=	25FCB ₁₆

Fracții

Sistemul hexazecimal, la fel ca orice sistem de numerotare pozițională, permite, de asemenea, ca fracțiile să fie reprezentate ca numere cu virgule: aceste reprezentări pot fi periodice limitate sau nelimitate, similar cu cazul zecimal. Cateva exemple:

1/2	=	0,8: număr hexazecimal limitat
1/3	=	0,555 ... = $0,{\overline {5}}$ ${\ displaystyle 0, {\ overline {5}}}$ $0, {\ overline 5}$ : număr hexazecimal periodic nelimitat
1/4	=	0,4
1/5	=	0,333 ... = $0,{\overline {3}}$ ${\ displaystyle 0, {\ overline {3}}}$ $0, {\ overline 3}$ : periodic (simplu)
1/6	=	0.2AAA ... = $0,2{\overline {A}}$ ${\ displaystyle 0,2 {\ overline {A}}}$ $0,2 {\ overline A}$ : periodic (mixt)
1/8	=	0,2
1 / A	=	0.1999 ... = $0,1{\overline {9}}$ ${\ displaystyle 0,1 {\ overline {9}}}$ $0,1 {\ overline 9}$ : periodic (mixt)
1 / C	=	0,1555 ... = $0,1{\overline {5}}$ ${\ displaystyle 0,1 {\ overline {5}}}$ $0,1 {\ overline 5}$ : periodic (mixt)
1 / F.	=	0,111 ... = $0,{\overline {1}}$ ${\ displaystyle 0, {\ overline {1}}}$ $0, {\ overline 1}$ : periodic (simplu)

Deoarece baza 16 este o putere de 2, doar fracțiile care au o putere de 2 ca numitor au o reprezentare limitată . De fapt, cifrele se repetă atunci când numitorul conține un factor prim care nu se află în bază. În cazul numerelor hexazecimale, acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă numitorul nu este o putere de doi . În consecință, fracțiile hexazecimale periodice sunt mai frecvente decât în cazul zecimal (10 acceptă 2 și 5 ca factori primi).

Numerele iraționale pot fi reprezentate ca numere hexadecimale aperiodice nelimitate, la fel ca în cazul zecimal.

În sfârșit, în mod similar cu cazul perioadei 9 bazate pe 10 , avem: $0,{\rm {\overline {F}}}=1$ ${\ displaystyle 0, {\ rm {\ overline {F}}} = 1}$ ${\ displaystyle 0, {\ rm {\ overline {F}}} = 1}$ .

Notă

^ Sistem hexazecimal , pe www.youmath.it . Adus la 17 decembrie 2018 (depus de „Adresa URL originală la 17 decembrie 2018).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un sistem de numere hexazecimale

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Sistem hexazecimal , pe www.youmath.it . Adus la 17 decembrie 2018 (depus de „Adresa URL originală la 17 decembrie 2018).

[1]

V · D · M Sisteme de numerotare
După bază	Unar (1) · Binar (2) · ternar (3) · Ternar echilibrat (3) · Cuaternar (4) · Quinarius (5) · Senario (6) · Septenar (7) · Octal (8) · Nonario (9) · Zecimal (10) · Ieftin (12) · Hex (16) · vigesimal (20) · Sexagesimal (60)
După cultură	Cifre arabe · Numere armenii · Numere babiloniene · Numere chineze · Numere chirilice · Numere evreiești · Numere egiptene · Numere georgiene · japonez numere · numere glagolitice · Numere grecești · Numeri incașe · Numere indiene · Numere mayașe · cifre romane · Numere persane · Numere Thai
Lista sistemelor de numerotare