Punctul de plecare pentru calcularea câmpului magnetostatic în vid este legea Biot-Savart , al cărei caz general este:
- {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ') \ times \ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}} dV'}
unde este {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} = \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} trebuie să ne amintim asta {\ displaystyle \ mathbf {r}} indică distanța față de sistemul de referință al punctului în care dorim să calculăm câmpul,{\ displaystyle \ mathbf {r '}} indică distanța elementului circuitului, care este {\ displaystyle dV '} pentru circuite de orice formă e {\ displaystyle dl '} pentru circuite de tip fir.
Linie dreaptă infinită
Câmp magnetic pentru un fir care transportă curent
Luați în considerare un fir drept în lungime {\ displaystyle l} cale de curent foarte mare {\ displaystyle I} în direcția pozitivă a axei z . Vrem să calculăm câmpul magnetic într-un punct {\ displaystyle P} ortogonal departe de fir cu o cantitate {\ displaystyle a} . Trebuie să putem adăuga contribuțiile infinitezimale ale câmpului produs de fiecare bucată de sârmă{\ displaystyle d \ mathbf {l}} distant de P di {\ displaystyle \ mathbf {r}} , așa cum se arată:
- {\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {l} {\ frac {dl \ cdot \ not r \ cdot \ sin \ alpha} { r ^ {\ not 3}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {l} {\ frac {dl \ cdot \ sin \ alpha} {r ^ { 2}}}}
unde am dezvoltat numeratorul și produsul vector simplificat {\ displaystyle r} . Putem face cu ușurință transformări trigonometrice pentru a facilita calculul integralei:
- {\ displaystyle \ sin \ alpha = \ cos \ theta}
din moment ce: l = a {\ displaystyle \ cdot} bronzat {\ displaystyle \ theta} putem deriva {\ displaystyle l} în comparație cu {\ displaystyle \ theta} : {\ displaystyle {\ frac {dl} {d \ theta}} = {\ frac {a} {\ cos ^ {2} \ theta}}} și, în sfârșit {\ displaystyle r = {\ frac {a} {\ cos \ theta}}} . Prin înlocuire {\ displaystyle dl} și {\ displaystyle r} , poate fi integrat în raport cu o singură variabilă unghiulară {\ displaystyle \ theta} că pentru {\ displaystyle l \ to \ infty \ Longrightarrow - \ pi / 2 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2} :
- {\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {l} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ sin \ alpha \ cdot dl} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cancel {\ cos ^ {2} \ theta}} {a ^ {\ not 2}}} \ cos \ theta {\ frac {\ not a} {\ cancel {\ cos ^ {2} \ theta}}} d \ theta = { \ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi a}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos \ theta \, d \ theta}
Executarea integralei:
- {\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi a}} \ left [\ sin \ theta \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi a}}}
Dacă firul are lungime {\ displaystyle L} nu suficient de mare pentru a aproxima, atunci trebuie să țineți cont de: {\ displaystyle L = r \ sin \ theta} Și {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {L} {r}}} , unde L înseamnă jumătate din lungimea firului considerat (nu faceți referire la imagine).
- {\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi a}} {\ frac {L} {\ sqrt {a ^ {2} + L ^ {2}}} }}
luând în considerare punctul {\ displaystyle P} așezat peste centrul firului. Pe de altă parte, legea Biot-Savart pentru un fir drept infinit este:
- {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ oint _ {l '} I {\ frac {d \ mathbf {l} '\ times \ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}}}
Buclă circulară
Vrem să calculăm câmpul magnetic pe axa unei bobine cu rază R. Contribuția {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {B} _ {0}} a elementului {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {l} '} Și:
- {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {B} _ {0} (z) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I {\ frac {d \ mathbf {l } '\ times \ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}}}
{\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {l} '} este ortogonală la {\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r}} , în plus, pentru fiecare element infinitesimal {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {l} '} a turnului există un alt opus care generează un câmp {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {B} _ {0}} la fel ca formă, dar în sens opus. Deci câmpul magnetic este paralel cu axa z:
- {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {B} _ {0z} = \ mathrm {d} B_ {0} \ cos \ alpha}
Prin integrarea:
- {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} = \ oint {\ mbox {d}} \ mathbf {B} _ {0z} = {\ hat {n}} \ oint {\ mbox {d}} B_ { 0z} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ cos \ alpha} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ oint {\ mbox {d}} l '= {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ cos \ alpha} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {2}} } 2 \ pi R}
înlocuind {\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {R} {| \ Delta \ mathbf {r} |}}} Și {\ displaystyle | \ Delta \ mathbf {r} | = {\ sqrt {R ^ {2} + z ^ {2}}}} primesti:
- {\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (z) = {\ hat {n}} {\ frac {\ mu _ {0} IR ^ {2}} {2 \ left (z ^ {2} + R ^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}}}
In caz {\ displaystyle z \ gg R} :
- {\ displaystyle B_ {0} (z) = {\ frac {\ mu _ {0} IR ^ {2}} {2z ^ {3}}}}
În centrul bobinei {\ displaystyle z = 0} :
- {\ displaystyle B_ {00} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2R}}}
Solenoid
Solenoidul în lungime {\ displaystyle L} poate fi considerat un set de {\ displaystyle N} viraje coaxiale de rază {\ displaystyle R} . Câmpul magnetic are direcția axei solenoidului. Câmpul magnetic într-un punct al axei solenoidului poate fi calculat cu ușurință prin aplicarea legii lui Ampère unui circuit dreptunghiular format dintr-o latură corespunzătoare axei solenoidului (sau a oricărui segment paralel cu axa și în interiorul fiecărei bobine), un a doua latură paralelă cu prima, dar externă solenoidului și laturile de îmbinare simetrice între ele, obținem rezultatul:
- {\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {B} _ {0} \ cdot d \ mathbf {l} = \ mu _ {0} nLI}
unde n , densitatea turei, este egală cu raportul lui {\ displaystyle N} Și {\ displaystyle L} , Și {\ displaystyle C} este orice linie închisă care concatenează curentul {\ displaystyle I} pe toate bobinele (adică de N ori):
- {\ displaystyle B_ {0} = \ mu _ {0} n \ cdot I}
De fapt, cu aproximarea unui solenoid infinit, câmpul magnetic din afara solenoidului este zero, deoarece liniile de câmp trebuie să se reunească la infinit și sunt infinit rare în exterior. Cele două laturi de îmbinare sunt simetrice, precum și problema: contribuția lor este zero.
În interiorul unui conductor care transportă curent
Să luăm în considerare un conductor electric cu o secțiune circulară de rază {\ displaystyle R} traversat de un curent {\ displaystyle I} . Conform legii lui Ampere :
- {\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {B} _ {0} \ cdot d \ mathbf {s} = 2 \ pi rB = \ mu _ {0} I}
Presupunând curentul uniform distribuit în interiorul conductorului vom avea o densitate egală cu:
- {\ displaystyle j = {\ frac {I} {\ pi R ^ {2}}}}
Curentul concatenat va avea o tendință, în funcție de rază {\ displaystyle r} a circumferinței în jurul axei conductorului, de tipul:
- {\ displaystyle i (r) = I {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2}}}}
Din legea lui Ampére :
- {\ displaystyle 2 \ pi rB = \ mu _ {0} j \ pi r ^ {2} = \ mu _ {0} I {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2}}}}
Din care obținem:
- {\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} jr} {2}} = {\ frac {\ mu _ {0} Ir} {2 \ pi R ^ {2}}} \ qquad 0 \ leq r \ leq R}
Ceea ce reprezintă tendința câmpului magnetic din interiorul unui conductor în funcție de distanța de la centru. După cum puteți vedea, câmpul crește liniar și proporțional cu r. Ajuns la {\ displaystyle r = R} , pentru {\ displaystyle r> R} câmpul scade pe măsură ce {\ displaystyle 1 / r} .
Foaie plană infinită
Să luăm în considerare o foaie plată nedefinită traversată de un curent {\ displaystyle i} unidirecțional. Dacă luăm un sistem cartezian de referință și orientăm corect axele pentru a avea planul cuplurilor {\ displaystyle (x; y)} coincidentă cu cea a lamelei și curentul continuu de-a lungul {\ displaystyle \ mathbf {x}} , apoi urmând regula mâinii drepte câmpul magnetic {\ displaystyle \ mathbf {B}} se va îndrepta mult {\ displaystyle \ mathbf {y}} și va varia de-a lungul {\ displaystyle \ mathbf {z}} . De fapt, când {\ displaystyle z> 0} va merita {\ displaystyle \ mathbf {B} = B \ mathbf {u_ {y}}} si pentru {\ displaystyle z <0} Sara {\ displaystyle \ mathbf {B} = -B \ mathbf {u_ {y}}} ; prin urmare, va suferi o discontinuitate tangențială față de lamă, exact în pasajul din interiorul acesteia ( {\ displaystyle z = 0} ). Din circuitele calculate în jurul acestei discontinuități rezultă:
- {\ displaystyle B_ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} j_ {l}} {2}}}
Unde este {\ displaystyle j_ {l}} reprezintă densitatea liniară de curent (A / m) a foliei. Din diferența celor două câmpuri lungi {\ displaystyle \ mathbf {z}} (reprezentate vectorial sunt opuse în semn), se obține valoarea discontinuității, adică dublul lui {\ displaystyle B_ {0}} .
Elemente conexe