Extensie normală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și în special în teoria câmpurilor , o extensienormală este o extensie algebricăa câmpurilor astfel încât fiecare polinom ireductibil din inelul polinoamelor care are o rădăcină în se sparg complet

Definiții echivalente

Există multe caracterizări echivalente ale extensiilor normale. Dacă într-adevăr este o extensie a câmpurilor, atunci acestea sunt echivalente:

  • este o extensie normală;
  • de sine , apoi toate rădăcinile polinomului minim al pe sunt în ;
  • orice automorfism al unei închideri algebrice a fixare este un automorfism al ;
  • este domeniul despărțirii dintr-o familie de polinoame de .

Când extensia este, de asemenea, finit , atunci ultima dintre aceste echivalențe poate fi simplificată cerând asta fie câmpul de divizare a unui singur polinom al .

Exemple

  • Campul este o extensie normală a , deoarece este câmpul de rupere al . Mai general, orice extensie de gradul 2 este normală.
  • nu este o extensie normală a : intr-adevar, are ca polinom minim , ale cărei alte două rădăcini nu sunt reale și, prin urmare, nu pot fi cuprinse în interior (care este conținut în ).
  • De sine este închiderea algebrică a , asa de este normal, deoarece orice polinom de se descompune liniar în .

Proprietate

  • Prin definiție, o extensie este al lui Galois dacă și numai dacă este normal și separabil .
  • De sine este o extensie normală și , apoi și Este normal. În general, însă, extensia nu este normal.
  • De sine Și sunt extensii normale, apoi și Și (unde este este câmpul generat de și ) sunt normale. Același lucru este valabil și pentru o cantitate infinită de extensii normale.

Închidere normală

De sine este o extensie algebrică , există întotdeauna o extensie din care este cea mai mică extensie normală a conținând ; se numește închiderea normală a pe , și este unic, cu excepția izomorfismelor .

De sine (adică dacă este crescut pe dintr-un set ), apoi închiderea normală a pe este generat din rădăcinile polinoamelor minime de pe a elementelor de : de exemplu, închiderea normală a pe Este egal cu , unde este este o a treia rădăcină primitivă a unității .

În special, dacă închiderea normală a este, de asemenea, o extensie finită pe este o extensie finită a .

Bibliografie

  • Stefania Gabelli, Theory of Equations and Galois Theory , Milan, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică