Euclid

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Euclid (dezambiguizare) .
Statuia lui Euclid plasată în muzeul de istorie naturală al Universității din Oxford.

Euclid ( grecesc antic : Εὐκλείδης , Eukléidēs ; sec . IV î.Hr. - sec. III î.Hr. ) a fost un matematician și filozof grec antic . S-a ocupat de diverse domenii, de la optică la astronomie, de la muzică la mecanică, precum și, desigur, la matematică. „Elementele”, cea mai cunoscută lucrare a sa, este una dintre cele mai influente lucrări din întreaga istorie a matematicii și a fost unul dintre principalele texte pentru predarea geometriei de la publicarea sa până la începutul anilor 1900. [1] [2] [3]

Biografie

Euclid este menționat într-un pasaj de Pappus , dar cea mai importantă mărturie pe care se bazează istoriografia despre el vine de la Proclus , care îl plasează printre cei mai tineri discipoli ai lui Platon .

«Nu mult mai tineri decât ei, Ermotimo di Colofone și Filippo di Mende , Euclid; el a adunat „Elementele”, a comandat pe mulți dintre Eudoxus în sistem, i-a perfecționat pe mulți dintre Teetetus și a redus la demonstrații de nerefuzat cele pe care predecesorii săi nu le demonstraseră riguros. A trăit pe vremea primului Ptolemeu, deoarece Arhimede, care a trăit imediat după Ptolemeu primul, menționează pe Euclid; și, de asemenea, se spune că Ptolemeu l-a întrebat odată dacă nu există o cale mai scurtă decât Elementele pentru a învăța geometria; și el a răspuns că pentru geometrie nu au fost făcute căi pentru regi. Prin urmare, Euclid era mai tânăr decât discipolii lui Platon, dar mai în vârstă decât Eratostene și Arhimede care erau contemporani, după cum afirmă undeva Eratostene. Pentru idei, Euclid era platonic și era foarte familiarizat cu această filozofie, atât de mult încât a propus ca obiectiv final al întregii colecții de Elemente construirea figurilor numite platonice "

( Proclus, Comentariu la Euclid , II, 68 )

La sfârșitul secolului al IV-lea î.Hr., Ptolemeu I , pe atunci faraon, conducător luminat, meticulos și proactiv în eforturile sale guvernamentale, a înființat o școală în Alexandria , numită Muzeul . Cine a predat în această școală a fost un grup de cărturari, inclusiv Euclid.

Euclid a fost unul dintre inițiatorii ajustării axiomatice a teoriilor matematice, un angajament care a fost asumat începând cu secolul său și care include axiome și teoreme, care sunt o consecință a primelor. Acest model este aplicat tuturor disciplinelor științifice și le-a permis să se apropie de metodologia pe care o atribuim astăzi lor, grație articulării primelor principii și rezultate derivate din acestea [4] . În ciuda foarte puținelor precedente istorice ale teoriei axiomatice în domeniul matematic și non-matematic, trebuie spus că axioma în sine este în orice caz baza matematicii. Având în vedere că inițierea în acest tip de avans este un merit enorm care trebuie acordat matematicianului din Alexandria, el a propus un tip de geometrie puternic bazat pe teoria axiomatică, în timp ce, într-un mod antitetic, mulți dintre colegii săi contemporani au respins în mod clar un tip de geometrie care a pornit de la axiome.

În ceea ce privește învățăturile conduse de Euclid în muzeu, el a fost amintit de elevii săi mai ales pentru cunoștințele sale extinse în diverse domenii și pentru abilitățile sale expoziționale care l-au făcut unul dintre cei mai apreciați și pregătiți profesori din școala alexandrină [5] . Aceste calități unice l-au ajutat și la scrierea marii sale opere, Elements .

Controversat este vestea că a fost un platonist convins. Într-adevăr, astăzi predomină tendința de a considera această judecată ca nefondată [6] și probabil dictată de dorința lui Proclus de a anexa cel mai mare matematician al antichității la rândul neoplatooniștilor la care a aparținut Proclus însuși.

Elementele

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Elemente (Euclid) .
O reprezentare a lui Euclid de Raffaello Sanzio în Școala din Atena din 1509 .

Euclid, căruia i s-a atribuit epitetul στοιχειωτής (compozitorul Elementelor ), a formulat prima reprezentare organică și completă a geometriei în opera sa fundamentală: Elementele , împărțită în 13 cărți. Dintre acestea, șase se referă la geometria planului elementar , trei la teoria numerelor, una (Cartea X) la nemăsurabile și ultimele trei la geometria solidă. Fiecare carte începe cu o pagină care conține afirmații care pot fi considerate ca un fel de definiții care servesc la clarificarea conceptelor ulterioare; sunt urmate de alte propoziții care sunt în schimb probleme reale sau teoreme: acestea diferă între ele prin modul în care sunt enunțate și prin propoziția rituală cu care se închid.

Pentru a face o idee despre complexitatea pregătirii Elementelor lui Euclid , gândiți-vă doar la afirmația că, în incipitul primei părți a eseului său despre Euclid, Peter Riccardi , savantul secolului al XIX-lea, este despre numărul disproporționat de probleme ale lucrarea euclidiană: «Numărul de ediții al operei mai sus menționate a lui Euclid, precum și a traducerilor și reducerilor care au fost publicate sub numele său, este cu siguranță mai mare decât ceea ce se poate presupune în mod obișnuit; și într-adevăr susțin că nu a existat nicio carte de o importanță notabilă, cu excepția Bibliei , care se poate lăuda cu un număr mai mare de ediții și ilustrații " [7] .

Lucrarea nu trece în revistă toate cunoștințele geometrice ale timpului, așa cum s-a presupus greșit, ci tratează toată așa-numita aritmetică elementară , care este relativă la teoria numerelor, pe lângă „geometria sintetică” (adică o abordare axiomatică) a materiei), și algebră (înțeleasă nu în sensul modern al cuvântului, ci ca aplicare a disciplinei la câmpul geometric).

Tradiția textului

Acest text a fost transmis grație primei reconstrucții pe care Theon din Alexandria a făcut- o , care a fost tradusă în latină de Adelard de Bath . [8]

În 1270 , traducerea lui Adelard a fost revizuită, tot în lumina altor surse arabe (derivate la rândul lor din alte versiuni grecești ale manuscrisului lui Theon) de către Campano da Novara . Această versiune (sau o copie a unei copii) a fost tipărită la Veneția în 1482 .

Ulterior, au fost găsite alte versiuni grecești ale manuscrisului lui Theon și o copie greacă, care este probabil anterioară celei a lui Theon. Reconstrucția actuală se bazează pe versiunea filologului danez JL Heiberg datând din 1880 și pe cea a istoricului englez TL Heath din 1908 . Prima traducere în limba chineză din latină a fost opera iezuitului Matteo Ricci , în 1607 .

Prima ediție italiană se datorează matematicianului italian Federigo Enriques și datează din 1935 . În 1970 apare o altă versiune italiană în tipurile UTET , tradusă de Lamberto Maccioni și comentată de Attilio Frajese .

În ceea ce privește traducerile ulterioare în latină, cele mai vechi sunt atestate la începutul secolelor al XV-lea și al XVI-lea. Cele mai acreditate traduceri latine, însă, datează din secolele XVII și XVIII și, în ordine cronologică, cele mai coroborate sunt cele ale lui Barrow (1639), Borelli (1658), Keill (1701), Gregory (1703) și Simson , considerat unul dintre, dacă nu cel mai prestigios, atât de mult încât este încă primul text de referință pentru geometrii scoțieni (1756) [9] . Apropo, însă, al traducerii în italiană, prima datează din 1543 și este rezultatul interpretării și elaborării lui Nicolò Tartaglia. Mai recente sunt însă traducerile, doar ale cărților geometrice, ale lui Viviani, Grandi și Flauti (respectiv secolele XVII, XVII și XIX) [10] .

Potrivit unor surse, Elementele nu sunt doar opera lui Euclid: el a adunat împreună, re-elaborând și aranjând-o axiomatic, cunoștințele matematice disponibile în timpul său. Opera sa a fost considerată de peste 20 de secole un text exemplar pentru claritate și rigoare expozitivă și poate fi considerat cel mai reușit text pentru predarea matematicii și preciziei argumentative din istorie.
Elementele nu sunt un compendiu al matematicii vremii, ci un manual introductiv care cuprinde toată matematica „elementară”, adică aritmetica (teoria numerelor), geometria sintetică (a punctelor, liniilor, planurilor, cercurilor și sferelor) și algebră (nu în sensul modern al algebrei simbolice, ci un echivalent în termeni geometrici).
Nu am primit copii directe ale acestei lucrări; în versiunea care a ajuns la noi, tratatul euclidian se limitează la prezentarea unei expuneri sobre și logice a elementelor fundamentale ale matematicii elementare.
Multe ediții antice conțin alte două cărți pe care cei mai recenți critici le atribuie respectiv lui Ipsicle (secolul II î.Hr.) și lui Isidor din Milet (sec. V-VI d.Hr.).

Viziune modernă

Statuia lui Euclid plasată în muzeul de istorie naturală al Universității din Oxford.

În 1899, David Hilbert a pus problema acordării unei baze riguroase axiomatice geometriei, adică a descrierii geometriei euclidiene fără a lăsa nicio axiomă neexprimată. Astfel ajunge să definească 28 de axiome , exprimate în lucrarea sa Grundlagen der Geometrie (fundamentele geometriei). Multe dintre aceste axiome sunt implicit asumate de Euclid în Elemente: de exemplu, Euclid nu spune niciodată în mod explicit „există cel puțin un punct în afara liniei” sau „având trei puncte care nu sunt aliniate, există un singur plan care le conține ", totuși le folosește implicit în multe dovezi.

Luând un indiciu de la Hilbert și inspirată de spiritul lui Euclid, colaborarea unora dintre cei mai buni matematicieni activi din 1935 până în 1975 adunată sub pseudonimul Nicolas Bourbaki compune monumentala lucrare, Elemente de matematică , în 11 volume și zeci de mii de pagini, oferind un tratament axiomatic al diferitelor ramuri ale matematicii. Cu toate acestea, prin teorema incompletitudinii lui Gödel , nicio axiomatizare a matematicii care conține cel puțin aritmetică nu poate fi completă.

Nu lipsită de interes, ediția unică a primelor șase cărți din Elementele lui Euclid propune inginerul și matematicianul irlandez Oliver Byrne în 1847. În intențiile de utilizare a culorilor pentru diagrame și cercetarea noilor limbaje simbolice ar fi trebuit să faciliteze înțelegerea și consolidarea a cunoștințelor aritmetice, adică nu avea un scop pur ilustrativ, ci didactic. Rezultatul destul de excentric este o operă de artă autentică care anticipează avangardele artistice ale secolului al XX-lea. „Niciunul dintre cei care țin această carte în mâini nu poate scăpa de fascinația care emană din aceste pagini, tocmai pentru că în acest fel este propusă înțelegerea celor mai complexe și abstracte regularități matematice în modul cel mai simplu, așa cum apare pentru moment și demonstrat într-un mod total concret ad oculos " [11] .

Euclid a avut o influență uriașă asupra culturii; în primul rând, desigur, la matematică și geometrie. Reducând la os câteva dintre teoriile importante, pe care le-a expus în cadrul „Elementelor” și încă astăzi subiectul studiilor, Euclid definește toate entitățile geometrice și aritmetice, începând de la punct până la teoria liniilor paralele. Nu este vorba de o construcție de concepte, ci de o descriere a entităților, astfel încât acestea să poată fi ușor recunoscute printr-o nomenclatură satisfăcătoare. Prin urmare, entitățile geometrice există deja; definirea lor implică doar recunoașterea lor.

Geometria, inițial, nu ar fi trebuit să aibă nimic de-a face cu ontologia. În realitate, documentația despre geometrii greci este destul de redusă, deci nu avem nicio certitudine de niciun fel. Totuși, ceea ce transpare în secolele următoare este conștientizarea comună că geometria euclidiană vizează în principal descrierea spațiului. Immanuel Kant , ultimul dintre teoreticienii raționaliști , confirmă această ipoteză, afirmând că geometria euclidiană este forma a priori a cunoașterii noastre a spațiului [12] .

Alte lucrări

Un fragment de papirus care conține câteva elemente ale geometriei lui Euclid
Frontispiciul perspectivei

Euclid a fost autorul altor lucrări: Data , strâns legată de primele 6 cărți ale Elementelor ; Porismele , în 3 cărți, care au ajuns la noi datorită rezumatului pe care Pappus din Alexandria l-a făcut; Locurile superficiale , acum pierdute; Conics , acum pierdute; Optica și Catoptria , dintre care prima reprezintă o operă de valoare, întrucât este unul dintre primele tratate de perspectivă, înțelese ca geometria viziunii directe. În cadrul Opticii, Euclid propune o teorie originală asupra viziunii realității, de tip efuziv sau emisiv, conform căreia razele pleacă din ochi și se răspândesc în spațiu până când întâlnesc obiecte. Acest tip de definiție este în contrast puternic cu teoria perspectivă anterioară a lui Aristotel , care, pe de altă parte, a ipotezat că a existat o linie dreaptă care conectează în mod ideal ochiul cu obiectul, permițând acțiunea ochiului asupra obiectului însuși. . Optica lui Euclid a avut, printre numeroasele sale obiective, aceea de a combate conceptul epicurian conform căruia dimensiunile unui obiect erau aceleași cu ochiul perceput, fără a lua în considerare reducerea cauzată de perspectiva din care a fost văzut obiectul.

Din nou, el a scris Fenomenele , descrierea sferei cerești; Secțiunea Canon și Introducerea armonică , tratate despre muzică.

O altă considerație merită Divizia cifrelor , o lucrare care a ajuns la noi datorită unei manevre de traducere salvatoare a unor oameni de știință arabi. De fapt, opera originală în greacă a fost pierdută, dar înainte de dispariția sa a fost folosită o traducere în arabă care a fost la rândul ei tradusă în latină și apoi din nou în limbile majore moderne.

Teoremele lui Euclid

Numai în cele 13 cărți ale Elementelor, Euclid enunță și demonstrează până la 465 de propoziții sau teoreme , fără a număra lemele și corolarii . La acestea trebuie adăugate propozițiile conținute în alte lucrări. Cele două teoreme care în manualele școlare de geometrie poartă numele primei și celei de-a doua teoreme a lui Euclid, sunt de fapt simple corolari din Propoziția 8 din cartea VI, care în textul original este menționată după cum urmează:

„Dacă într-un triunghi unghiular perpendiculara este luată din unghiul drept spre bază, triunghiurile astfel formate vor fi similare datei și similare între ele”

( Euclid [13] )

Următoarele sunt în schimb cele două propoziții numite „Teoremele lui Euclid” din manualele moderne.

Prima teoremă a lui Euclid

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Prima teoremă a lui Euclid .

"Într-un triunghi dreptunghiular, fiecare catet este media proporțională între hipotenuză și proiecția sa asupra hipotenuzei"

Aceeași teoremă poate fi exprimată geometric astfel:

"Într-un triunghi unghiular, pătratul construit pe un catet este echivalent cu dreptunghiul ale cărui dimensiuni sunt proiecția sa asupra hipotenuzei și a hipotenuzei în sine"

Proporția, pe de altă parte, este (cu i = hipotenuză, c = catetus și p = proiecția catetului)

A doua teoremă a lui Euclid

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: a doua teoremă a lui Euclid .

"Într-un triunghi dreptunghic înălțimea relativă la hipotenuză este media proporțională între proiecțiile catetelor de pe hipotenuză"

A doua teoremă poate fi exprimată și ca:

"În fiecare triunghi dreptunghiular pătratul construit pe înălțimea relativă la hipotenuză este echivalent cu dreptunghiul cu laturi congruente proiecțiilor catetiului pe hipotenuză"

Prin urmare, proporția este (cu p1 = proiecția primei laturi, h = înălțimea relativă la hipotenuză și p2 = proiecția celei de-a doua laturi)

Cele cinci postulate și axiome

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: geometria euclidiană .

Toată geometria lui Euclid se sprijină pe cinci postulate pe care matematicianul Playfair (1795) le-a expus în felul următor:

  1. Este întotdeauna posibil să trasăm o linie între oricare două puncte;
  2. Este întotdeauna posibil să se extindă o linie dreaptă;
  3. Este întotdeauna posibil să se construiască o circumferință cu orice centru și rază (adică este întotdeauna posibil să se determine o distanță mai mare sau mai mică);
  4. Toate unghiurile drepte sunt congruente între ele;
  5. Având în vedere o linie și un punct exterior acesteia, există o singură linie paralelă care trece prin acel punct.

Cel de-al cincilea postulat este, de asemenea, cunoscut sub numele de postulatul paralelismului și este cel care distinge geometria euclidiană de celelalte, numite non-euclidiene .

Prin negarea celui de-al cincilea postulat din versiunea dată de Playfair, se pot obține două geometrii diferite: cea eliptică (în care nu există linii care trec printr-un punct în afara liniei date paralel cu aceasta) și cea hiperbolică (în care există cel puțin două linii care trec printr-un punct și paralele cu linia dreaptă dată). Afirmația originală a lui Euclid (care este dată în intrarea în postulatul al cincilea ) a fost, pe de altă parte, compatibilă cu geometria eliptică.

Mai târziu, Euclid s-a dedicat listei a cinci postulate și cinci noțiuni comune (sau axiome). Aristotel face o distincție în acest sens, distingându-se una de cealaltă. În ceea ce privește primele, filosoful grec afirmă că sunt adevăruri comune tuturor științelor, în timp ce acestea din urmă sunt mai puțin evidente și nu necesită aprobarea studentului, întrucât privesc exclusiv disciplina în cauză [14] . Câteva secole mai târziu, unii autori confirmă distincția aristotelică, dar într-un alt sens: axiomele trebuie înțelese ca ceva care a fost acceptat, postulatele ca ceva care trebuia solicitat. Astăzi, însă, matematicienii nu diferențiază în niciun fel postulatele de axiome. În măsura în care se poate aduna din „Elemente”, Euclid definește postulatele propoziții primitive care se referă la entitățile geometrice definite mai sus.

După cum sa menționat mai sus, în termeni moderni suntem obișnuiți să numim postulatele axiome, adică de entități cele date de intuiția noastră, care sunt concepute ca existente cu adevărat în afara noastră. În vocabularele italiene, sub intrarea „axiomă” este posibil să se citească „adevărul sau principiul care este admis fără discuție, evident” [15] , în timp ce „postulatul” este o „propoziție care, fără a fi demonstrată, este presupus, sau interlocutorului i se cere să-și asume, ca fundament al unei dovezi sau al unei teorii " [16] . Valoarea termenului „postulat” în raport cu teoriile matematice a căzut în desuetudine din primii ani ai secolului XX, în timp ce verbul relativ este folosit și astăzi pentru formularea unei ipoteze sau a unei presupuneri. De aici cuvântul „axiomă” a ajuns să înlocuiască „postulat” în sensul său original și acum se obișnuiește să se spună „axiomă” pentru „postulat” și invers [12] . Este curios, totuși, că continuăm să vorbim despre „postulatele” lui Euclid și nu despre axiome ca și cum am crea o legătură indisolubilă între însuși Euclid și propunerile sale.

Ediții italiene

  • Euclid, prima carte a elementelor. O nouă lectură , editată de Lucio Russo, Giuseppina Pirro, Emanuela Salciccia, Colier Frecce, Roma, Carocci, 2017, ISBN 978-88-430-8548-4 .
  • Euclid, Toate lucrările. Text opus grecesc , editat de Fabio Acerbi, The Western Thought Series, Milano, Bompiani, 2007, ISBN 978-88-452-5975-3 .
  • Euclid, Optică. Imagini ale unei teorii a viziunii , editată de F. Incardona, Roma, Di Renzo Editore, 1998; reeditare 2011.
  • Euclide, The Elements , editat de Attilio Frajese și Lamberto Maccioni, Seria Classics of Science Nr. 14, Torino, UTET, 1970; reeditare 1996. - Seria I Classici del Pensiero nr. 43, Milano, Mondadori, 2009.
  • ( IT , EN ) Euclid, Elementele lui Euclid și critica veche și modernă , editat de Federigo Enriques, traducere de Maria Teresa Zapelloni, 3 Vol., Bologna, Zanichelli , 1912-1935.

Notă

  1. ^ Ball, pp. 50-62.
  2. ^ Boyer , pp. 100–119 .
  3. ^ Macardle și colab. (2008). Oamenii de știință: oameni extraordinari care au modificat cursul istoriei. New York: Metro Books. g. 12.
  4. ^ Lolli , p. 16 .
  5. ^ Boyer , p. 123 .
  6. ^ Heath (1956), Enriques, Neugebauer, Russo (1997) (1998), Improved-Gentile, Improved.
  7. ^ Riccardi , p. 3 .
  8. ^ HL Busard, Prima traducere latină a elementelor lui Euclid atribuite în mod obișnuit lui Adelard de Bath. Cărțile I-VIII și Cărțile X.36-XV.2 , Toronto, Institutul Pontifical de Studii Medievale, 1983.
  9. ^ Riccardi , p. 7 .
  10. ^ Riccardi , p. 8 .
  11. ^ W. Oechslin, Primele șase cărți ale elementelor lui Euclid de Oliver Byrne - didactic, colorat și excentric , trad. aceasta. de Hagar Spano, în O. Byrne, Primele șase cărți ale elementelor lui Euclid , Taschen, Köln 2013 2 .
  12. ^ a b Lolli , p. 21 .
  13. ^ Enriques .
  14. ^ Boyer , p. 125 .
  15. ^ axiom , în Treccani.it - ​​Treccani Vocabulary online , Institute of the Italian Encyclopedia. Adus pe 2 aprilie 2019 .
  16. ^ postulat , în Treccani.it - ​​Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene. Adus pe 2 aprilie 2019 .

Bibliografie

  • ( LA , EL , IT ) Euclides, Optica (în italiană) , Giunta, 1573.
  • CB Boyer, O istorie a matematicii , în Istoria matematicii , ediția italiană, Milano, ISEDI, 1976 [1968] .
  • TL Heath, O istorie a matematicii grecești , ed. I, Oxford, 1931.
  • Heath, TL (1956), Cele treisprezece cărți ale elementelor lui Euclid (3 volume), New York, 1956.
  • Kline, M., (1972), Gândirea matematică din timpurile antice până la cele moderne , ediția italiană: Istoria gândirii matematice , Vol I, Torino: Einaudi, 1991.
  • Gian Carlo Duranti (2013), Al treilea număr binomial al lui Euclid și a treia civilizație a lui Ammon-Zeus , Cesati editore, Florența 1991.
  • G. Lolli, De la Euclid la Gödel , Bologna, il Mulino, 2004.
  • Loria G. (1914), Științele exacte din antichitate , Milano, 1914.
  • Migliorato, R., Gentile, G, (2005) Euclid și gândirea științifică în secolul al III-lea î.Hr. , Ratio Mathematica, n. 15, (2005), pp. 37-64; Versiune italiană disponibilă online: Euclid și gândire științifică în secolul al III-lea î.Hr. [1] .
  • Migliorato, R. (2005) Revoluția euclidiană și paradigmele științifice în regatele elenistice , Incontri Mediterranei, n.15, 2005, pp. 3–24. Disponibil online: [2] [ conexiune întreruptă ]
  • Neugebauer, O. (1951) Științele exacte din antichitate . Ediția italiană: Științele exacte din antichitate , Milano, 1974.
  • Proclo Diadoco, Comentariu la prima carte a Elementelor lui Euclid , editat de M. Timpanaro Cardini, Pisa, 1978.
  • Lucio Russo , Revoluția uitată , ediția a VII-a, Milano, Feltrinelli , 2013, ISBN 978-88-07-88323-1 .
  • Pietro Riccardi, Eseu dintr-o bibliografie euclidiană , tipografia Bologna, Gamberini și Parmeggiani, 1887.
  • Russo, L. (1998), Definițiile entităților geometrice fundamentale conținute în cartea I a Elementelor lui Euclid , Arch. Hist. Corect. Sci., 52, nr. 3, 1998, pp. 195-219.
  • Saccheri G., Euclid eliberat de toate petele , Ese introductivă de I. Toth și E. Cattanei; Traduceri și aparate de P. Frigerio, 2001
  • Piergiorgio Odifreddi , Pitagora, Euclid și nașterea gândirii științifice L'Espresso Publishing Group, Roma 2012
  • ( LA ) Euclid, [Works] , Oxoniae, E Theatro Sheldonian, 1703.
  • ( LA ) Euclid, Elementale geometricum, ex Euclidis geometria , [Wien], Excusum in aedibus Ioannis Singrenij, 1528.
  • ( LA ) Euclide, Optica , în Florența, în Stamperia de 'Giunti, 1573.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității VIAF (EN) 176 184 097 · ISNI (EN) 0000 0003 5606 7426 · LCCN (EN) n50043341 · GND (DE) 118 638 955 · BNF (FR) cb11901997s (dată) · BNE (ES) XX1000405 (dată) · BAV (EN) 495/44647 · CERL cnp01259923 · NDL (EN, JA) 00,439,042 · WorldCat Identities (EN) lccn-n50043341
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Euclide&oldid=122074230 ”