Pachet de linii drepte

În geometria euclidiană, un pachet de linii drepte în plan este mulțimea de linii drepte infinite care trec printr-un punct fix sau, de asemenea, mulțimea de linii infinite paralele cu o linie dată.

Fascicul propriu

O grindă cu centrul său în origine

Un pachet de linii drepte se spune exact dacă fiecare dintre liniile sale drepte trece prin același punct, numit centrul sau suportul pachetului . Acest punct este identificat prin intersecția oricăror două linii ale fasciculului.

Un pachet adecvat de drepte este descris printr-o ecuație similară cu cea a unei singure drepte, dar în care constantele depind de un parametru k ; o linie dreaptă a fasciculului corespunde fiecărei valori a lui k .

Toate liniile unui fascicul adecvat, cu excepția liniei verticale de ecuație $x=x_{0}\$ ${\ displaystyle x = x_ {0} \}$ ${\ displaystyle x = x_ {0} \}$ , poate fi parametrizat făcând coeficientul de unghi m și termenul cunoscut q să depindă de parametrul k :

y=m(k)x+q(k)\

{\ displaystyle y = m (k) x + q (k) \}

{\ displaystyle y = m (k) x + q (k) \}

Dacă centrul fasciculului are coordonate $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ , atunci contează $q(k)=y_{0}-m(k)x_{0}$ ${\ displaystyle q (k) = y_ {0} -m (k) x_ {0}}$ ${\ displaystyle q (k) = y_ {0} -m (k) x_ {0}}$ iar ecuația poate fi scrisă și ca

y-y_{0}\,=m(k)(x-x_{0})\

{\ displaystyle y-y_ {0} \, = m (k) (x-x_ {0}) \}

{\ displaystyle y-y_ {0} \, = m (k) (x-x_ {0}) \}

O altă posibilă parametrizare a tuturor liniilor fasciculului care trece $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ Și:

(x-x_{0})\sin \alpha =(y-y_{0})\cos \alpha \

{\ displaystyle (x-x_ {0}) \ sin \ alpha = (y-y_ {0}) \ cos \ alpha \}

{\ displaystyle (x-x_ {0}) \ sin \ alpha = (y-y_ {0}) \ cos \ alpha \}

unde parametrul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ variază în interval $[0,\pi ]$ ${\ displaystyle [0, \ pi]}$ $[0, \ pi]$

Fascicul necorespunzător

Un pachet de linii necorespunzător.

Se spune că un pachet de linii este necorespunzător dacă liniile sale sunt toate paralele între ele.

Ca și în cazul fasciculului adecvat, toate liniile unui fascicul necorespunzător pot fi parametrizate observând că acum coeficientul unghiular al liniilor este constant. Linia dreaptă poate fi parametrizată ca

y=mx+q(k)\

{\ displaystyle y = mx + q (k) \}

{\ displaystyle y = mx + q (k) \}

sau, în cazul liniilor verticale, cum ar fi

x=q(k)\

{\ displaystyle x = q (k) \}

{\ displaystyle x = q (k) \}

O altă posibilă parametrizare față de k este:

a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=k\

{\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) = k \}

{\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) = k \}

Linie exclusă dintr-un pachet

Linia dreaptă a unui fascicul care nu poate fi obținută pentru nicio valoare de k este exclusă. Cu toate acestea, se poate spune că ne apropiem de această linie, deoarece parametrul k capătă valori din ce în ce mai mari sau din ce în ce mai mici, atunci când $k\rightarrow \pm \infty$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ pm \ infty}$ .

Pachete de linii drepte în trei dimensiuni

În spațiul euclidian tridimensional, mulțimea tuturor liniilor drepte care trec prin același punct (sau toate paralele între ele) se numește o stea de drepte . Un pachet de linii drepte este în schimb subsetul de linii drepte care se află pe același plan.

Liniile drepte în geometrii neeuclidiene

În cadrul geometriilor neeuclidiene este posibil să se definească, în analogie cu fasciculele de linii drepte, unele fascicule geodezice . De exemplu, în geometria hiperbolică , unde cea mai mică distanță dintre două puncte este dată de hiperboli , putem vorbi despre un pachet de linii hiperbolice . În aceste cazuri, definiția unui fascicul necorespunzător trebuie tratată cu mai multă atenție.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica