Faza (semnale)

Faza , în fizică și în teoria semnalelor , a unei funcții periodice la un anumit moment este fracțiunea perioadei scursă față de un timp fixat. ^[1] Este un moment special în timpul dezvoltării unui fenomen periodic, fie că este vorba de o mișcare sau un semnal electric , care se măsoară printr-un unghi , numit unghi de fază .

Faza în mișcare armonică

Diagrama spațiu-timp a unei mișcări armonice

Exemplul într-un sens canonic al mișcării periodice este așa-numita mișcare armonică : este util să începem să analizăm semnificația termenului fază cu referire la acest tip particular de mișcare, atât pentru simplitatea sa, cât și pentru frecvența cu care poate fi găsit în natură.

Într-o mișcare armonică, notată cu $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ ${\ displaystyle x (t)}$ poziția instantanee a materialului în mișcare în timp (sau valoarea instantanee a semnalului, de exemplu tensiunea acestuia), cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ amplitudinea mișcării, cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ frecvența sa unghiulară (numită și „pulsație”) și cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ timp, legea mișcării se dovedește a fi:

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t + \ varphi _ {0})}

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t + \ varphi _ {0})}

(1)

în care pentru simplitate s-a presupus (fără pierderea generalității) că timpul inițial și poziția inițială sunt zero.

De asemenea, rețineți că cantitățile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ , în această mișcare specială, ele sunt constante. Prin urmare, singura cantitate variabilă aici este timpul și, în consecință, tendința de mișcare într-o diagramă spațiu-timp va fi similară cu graficul cosinusului (a se vedea figura din lateral). Singurele diferențe se datorează lui A, care „amplifică” vertical semnalul (în cazul nostru de 2 ori) și constantei $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ care produce o „traducere” a semnalului cantitativ $-\varphi _{o}/\omega$ ${\ displaystyle - \ varphi _ {o} / \ omega}$ ${\ displaystyle - \ varphi _ {o} / \ omega}$ (în cazul nostru egal cu 4/3, după cum se poate vedea în figură).

Cantitatea dintre paranteze la dreapta în formula (1), adică argumentul $\omega t+\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ omega t + \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega t + \ varphi _ {0}}$ a cosinusului, se numește faza de mișcare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , în timp ce singura parte $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ se numește constantă de fază sau fază inițială .

Rețineți că ambele aceste mărimi reprezintă unghiuri; primul reprezintă unghiul, variabil în timp, asociat cu mișcarea armonică (adică atunci când ne gândim la mișcarea armonică ca la proiecția unei mișcări circulare uniforme pe diametrul său), în timp ce al doilea reprezintă valoarea inițială a unghiului de fază, adică cea asociată cu poziția mișcării corespunzătoare momentului considerat inițial (pe care l-am presupus a fi zero pentru simplitate).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că, cu o alegere adecvată a timpului inițial, constanta de fază poate fi întotdeauna setată egală cu zero, fără pierderea generalității.

În acest caz, formula se simplifică la:

x(t)=A\cos(\omega t)

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t)}

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t)}

Deci, deoarece timpul inițial este arbitrar, faza inițială va fi, de asemenea, arbitrară.

De asemenea, se poate vedea cu ușurință că, dacă apare în schimb $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ = - 90 ° (adică $-\pi /2$ ${\ displaystyle - \ pi / 2}$ ${\ displaystyle - \ pi / 2}$ radiani, în unități ale sistemului internațional ) obținem:

x(t)=A\cos(\omega t-\pi /2)=A\sin(\omega t)

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t- \ pi / 2) = A \ sin (\ omega t)}

{\ displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t- \ pi / 2) = A \ sin (\ omega t)}

Aceasta înseamnă că pentru a trata o mișcare armonică se poate folosi indiferent sinusul sau cosinusul, deoarece o funcție este transformată în cealaltă printr-o schimbare banală a fazei inițiale.

Deplasarea fazei

Diagrama spațiu - unghi care arată schimbarea de fază (în verde)

Când luăm în considerare două semnale sinusoidale având aceeași frecvență , putem vorbi despre diferența de fază dintre ele $\Delta \phi$ ${\ displaystyle \ Delta \ phi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ phi}$ sau schimbare de fază , adică din punct de vedere matematic diferența dintre cele două constante de fază

\Delta \phi =\varphi _{0}-\varphi _{0}'

{\ displaystyle \ Delta \ phi = \ varphi _ {0} - \ varphi _ {0} '}

{\ displaystyle \ Delta \ phi = \ varphi _ {0} - \ varphi _ {0} '}

În figură de exemplu. semnalul în negru este același ca în figura precedentă, mărit și în funcție de unghiul de fază în loc de timp; semnalul roșu (care este pe jumătate lat) are o fază inițială egală cu 3/4 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radiani. Prin urmare, defazarea între cele două semnale va fi egală cu:

\Delta \phi =3/4\pi -(-\pi /3)=13/12\pi

{\ displaystyle \ Delta \ phi = 3/4 \ pi - (- \ pi / 3) = 13/12 \ pi}

{\ displaystyle \ Delta \ phi = 3/4 \ pi - (- \ pi / 3) = 13/12 \ pi}

Din punct de vedere fizic, defazarea reprezintă unghiul corespunzător diferenței de timp dintre realizarea ulterioară a aceleiași faze particulare (de exemplu, maximul) dintre cele două semnale (în figură este unghiul corespunzător segmentului orizontal în verde care arată separarea unghiulară între instanțele corespunzătoare a două maxime adiacente, ale primului și celui de-al doilea semnal).

Avans și întârziere de fază, cazuri speciale

Semnalele în fază: defazarea este zero

Semnalele în cuadratură: defazarea este un unghi drept

Semnalele push-pull: defazarea este un unghi plat

Un caz foarte frecvent este în cazul în care cele două semnale sunt tensiune $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și curentul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ într-un circuit electric de curent alternativ . În acest caz putem vorbi de tensiune de avans de fază (sau de întârziere de fază ) pe curent; care, de altfel, poate fi exprimat și în mod echivalent spunând în schimb că curentul este respectiv întârziat (sau în avans) de fază pe tensiune.

De exemplu, din nou cu referire la figura anterioară, dacă semnalul negru reprezintă tensiunea și semnalul roșu curentul, se poate spune că tensiunea este decalaj de fază (maximul său vine după) de 13/12 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ rad în raport cu curentul. Desigur, se poate presupune, de asemenea, că tensiunea este înaintea curentului de 11/12 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ rad (care se obține din 5/4 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ / 3); NB: cred că 13/12 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ rad și -11/12 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ rad reprezintă de fapt același unghi (egal cu 195 ° = -165 °).

Cazuri particulare notabile sunt cele în care:

schimbarea de fază este egală cu 0 ° și se spune că semnalele sunt în fază : rețineți cum „crestele” și „gâturile” undelor sunt aliniate vertical (deci sincron);
defazarea este egală cu ± 90 ° și se spune că semnalele sunt în cuadratură : puncte corespunzătoare, de ex. crestele celor două semnale sunt deplasate cu un sfert de perioadă;
defazarea este egală cu 180 ° și se spune că semnalele sunt în contrafază : crestele unui semnal sunt aliniate vertical cu canelurile celuilalt și invers.

Faza de propagare a undelor

Schema de propagare spațială a unei unde sinusoidale transversale. Punctele colorate execută o mișcare armonică într-o direcție verticală cu aceeași frecvență, dar cu o fază diferită.

În cele din urmă, când examinăm fenomenul de propagare a undelor , indicând cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ direcția de propagare a undei, entitatea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ oscilația va fi dată de o funcție de tipul:

y=f(z-vt)

{\ displaystyle y = f (z-vt)}

{\ displaystyle y = f (z-vt)}

cu $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ care indică așa-numita viteză de fază a undei.

În special, având în vedere cel mai frecvent și cel mai important caz, care este unda sinusoidală, formula anterioară devine:

y=A\sin(kz-\omega t-\varphi _{0})

{\ displaystyle y = A \ sin (kz- \ omega t- \ varphi _ {0})}

{\ displaystyle y = A \ sin (kz- \ omega t- \ varphi _ {0})}

(2)

unde semnul „-” în fața $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ tradițional pare să indice prin convenție o undă care se propagă în direcția pozitivă a axei z, k reprezintă așa-numitul număr de undă unghiulară , care depinde de lungimea de undă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ :

k={\frac {2\pi }{\lambda }}

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

$\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ are semnificația obișnuită de pulsație, dependentă de perioada T:

\omega ={\frac {2\pi }{T}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

viteza de fază este exprimată prin relația fundamentală a undelor :

v={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}

{\ displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}

{\ displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}

iar celelalte cantități $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ au o semnificație analogă cu cea pe care o aveau în tratamentul mișcării armonice expuse la început.

Prin urmare $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ în acest caz se spune constanta de fază a undei , în timp ce argumentul sinusului, adică $kz-\omega t-\varphi _{0}$ ${\ displaystyle kz- \ omega t- \ varphi _ {0}}$ ${\ displaystyle kz- \ omega t- \ varphi _ {0}}$ se numește faza de undă .

Rețineți, totuși, că în cazul undelor, pe lângă timpul t, z este, de asemenea, variabil; și, prin urmare, propagarea undei sinusoidale poate fi considerată ca fiind formată dintr-o dublă oscilație: o undă sinusoidală în spațiu (la un moment fix, adică un fel de fotografie instantanee a undei de-a lungul direcției de propagare - sau dacă preferați o un fel de "sinusoid înghețat") și o armonică în timp (la o poziție fixă z, adică prin examinarea oscilațiilor induse de undă într-un singur punct oscilant, dispuse de-a lungul direcției de propagare).

Aceasta este, în timpul propagării undă sinusoidală, fiecare punct al medii oscilante execută mișcarea armonică în timp, în mod progresiv defazat în raport cu celelalte puncte, în funcție de coordonate z lor.

De exemplu, în cazul ilustrat de animație, lungimea de undă este egală cu 4 metri și, din moment ce cele trei puncte evidențiate au abscisă respectiv 1, 2,5 și 3,5 metri de-a lungul direcției de propagare z, schimbările de fază ale punctului roșu și ale punctul verde comparativ cu punctul galben va fi respectiv egal cu:

\Delta \phi _{1}

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {1}}

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {1}}

= 360 ° (2,5 - 1) /

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

= 135 °

\Delta \phi _{2}

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {2}}

{\ displaystyle \ Delta \ phi _ {2}}

= 360 ° (3,5 - 1) /

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

= 225 °

din care, printre altele, se poate observa că punctele roșii și verzi sunt în cuadratură între ele (când unul dintre cele două se află într-un capăt al undei, celălalt se află în nodul său și invers).

Putem fi convinși de faptul că mișcarea punctelor oscilante este cu adevărat armonică alegând o valoare constantă pentru coordonata z, de exemplu $z=\pi /k=\lambda /2$ ${\ displaystyle z = \ pi / k = \ lambda / 2}$ ${\ displaystyle z = \ pi / k = \ lambda / 2}$ , și înlocuind-o în ecuația undei (2). Cu următoarele pasaje matematice se poate deduce că oscilația doar în funcție de timp este dată de: