Factorială

Graficul logaritmului natural al factorialului

În matematică , se numește factorial al unui număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , indicat cu $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ , produsul unor numere întregi pozitive mai mici sau egale cu acel număr. În formulă:

n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n

{\ displaystyle n !: = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots (n-1) \ cdot n}

n !: = \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} k = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots (n-1) \ cdot n

pentru convenția produsului gol este de asemenea definită $0!:=1$ ${\ displaystyle 0 !: = 1}$ $0 !: = 1$ . Generalizarea analitică a factorialului este cunoscută sub numele de funcția gamma a lui Euler .

Notarea cu semnul exclamării a fost introdusă în 1807 de Christian Kramp , în timp ce numele factorial a fost inventat cu câțiva ani mai devreme, în 1800 de Antoine Arbogast .

Secvența factorialelor apare în Enciclopedia on-line a secvențelor întregi (OEIS) ca secvență A000142 .

Exemplu de numere factoriale

Valorile primelor numere factoriale sunt rezumate în următorul tabel:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Definiție recursivă

Funcția factorială poate fi definită și recursiv:

n!:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0,\\n(n-1)!&{\text{se }}n\geq 1\end{cases}}

{\ displaystyle n !: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} n = 0, \\ n (n-1)! & {\ text {se}} n \ geq 1 \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle n !: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} n = 0, \\ n (n-1)! & {\ text {se}} n \ geq 1 \ end { cazuri}}}

Din acest motiv, este adesea folosit în predarea informaticii pentru a oferi primul exemplu de calcul recursiv .

Zero factorial

În definiția ca productivă, cererea care $0!$ ${\ displaystyle 0!}$ $0!$ este egal cu unul este de acord cu cerința ca produsul cu zero factori, așa-numitul produs gol , ca putere nulă a unui număr întreg pozitiv , să fie egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Pentru a se convinge în continuare de acest fapt, ne putem gândi și la definire $1!=1$ ${\ displaystyle 1! = 1}$ $1! = 1$ și observă că

1=1!=1\cdot (1-1)!=1\cdot 0!=0!

{\ displaystyle 1 = 1! = 1 \ cdot (1-1)! = 1 \ cdot 0! = 0!}

1 = 1! = 1 \ cdot (1-1)! = 1 \ cdot 0! = 0!

după cum se poate vedea din definiția recursivă .

Aplicații

Factorii sunt în primul rând importanți în combinatorică . În special există $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ diferite secvențe formate din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte distincte, adică există $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ permutări ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte; factorialele enumeră apoi permutările.

Având în vedere importanța permutărilor, rezultă că factorialele se întâlnesc în expresii foarte numeroase. De exemplu, rămânând în combinatorie, numărul de opțiuni ale $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ obiecte dintre cele care constituie un set de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, adică numărul de subseturi de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ elemente ale unui set dat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte, este dat de așa-numitul coeficient binomial :

{\binom {n}{k}}={\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ dfrac {n!} {k! (nk)!}}}

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ dfrac {n!} {k! (n-k)!}}}

Factorii se întâlnesc și în calculul infinitezimal : în primul rând trebuie remarcat faptul că $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al derivat al $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n}$ Și $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ ; o consecință a acestui fapt este teorema lui Taylor care exprimă o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ca o serie de putere în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ folosind factorialele și valorile derivatelor. Factorii se întâlnesc deseori și în expresiile funcțiilor speciale , în analiza numerică , în calculul probabilităților , în mecanica statistică și în mecanica cuantică .

Variante și generalizări

Factorialul are numeroase variații și generalizări. Printre primele multifactoriale și în special semifactoriale , factorialul în creștere și factorul în scădere . Printre generalizările discrete găsim hiperfactorialul și superfactorialul . Multe dintre aceste variante apar din calculul cardinalității unor mulțimi născute din combinatorică . Funcția gamma, pe de altă parte, este o generalizare continuă .

Funcția gamma

Același subiect în detaliu: funcția Gamma .

Funcția gamma este o funcție analitică care poate fi definită prin intermediul integralei

\Gamma (z):=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.

{\ displaystyle \ Gamma (z): = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, dt \ quad {\ text {per}} \ mathrm { Re} (z)> 0.}

\ Gamma (z): = \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} t ^ {{z-1}} e ^ {{- t}} \, dt \ quad {\ text {to }} {\ mathrm {Re}} (z)> 0.

pentru aceasta proprietățile sunt ușor de demonstrat

\Gamma (1)=1\qquad \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.

{\ displaystyle \ Gamma (1) = 1 \ qquad \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) \ quad {\ text {per}} \ mathrm {Re} (z)> 0.}

\ Gamma (1) = 1 \ qquad \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) \ quad {\ text {per}} {\ mathrm {Re}} (z)> 0.

prin urmare, extinde funcția factorială definită pe numerele întregi naturale la întregul câmp complex (cu singura excepție a numerelor întregi negative):

z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{+\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.

{\ displaystyle z! = \ Gamma (z + 1) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {z} e ^ {- t} \, dt.}

z! = \ Gamma (z + 1) = \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} t ^ {z} e ^ {{- t}} \, dt.

De asemenea, se arată că este singura extensie analitică a factorialului.

Semifactorial sau dublu factorial

Notatia $n!!$ ${\ displaystyle n !!}$ $n !!$ denotă semifactorialul (sau dublul factorial ) al lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și este definit recursiv după cum urmează:

n!!={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0{\text{ o }}n=1,\\n\cdot (n-2)!!&{\text{se }}n\geq 2.\end{cases}}

{\ displaystyle n !! = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} n = 0 {\ text {o}} n = 1, \\ n \ cdot (n-2) !! & { \ text {se}} n \ geq 2. \ end {cases}}}

{\ displaystyle n !! = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} n = 0 {\ text {o}} n = 1, \\ n \ cdot (n-2) !! & { \ text {se}} n \ geq 2. \ end {cases}}}

de exemplu $8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$ ${\ displaystyle 8 !! = 2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 8 = 384}$ $8 !! = 2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 8 = 384$ Și $9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$ ${\ displaystyle 9 !! = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9 = 945}$ $9 !! = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9 = 945$ . Succesiunea semifactorialelor pentru $n=0,1,2,\dots$ ${\ displaystyle n = 0,1,2, \ dots}$ $n = 0,1,2, \ dots$ este următorul ^[1] :

1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots

{\ displaystyle 1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840, \ dots}

1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840, \ dots

Printre identitățile care leagă factorialul de factorialul dublu, găsim:

{\begin{aligned}n!&=n!!\cdot (n-1)!!\\2^{n}\cdot n!&=(2n)!!\\{\dfrac {(2n+1)!}{2^{n}\cdot n!}}&=(2n+1)!!\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} n! & = n !! \ cdot (n-1) !! \\ 2 ^ {n} \ cdot n! & = (2n) !! \\ {\ dfrac {( 2n + 1)!} {2 ^ {n} \ cdot n!}} & = (2n + 1) !! \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} n! & = n !! \ cdot (n-1) !! \\ 2 ^ {n} \ cdot n! & = (2n) !! \\ {\ dfrac {( 2n + 1)!} {2 ^ {n} \ cdot n!}} & = (2n + 1) !! \ end {align}}}

A doua identitate este utilă pentru semifactoriale pare, în timp ce ultima identitate pentru semifactoriale impare: se poate deduce din observația că înmulțirea tuturor numerelor impare până la

2n+1

{\ displaystyle 2n + 1}

{\ displaystyle 2n + 1}

este echivalent cu înmulțirea tuturor numerelor întregi până la

2n+1

{\ displaystyle 2n + 1}

{\ displaystyle 2n + 1}

a elimina apoi, adică a împărți, pe cele uniforme, adică

2^{n}\cdot n!

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot n!}

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot n!}

).

Evaluarea numerică a factorialelor

Valoarea numerică a $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ se poate calcula prin multiplicări repetate până la o valoare nu excesivă de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ; asta fac calculatoarele de astăzi. Mai presus de un anumit $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ instrumentul de calcul utilizat nu mai dă rezultate semnificative din cauza revărsării . De exemplu, un calculator capabil să funcționeze pe $100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$ cifrele zecimale pot calcula $69!$ ${\ displaystyle 69!}$ $69!$ , dar nu următorul factorial, ca $70!>10^{100}$ ${\ displaystyle 70!> 10 ^ {100}}$ $70!> 10 ^ {{100}}$ .

Cand $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este foarte mare, de obicei nu trebuie să știți valoarea exactă a $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ și poate fi suficient să o estimați cu o precizie adecvată. În acest scop se utilizează în general aproximarea Stirling :

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}~.

{\ displaystyle n! \ approx {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} ~.}

n! \ approx {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} ~.

Notă

^ (EN) secvența A006882 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Bibliografie

( FR ) MJ Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1 · 2 · 3 · · · · (n - 1) Par Une Fonction Entière ( PDF ), Œuvres de Jacques Hadamard , Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
( EN ) Srinivasa Ramanujan, Caietul pierdut și alte lucrări inedite , Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe factori

linkuri externe

( EN ) Factorial , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Calcul factorial : de la 0! la 100.000!
( EN ) Dicționar de numere mari , pe home.earthlink.net (arhivat din original la 2 ianuarie 2002) .
( RO ) Tabel pe Wiki Educator , pe wikieducator.org .
Mauro Fiorentini, Fattoriale (în paragraful privind proprietățile este menționat conceptul de bază factorială )
Calcul factorial pas cu pas

Controlul autorității	GND ( DE ) 4153607-1

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A006882 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor