Factorizarea

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
În polinomul x ^ 2 + cx + d , setați a + b = c și ab = d , poate fi luat în calcul ca ( x + a ) ( x + b )

În matematică , factorizarea sau factorizarea unui număr sau alt obiect matematic constă în reprezentarea lor ca produs al mai multor factori, de obicei mai mici sau mai simpli și mai de aceeași natură. De exemplu este o factorizare a întregului . In schimb este o factorizare a polinomului

Factorizarea nu este, în general, considerată semnificativă în seturile numerice care au o operație de divizare, cum ar fi numerele reale sau complexe , deoarece oricare poate fi scris în mod banal ca pentru fiecare non-zero. În orice caz, un factorizare util pentru numere raționale și raționale funcții pot fi obținute prin reducerea acestora cu termenii și condițiile lor cele mai mici și , ulterior , prin factoring lor numărătorii și numitorii .

Factorizarea numerelor întregi era deja folosită de matematicienii antici greci: Apollonius din Perga , Arhimede , Euclid etc. Îi datorăm lui Euclid teorema fundamentală a aritmeticii care afirmă că fiecare număr întreg pozitiv poate fi descompus într-un produs de numere prime , adică numere care nu pot fi luate în considerare în alte numere întregi mai mari de 1 și că acest produs este unic [1] dacă ordinea factorilor este neglijată. Factorizarea este un proces algoritmic de diviziuni succesive pentru a obține factorii individuali și, prin urmare, poate apărea metaforic ca inversul multiplicării, dar dificultatea acestui proces crește enorm cu numere mari și tocmai această dificultate este exploatată de sistemele moderne de criptare RSA. .

Factorizarea unui polinom a fost, de asemenea, studiată de secole. În algebra elementară , factorizarea unui polinom este redusă la problema găsirii rădăcinilor sale și apoi găsirea factorilor al căror produs este egal cu polinomul. Un polinom cu coeficienți întregi se bucură de asemenea de proprietatea similară cu cea a teoremei fundamentale a aritmeticii, cu diferența că fiecare dintre factorii săi se numește polinom ireductibil . Un polinom cu un coeficient necunoscut și complex admite o singură factorizare în produsul polinoamelor liniare (adică de gradul unu), un caz particular al teoremei fundamentale a algebrei . Polinoamele întregi sunt fundamentale pentru algebra de calcul . Există algoritmi de calcul eficienți pentru calculul complet al unui inel polinomial cu coeficienți raționali (a se vedea descompunerea polinoamelor ).

Un inel comutativ care are o factorizare unică se numește un singur domeniu de factorizare . Există sisteme de numere, cum ar fi anumite inele de numere întregi algebrice , care nu sunt domenii cu o singură factorizare. Cu toate acestea, ele satisfac proprietatea mai slabă de a fi un domeniu Dedekind : idealurile admit factoringul unic în idealuri prime .

Factorizarea se poate referi la un concept mai general de descompunere a unui obiect matematic într-un produs de obiecte mai mici sau mai simple. De exemplu, fiecare funcție poate fi inclusă în compoziția unei funcții surjective cu o funcție injectivă . Matricile au multe tipuri de factorizare în produsele matriciale. De exemplu, fiecare matrice are o factorizare LUP unică constând din produsul unei matrice triunghiulare inferioare , având toate elementele diagonalei egale cu 1, pentru o matrice triunghiulară superioară , și pentru o matrice de permutare .

Numere întregi

Din teorema fundamentală a aritmeticii avem că fiecare număr întreg mai mare de 1 are o factorizare unică în numere prime , adică în numere întregi care nu pot fi la rândul lor luate în considerare în numere întregi mai mari decât unitate.

Pentru a calcula factorizarea unui întreg , este nevoie de un algoritm pentru a găsi un divizor din dacă nu fii primul. Dacă se găsește un divizor, repetarea algoritmului factorului Și / se va încheia în cele din urmă cu finalizarea factorizării . [2]

Pentru a găsi un separator din , dacă există, trebuie doar să verificați toate valorile astfel încât Și . De fapt, dacă este divizorul lui Și , asa de este divizorul lui astfel încât .

Dacă încercați valorile în ordine crescătoare, primul divizor găsit este în mod necesar un număr prim, iar cofactorul nu poate avea un divizor mai mic de . Pentru a obține factorizarea completă, este, prin urmare, suficient să repetați algoritmul în căutarea unui divizor al nu mai puțin decât și nu mai mare de .

Nu este necesar să verificați toate valorile pentru a aplica metoda. În principiu, este suficient să încercați cu divizori primi. Pentru a face acest lucru este necesar să aveți un tabel cu numere prime, obținute probabil cu sita lui Eratostene . Deoarece metoda de factorizare dată este în esență aceeași cu cea pentru sită, este în general mai eficient să căutăm un divizor numai pentru acele numere pentru care nu este clar imediat dacă sunt prime sau nu. În mod normal, continuăm cu divizorii 2,3,5 și numerele , care au ca cifră a unităților 1,3,7,9 și că suma cifrelor din nu este multiplu de 3.

Această metodă funcționează bine pentru luarea în considerare a numerelor întregi mici, dar este ineficientă pentru numerele întregi mari. De exemplu, Pierre de Fermat nu a putut descoperi al șaselea număr al lui Fermat

nu este o premieră. De fapt, aplicarea metodei raportate ar necesita mai mult de 10 000 de divizii, pentru acel număr din 10 cifre.

Există algoritmi mai eficienți, dar încă nu sunt suficienți. În stadiul actual al tehnicii, chiar și cu cele mai puternice computere, încă nu este posibil să se ia în calcul un număr care are 500 de cifre și este produsul a două numere prime alese la întâmplare. Această incapacitate asigură securitatea pe care se bazează sistemul de criptare RSA , care este utilizat pe scară largă pentru protecția comunicațiilor prin internet.

Exemplu

A lua în calcul într-un produs de prima dată:

  • Începeți cu împărțirea la 2 (n este par) și . Continuați cu 693 și 2 ca candidat la divizorul principal.
  • 693 este impar (2 nu este divizorul său), dar este multiplu de 3: obținem Și Continuați cu 231 și 3 ca candidat la divizorul principal.
  • 231 este, de asemenea, un multiplu de 3: obținem , și apoi Continuați cu 77 și 3 ca candidat la divizorul principal.
  • 77 nu este multiplu de 3, deoarece suma cifrelor este 14, care nu este multiplu de 3. De asemenea, nu este multiplu de 5, deoarece cifra unităților este 7. Următorul divizor care trebuie căutat este, prin urmare, 7. obține prin urmare Se verifică cu ușurință că 7 este prim. Continuați cu 11 și 7 ca candidat la divizorul principal.
  • De cand procesul este terminat. Prin urmare, 11 este prim și factorizarea completă în rezultatele prime

Expresii

Manipularea expresiilor este baza algebrei . Factoringul este una dintre cele mai importante metode de manipulare a expresiilor din mai multe motive. Dacă puteți reprezenta o ecuație sub formă factorizată , problema rezolvării ecuației se împarte în două probleme independente (și de obicei mai ușoare): Și . Într-o expresie luată în considerare, factorii sunt mult mai simpli și oferă astfel o imagine mai bună a problemei. De exemplu:

care conține 16 înmulțiri, 4 scăderi și 3 adunări, poate fi luată în calcul într-o expresie mult mai simplă

cu doar trei înmulțiri și trei scăderi. Mai mult, forma factorizată indică deja care sunt rădăcinile a polinomului.

Factorizarea nu este întotdeauna posibilă și, atunci când este, factorii nu sunt întotdeauna mai simpli. De exemplu, poate fi luată în calcul în doi factori ireductibili Și

Au fost dezvoltate diverse metode pentru găsirea factorizărilor, unele sunt descrise mai jos.

Soluția ecuațiilor algebrice poate fi văzută ca o problemă de factorizare polinomială. De fapt, teorema fundamentală a algebrei poate fi exprimată după cum urmează: orice polinom în de grad cu coeficienți complexi în care poate fi luat în considerare factori liniari cu , unde sunt rădăcinile polinomului. [3] Deși structura factorizării este cunoscută în aceste cazuri, , în general nu pot fi calculate în termeni de radicali (adică prin rădăcini -th), de teorema Abel-Ruffini . În multe cazuri, cel mai bun lucru care se poate face este calcularea valorilor aproximative ale rădăcinilor cu algoritmi corespunzători.

Istoria factorizării expresiilor

Utilizarea sistematică a manipulărilor algbric pentru simplificarea expresiilor (mai precis ecuațiile ) poate fi datată din secolul al IX-lea, lucrarea succintă a lui Al-Khwarizmi privind calculul mișcării și colectării fiind intitulată cu două tipuri de manipulări. [4]

Cu toate acestea, chiar și pentru soluțiile ecuațiilor de gradul II , metoda de factorizare nu a fost utilizată înainte de lucrarea lui Harriot publicată în 1631, la zece ani de la moartea sa. [5]

În cartea sa Artis Analyticae Praxis anunț Aequationes Algebraicas Resolvendas, Harriot atrage tabele pentru adunare, scădere, înmulțire și diviziunea monoamele , binomi și trinomials . Mai târziu, într-o a doua secțiune, el stabilește ecuația și arată că are forma unei multiplicări indicate anterior, dând factorizarea sa . [6]

Metode generale

Următoarele metode se aplică oricărei expresii care este alcătuită din sume sau care poate fi transformată în sume. Prin urmare, acestea sunt adesea aplicate polinoamelor, chiar și atunci când termenii sumelor nu sunt monomii, ci produse de variabile și constante.

Factori comuni

Se poate întâmpla ca toți termenii sumei să fie compuși din produse și că unii factori sunt comuni tuturor termenilor. În acest caz proprietatea distributivă permite colectarea lor la un factor comun total. Dacă există mai mulți factori comuni, este convenabil să colectați cel mai mare factor comun (GCD) ca factor comun .

De exemplu, [7]

deoarece 2 este MCD de 6, 8, 10 și împarte toți termenii.

Gruparea

Gruparea termenilor vă permite să utilizați alte metode de factorizare.

De exemplu, a lua în calcul

observăm că primii doi termeni au factorul comun , iar ultimii doi au factorul comun . Prin urmare

Apoi, factorul comun este evident prin urmare

În general, această metodă funcționează pentru sume de patru termeni care sunt rezultatul produsului a două binomii . În unele cazuri, nu frecvent, chiar și în exemple mai complicate.

Adunarea și scăderea termenilor

Uneori, gruparea anumitor termeni apare ca parte a unui produs remarcabil . În acest caz, este util să adăugați termenii lipsă și, în același timp, să îi scăpați pentru a nu modifica valoarea expresiei. O utilizare tipică este metoda de completare a pătratului pentru a obține o formă pătratică .

Un alt exemplu este factorizarea . Dacă introduceți unitatea imaginară , notat în mod obișnuit cu , se obține o diferență de pătrate

Dacă doriți și o factorizare cu coeficienți reali , puteți adăuga și scădea . Prin gruparea a trei termeni putem recunoaște pătratul unui binom

De asemenea, scăzând și adăugând se obține factorizarea

Aceste factorizări funcționează nu numai cu numere complexe, ci și pentru orice câmp de numere , unde una dintre valorile -1, 2, -2 este un pătrat. Într-un câmp finit , produsul a două numere, care nu sunt pătrate, este un pătrat; aceasta implică faptul că polinomul , care este ireductibil în domeniul numerelor întregi, devine modul reductibil a prim. De exemplu,

atâta timp cât
atâta timp cât
atâta timp cât

Produse notabile

Multe identități reprezintă o egalitate între o sumă și un produs. Metodele anterioare pot scoate în evidență suma unei identități care poate fi apoi înlocuită cu produsul său.

Identități în formă generalizată (prin variabile Și reprezentând părți ale expresiei originale care trebuie luate în considerare). [8]

Dovada diferenței dintre două pătrate și două cuburi
  • Diferența dintre două pătrate
De exemplu,
  • Suma / diferența a două cuburi
  • Diferența dintre două puteri de gradul al patrulea
  • Suma / diferența a două valori la -a putere
În următoarele identități, factorii sunt adesea factorizabili.
  • Diferența cu exponentul egal
  • Diferență, cu orice exponent
Acesta este un exemplu de mai mulți factori decât suma care trebuie luată în calcul.
  • Suma cu exponent ciudat
(obținut prin schimb cu în formula anterioară)
  • Suma cu exponent uniform
Dacă exponentul este o putere de 2, expresia nu poate fi, în general, luată în calcul fără a utiliza numere complexe (dacă Și conține numere complexe s-ar putea să nu fie adevărate). De sine are un divizor impar, adică dacă cu ciudat, poți

folosiți formula de mai sus („Suma cu exponent impar”) și aplicați-o la

  • Trinomiale și formule cubice
  • Dezvoltări binomiale
Dezvoltare binomială până la a patra putere
În teorema binomului există forme ușor de recunoscut bazate pe numerele întregi prezente de grad mic:
În general, coeficienții evoluțiilor Și sunt coeficienții binomiali , care apar în -al doilea rând al triunghiului lui Pascal .

Rădăcini de unitate

Radacinile -ths ale unității sunt acele numere complexe, fiecare dintre acestea fiind rădăcina polinomului . Prin urmare, acestea sunt numerele

pentru

Din care rezultă că pentru fiecare pereche de expresii Și , avem:

Dacă ambele sunt expresii reale și se doresc factori reali, fiecare pereche de factori complexi conjugați trebuie înlocuiți cu produsele sale. Întrucât complexul conjugat al Și Și

avem următoarele factorizări reale (trecem de la una la alta prin substituirea cu sau cu și aplicarea formulelor trigonometrice obișnuite:

Cosinuzii care apar în aceste factorizări sunt numere algebrice , care pot fi exprimate în termeni de radicali (posibil deoarece grupul lor Galois este ciclic); cu toate acestea, aceste expresii radicale sunt prea complicate pentru a fi utilizate, cu excepția valorilor mici ale . De exemplu,

Factorizarea cu coeficienți raționali este deseori dorită. Acestea implică polinoame ciclotomice . Pentru a obține factorizări raționale de sume și diferențe sau de puteri, este necesară o notație pentru omogenizarea unui polinom : dacă , omogenizarea sa este polinomul cu două variabile . Atunci îl obții

unde produsele se referă la toți separatorii de , tu urasti care nu sunt divizori ai , Și este -al polinom ciclotomic.

De exemplu:

poiché i divisori di 6 sono 1,2,3,6, ei divisori di 12 che non dividono 6 sono 4 e 12.

Polinomi

Per i polinomi la fattorizzazione è strettamente legata al problema della soluzione di una equazione algebrica . Un'equazione algebrica ha la forma

dove è un polinomio in con . Una soluzione di questa equazione (chiamata anche radice del polinomio) è un valore di tale che

Se è una fattorizzazione di come prodotto di due polinomi, allora le radici di sono l'unione delle radici di e quelle di . Per cui la soluzione di è ridotta ai più semplici problemi di risolvere e .

All'opposto, il teorema del fattore asserisce che se è una radice di , allora può essere fattorizzato come

dove è il quoziente di una divisione euclidea (vedi regola di Ruffini ) di per il fattore lineare .

Se i coefficienti di sono reali o complessi, il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ha una radice reale o complessa. Utilizzando ricorsivamente il teorema del fattore , risulta che

dove sono le radici reali o complesse di , con alcune di esse anche ripetute. Tale fattorizzazione completa è unica.

Se i coefficienti di sono reali, in generale si preferisce che anche la fattorizzazione abbia coefficienti reali. In questo caso, nella fattorizzazione completa possono esserci fattori quadratici . Questa fattorizzazione può facilmente essere dedotta dalla fattorizzazione completa precedente. Infatti, se è una radice non reale di , allora il suo complesso coniugato è anch'esso una radice di . Per cui, il prodotto

è un fattore di con coefficienti reali. Ripetendo l'operazione per tutti i fattori non reali si ottiene una fattorizzazione con fattori reali lineari o quadratici.

Per calcolare questi fattori, reali o complessi, occorre trovare le radici del polinomio, che possono non essere esatte, ma solo approssimate tramite algoritmi di calcolo delle radici .

In pratica, molte equazioni algebriche di interesse hanno coefficienti interi o razionali e si desidera lo stesso per la fattorizzazione. Ilteorema fondamentale dell'aritmetica può essere generalizzato a questo caso, in quanto i polinomi con coefficienti interi o razionali hanno anch'essi la proprietà di avere un'unica fattorizzazione. Più precisamente, ogni polinomio con coefficienti razionali può essere fattorizzato nel prodotto

dove è un numero razionale e sono polinomi variabili a coefficienti interi che sono polinomi irriducibili e primitivi ; ciò significa che nessuno dei può essere scritto come prodotto di due polinomi (con coefficienti interi) che non siano 1 o -1 (gli interi sono considerati come polinomi di grado zero). Inoltre, questa fattorizzazione è unica a meno dell'ordine e del segno dei fattori.

Ci sono efficienti algoritmi per calcolare le fattorizzazioni, utilizzati dalla maggior parte dei calcolatori algebrici . Si veda scomposizione dei polinomi . Sfortunatamente questi algoritmi sono troppo complicati da utilizzare sulla carta. A parte il calcolo euristico sopra accennato, solo pochi metodi si prestano a un calcolo manuale, e sono per polinomi di grado minore, con pochi coefficienti maggiori di zero. I principali di questi metodi sono descritti qui di seguito.

Fattorizzazione in parte primitiva e contenuto

Ogni polinomio a coefficienti razionali può essere fattorizzato in un unico modo come prodotto di un numero razionale e un polinomio a coefficienti interi primitivo (cioè l'MCD dei coefficienti è 1) e ha un coefficiente positivo iniziale (coefficiente del termine con il grado più elevato). Ad esempio:

In questa fattorizzazione, il numero razionale è detto contenuto e il polinomio primitivo è detto parte primitiva . Il calcolo di questa fattorizzazione può essere fatto come segue:

  1. Ridurre i coeficienti a un comune denominatore, per ottenere il quoziente intero di un polinomio a coefficienti interi.
  2. Raccogliere a fattore comune l'MCD dei coefficienti di questo polinomio per ottenere la parte primitiva, essendo il contenuto .
  3. Se necessario, cambiare di segno e tutti i coefficienti della parte primitiva.

Questa fattorizzazione può portare a un'espressione più estesa di quella originale (tipicamente quando ci sono molti denominatori interi coprimi ), ma ciò nonostante la parte primitiva è generalmente più facile da manipolare per ulteriori fattorizzazioni.

Utilizzo del teorema del fattore

Il teorema del fattore afferma che se è una radice di un polinomio

con , allora esiste una fattorizzazione

dove

con . Il risultato della divisione lunga di un polinomio o quella sintetica è allora:

Tutto questo può essere utile quando si conosce o si intuisce qual è la radice del polinomio.

Ad esempio, per si può facilmente vedere che la somma dei coefficienti è 0, per cui è la radice. Siccome e , si ha

Radici razionali

Per i polinomi a coeffienti razionali, si può cercare le sue radici razionali. La precedente fattorizzazione parte primitiva-contenuto riduce il problema della ricerca di radici razionali al caso di polinomi a coefficienti interi non aventi un MCD > 1.

Se è una radice razionale di detto polinomio

il teorema del fattore mostra che si ha la fattorizzazione

dove ambedue i fattori hanno coefficienti interi (il fatto che ha coefficienti interi risulta dalla formula sopraccitata del quoziente di diviso per ).

La comparazione dei coefficienti di grado con i coefficienti costanti dell'uguaglianza sopra, mostra che se è una radice razionale, in forma ridotta, allora è un divisore di e è un divisore di . Perciò c'è un numero finito di possibilità per e , che possono essere sistematicamente esaminate. [9]

Ad esempio, se il polinomio

ha radici razionali con , allora deve dividere 6; cioè e deve dividere 2, quindi . Inoltre, se , i termini del polinomio sono negativi, e perciò una radice non può essere negativa. Si deve quindi avere

Un calcolo diretto mostra che solo è una radice, per cui non possono esserci altre radici razionali. Applicando il teorema del fattore si arriva finalmente alla fattorizzazione

Metodo quadratico AC

Questo metodo può essere adatto ai polinomi quadratici detto metodo AC di fattorizzazione. [10]

Si consideri il polinomio quadratico

con coefficienti interi. Se esso ha una radice razionale, il suo denominatore deve essere un divisore di e può essere scritto possibilmente come una frazione riducibile . Tramite le formule di Viète , l'altra radice è

con . Quindi anche la seconda radice è razionale, e la seconda formula di Viète porta a

cioè

Controllando tutte le coppie di interi il cui prodotto è si ottengono, se esistono, le radici razionali.

Ad esempio, consideriamo il polinomio quadratico

Analizzando i possibili fattori di si trova , danno le radici

e la fattorizzazione

Utilizzo di formule per le radici dei polinomi

Qualsiasi polinomio quadratico a un'incognita può essere fattorizzato con la formula quadratica:

dove e sono le due radici del polinomio.

Se sono variabili reali, i fattori sono anch'essi reali se e solo se il discriminante è positivo. Altrimenti, il polinomio non può essere fattorizzato in fattori reali variabili.

La formula è valida quando i coefficienti appartengono a una caratteristica del campo numerico diversa da due, e in particolare, per coefficienti di un campo finito con un numero dispari di elementi. [11]

Ci sono pure formule per le radici dei polinomi cubici e quartici che sono, in generale, troppo complicate per un uso pratico. Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non possono esserci formule generali per le radici di polinomi di grado cinque o superiore.

Utilizzo delle relazioni tra radici

Può capitare che si conosca qualche relazione tra le radici di un polinomio ei suoi coefficienti. L'uso di questa conoscenza può aiutare il lavoro di fattorizzazione del polinomio e la ricerca della sue radici. La teoria di Galois è basata su uno studio sistematico di queste relazioni che includono le formule di Viète .

Qui ci limitiamo a considerare il caso più semplice di due radici e di un polinomio che soddisfa la relazione

dove è un polinomio.

Questo implica che è una radice comune a e , è quindi una radice del polinomio MCD di questi due polinomi. Da ciò segue che questo MCD è un fattore variabile di La divisione dei polinomi consente il calcolo dell'MCD.

Ad esempio, [12] se si conosce o si intuisce che: ha due radici la cui somma è zero, si può applicare l'algoritmo euclideo a e . Il primo passo della divisione consiste nell'aggiungere a ottenendo il resto di

Poi, dividendo per ottenendo zero come nuovo resto, e come quoziente, arrivando così alla completa fattorizzazione

Domini a fattorizzazione unica

Gli interi ei polinomi di un campo condividono la proprietà della fattorizzazione unica, cioè, ogni elemento diverso da zero può essere fattoirizzato in un prodotto di un elemento invertibile (una unità , nel caso degli interi) e un prodotto di elementi irriducibili (numeri primi nel caso degli interi), e questa fattorizzazione è unica a meno dell'ordine degli elementi e dello spostamento delle unità tra i fattori. I domini di integrità che condividono questa proprietà sono detti domini a fattorizzazione unica (UFD).

L'MCD esiste negli UFD, e di converso, ogni dominio di integrità, nei quali esiste l'MCD, è un UFD. Ogni dominio ad ideali principali è un UFD.

Un dominio euclideo è un dominio di integrità nel quale è definita una divisione euclidea simile a quella degli interi. Ogni dominio euclideo è un dominio di ideali principale, e perciò un UFD.

In un dominio euclideo, la divisione euclidea consente la definizione di un algoritmo euclideo per il calcolo dell'MCD. Tuttavia, ciò non implica l'esistenza di un algoritmo di fattorizzazione. C'è un esempio esplicito di un campo in cui non può esistere qualsiasi algoritmo di fattorizzazione nel dominio euclideo dei polinomi a una incognita di .

Ideali

Nella teoria dei numeri algebrici , lo studio delle equazioni diofantee indusse i matematici, durante il XIX secolo, a introdurre una generalizzazione dei numeri interi detti interi algebrici . Il primo anello di interi algebrici preso in considerazione fu l' intero gaussiano e l' intero di Eisenstein , che condividono con gli interi usuali la proprietà di essere dominio ad ideali principali , aventi perciò la proprietà della fattorizzazione unica .

Sfortunatamente, la maggior parte degli algebrici interi si rivelarono subito come non principali e senza una fattorizzazione unica. Il più semplice di essi è nel quale

e tutti questi generi di fattori sono irriducibili.

Questa mancanza di un'unica fattorizzazione è una delle maggiori difficoltà per la soluzione delle equazioni diofantee. Per esempio, molte dimostrazioni errate dell' ultimo teorema di Fermat (probabilmente quelle dello stesso Pierre de Fermat ) erano basate sull'implicita ipotesi della fattorizzazione unica.

Questa difficoltà fu risolta da Dedekind , che dimostrò che gli anelli degli interi algebrici hanno un'unica fattorizzazione in ideali : in questi anelli ogni ideale è il prodotto di primi ideali , e questa fattorizzazione è unica. I domini di integrità che possiedono questa proprietà di fattorizzazione unica sono ora detti domini di Dedekind . Essi hanno molte proprietà interessanti che li rendono fondamentali nella teoria dei numeri algebrici.

Matrici

Gli anelli di matrici sono non commutativi e non hanno un'unica fattorizzazione: ci sono, in generale, molti modi di scrivere una matrice come prodotto di matrici. Per cui il problema della fattorizzazione consiste nel trovare fattori di un tipo specifico. Per esempio, la decomposizione LU porta a una matrice risultante dal prodotto di una matrice triangolare inferiore (L) per una matrice triangolare superiore (U). Siccome ciò non è sempre possibile, in generale, si prova la decomposizione LUP avente una matrice di permutazione come terzo fattore.

Si veda la decomposizione di una matrice per i tipi più comuni di fattorizzazione di matrici.

Una matrice logica rappresenta una relazione binaria , e la moltiplicazione di matrici corrisponde a una composizione di relazioni . Scomporre una relazione tramite fattorizzazione serve a dare un profilo alla natura della relazione, come per esempio una relazione difunzionale .

Note

  1. ^ A. Facchini, Algebra e matematica discreta , Decibel Zanichelli, 2000, p. 28, ISBN 88-08-09739-0 .
  2. ^ ( EN ) H. Hardy, An Introduction to the Theory of Numbers , Oxford Science Publications, 1980, ISBN 978-0198531715 .
  3. ^ Klein , pp. 101–102
  4. ^ L'algebra nella matematica islamica – NUOVA STORIA VISUALE – NEW VISUAL HISTORY matematica-islamica/
  5. ^ In ( EN ) V. Sanford, A Short History of Mathematics , Read Books, 2008, ISBN 9781409727101 . , l'autore nota "Vista la presente enfasi data alla soluzione delle equazioni quadratiche mediante fattorizzazione, è interessante notare che questo metodo non era in uso prima del lavoro del 1631 di Harriot".
  6. ^ frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas
  7. ^ Fite , p. 19
  8. ^ Selby , p. 101
  9. ^ Dickson , p. 27
  10. ^ Stover, Christopher AC Method - MathworldArchiviato il 12 novembre 2014 in Internet Archive .
  11. ^ In un campo con caratteristica 2, si ha 2 = 0, e la formula porta ad una divisione per zero.
  12. ^ Burnside e Panton , p. 38

Voci correlate

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 30495 · LCCN ( EN ) sh85046844 · BNF ( FR ) cb122865337 (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica