Pachet principal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică, un pachet principal este o structură care formalizează unele dintre caracteristicile esențiale ale produsului cartezian M : = X × G al unui spațiu topologic X cu un grup G. În mod similar cu M , un pachet principal P are

  1. o acțiune a lui G pe P , analogă cu ( x , g ) h = ( x , gh ) a lui M ;
  2. o proiecție pe X , care este pur și simplu proiecția pe primul factor al lui M : ( x , g ) → x .

Spre deosebire de M , totuși, unui pachet principal îi lipsește o alegere preferențială în secțiunea elementului neutru; nu are analogul lui ( x , e ). Nu există o proiecție generală pe G care să generalizeze proiecția ( x , g ) → g pe al doilea factor. Pachetele principale pot avea o topologie complicată, care nu le permite să fie identificate cu un produs cartezian chiar și după o alegere arbitrară.

Un exemplu comun al unui pachet principal este pachetul de referințe F E al unui pachet vector E , care constă din toate bazele ordonate ale spațiului vectorial asociat cu fiecare punct. Grupul G în acest caz este grupul liniar general , care acționează în mod obișnuit pe baze. Deoarece nu există un mod canonic de a alege o bază pentru un spațiu vectorial, unui pachet de referințe îi lipsește o alegere canonică a secțiunii de identitate.

În termeni formali, o fibră G principală este un pachet P pe un spațiu topologic X dotat cu o acțiune tranzitivă liberă a unui grup topologic G pe fibrele P. Fibrele devin apoi principalele spații omogene pentru acțiunea corectă a lui G asupra sa. Principalele fibrate G sunt, de asemenea, pachete cu un grup de structură G , în sensul că admit o banalizare locală în care hărțile de tranziție sunt date de transformări în G.

Pachetele principale au aplicații importante în topologie și geometrie diferențială . Ei au găsit, de asemenea, aplicații în fizică, unde fac parte din baza teoretică a teoriilor ecartamentului . Mai mult, ele ne permit să formulăm noțiunea de structură de spin , astfel încât să fie ușor de definit ce este un câmp de spinor . Ele sunt, de asemenea, un instrument de unire în teoria pachetelor, în sensul că toate pachetele cu structura grupului G determină un singur pachet principal G- din care pot fi reconstituite.

Definiție

O fibră G principală este un pachet π: P → X împreună cu o acțiune dreaptă continuă P × G → P a unui grup topologic G care păstrează fibrele lui P și acționează liber și tranzitiv asupra lor. G în sine este luat ca fibra abstractă a pachetului.

De multe ori se cere, de asemenea, ca spațiul de bază X să fie Hausdorff și, eventual, paracompact .

Rezultă că orbitele acțiunii sunt tocmai fibrele lui π: P → X și că coeficientul P / G este homeomorf pentru spațiul de bază X. A spune că G acționează liber și tranzitiv asupra fibrelor înseamnă că fibrele moștenesc o structură a torsorilor G (adică sunt spații cu acțiune liberă și tranzitivă a unui grup, deci există o familie de spații omogene principale pe spațiul de bază ). Un G- torsor este un spațiu care este homoemoros față de G, dar lipsește structura grupului deoarece nu există o alegere canonică a elementului neutru.

Un -fibrate principal G poate fi caracterizat ca un G -fibrate π: P → X cu G fibră în care grupa structura actioneaza asupra fibrelor cu traducerea din stânga. Deoarece înmulțirea corectă a lui G pe fibră comută cu acțiunea grupului de structuri (deoarece înmulțirea în G este asociativă), există o noțiune invariantă de înmulțire dreaptă a lui G pe P. Fibrele lui π devin apoi G- torsori corecți pentru această acțiune.

Ar putea fi numit și un fibrat G major în categoria soiurilor netede . În acest caz, este necesar ca π: P → X să fie o hartă netedă , că G este un grup Lie și că acțiunea corespunzătoare pe P este netedă.

Exemple

  • Exemplul tipic al unui pachet principal neted este pachetul de referință al unui soi neted M , de obicei notat cu F M sau GL ( M ). Fibra pe un punct x al lui M este ansamblul tuturor bazelor ordonate de spațiul tangent T x M. Grupul liniar general GL ( n , R ) acționează simplu și tranzitiv pe aceste baze. Fibrele pot fi lipite în mod natural împreună pentru a obține o fibră GL ( n , R ) -principală pe M.
  • Variațiile exemplului anterior includ pachetul de referințe ortonormale ale unei varietăți riemanniene , unde bazele trebuie să fie ortonormale în raport cu metrica. Grupul de structură este grupul ortogonal O ( n ).
  • Un strat normal (regulat) p : C → X este un pachet principal cu grupa de structuri π 1 ( X ) / p π 1 ( C ) care acționează asupra lui C prin acțiunea monodromului . În special, placarea universală a lui X este un pachet principal pe X cu grupa de structură π 1 ( X ).
  • Fie G un grup Lie și H un subgrup închis (nu neapărat normal). G este un fibrat H principal pe spațiul coeficientului (stânga) G / H. Acțiunea lui H pe G este multiplicarea din dreapta. Fibrele sunt clasele laterale ale lui H (în acest caz există o fibră care iese în evidență de celelalte: cea care conține identitatea care este în mod natural izomorfă la H ).
  • Spațiile proiective oferă exemple mai interesante de pachete principale. Amintiți-vă că n - sfera S n este un spațiu de acoperire al spațiului proiectiv real RP n . Acțiunea naturală a lui O (1) pe S n dă structura unei fibre principale O (1) pe RP n . În mod similar, S 2n + 1 este o fibră principală U (1) pe spațiul proiectiv complex CP n și S 4n + 3 o principală Sp (1) -fibrează pe spațiul proiectiv al cuaternionilor HP n . Când n = 1 avem pachete Hopf .

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibrato_principale&oldid=118666946 ”