Pachet de vectori

Banda Mobius are o structură de pachete vectoriale pe o circumferință.

În matematică , un pachet de vectori este o construcție care asociază un spațiu vectorial (în general real sau complex ) la fiecare punct al unui distribuitor topologic (sau diferențiat ). Prin urmare, este un pachet special, a cărui fibră are o structură spațială vectorială.

Pachetul tangent și pachetul cotangent sunt două exemple.

Definiție

Un pachet vectorial real este un pachet care are ca spațiu vectorial fibra , adică este o funcție continuă surjectivă $p\colon E\to B$ ${\ displaystyle p \ colon E \ to B}$ ${\ displaystyle p \ colon E \ to B}$ între spații topologice astfel încât imaginea contra $p^{-1}(x)$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (x)}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (x)}$ din fiecare punct $x\in B,$ ${\ displaystyle x \ în B,}$ ${\ displaystyle x \ în B,}$ fibra menționată deasupra punctului $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ are o structură spațială vectorială reală . De asemenea, este necesar ca această structură să varieze continuu cu variația lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Această cerere este formalizată prin solicitarea ca screeningul să fie un produs local. Mai exact, pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a spațiului de bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ există un mediu deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a punctului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și un homeomorfism :

\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{k},

{\ displaystyle \ phi \ colon p ^ {- 1} (U) \ to U \ times \ mathbb {R} ^ {k},}

{\ displaystyle \ phi \ colon p ^ {- 1} (U) \ to U \ times \ mathbb {R} ^ {k},}

astfel încât:

\mathrm {pr} _{1}\circ \phi =p

{\ displaystyle \ mathrm {pr} _ {1} \ circ \ phi = p}

{\ displaystyle \ mathrm {pr} _ {1} \ circ \ phi = p}

unde este $\mathrm {pr} _{1}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to U$ ${\ displaystyle \ mathrm {pr} _ {1} \ colon U \ times \ mathbb {R} ^ {k} \ to U}$ ${\ displaystyle \ mathrm {pr} _ {1} \ colon U \ times \ mathbb {R} ^ {k} \ to U}$ este proiecția pe primul factor. De asemenea, este necesar ca homeomorfismul să păstreze structurile spațiilor vectoriale, adică homeomorfismul:

\phi |_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x')\to \lbrace x'\rbrace \times \mathbb {R} ^{k},

{\ displaystyle \ phi | _ {p ^ {- 1} (x ')}: p ^ {- 1} (x') \ to \ lbrace x '\ rbrace \ times \ mathbb {R} ^ {k}, }

{\ displaystyle \ phi | _ {p ^ {- 1} (x ')}: p ^ {- 1} (x') \ to \ lbrace x '\ rbrace \ times \ mathbb {R} ^ {k}, }

este, de asemenea, un izomorfism al spațiilor vectoriale, pentru fiecare punct ${x'}$ ${\ displaystyle {x '}}$ ${\ displaystyle {x '}}$ a deschisului $U .$ ${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle U.}$

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Operatori naturali în geometrie diferențială ( PDF ), Springer-Verlag, 1993. Accesat la 5 iulie 2013 (arhivat din original la 30 martie 2017) .