Fibrarea Hopf
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În geometrie , fibrarea Hopf este o hartă specială de la sfera tridimensională la cea bidimensională, astfel încât imaginea contrară a fiecărui punct să fie o circumferință .
Definiție
Fibrarea Hopf este un pachet special având S 2 ca spațiu de bază, S 3 ca spațiu total și S 1 ca fibră:
- S 1 → S 3 → S 2
A fost descoperit de Heinz Hopf în 1931 . Pachetul Hopf este un pachet principal , atunci când este luat în considerare cu structura naturală a grupului fibrei.
Fibrarea Hopf este construită după cum urmează: prin definiție S 3 este un obiect din interiorul lui R 4 , pe care îl identificăm cu C 2 . Spațiul proiecțional complex CP 1 este definit ca coeficientul lui C 2 prin relația de echivalență care identifică doi vectori ai lui C 2 atunci când sunt pe aceeași linie (complexă!) Care trece prin origine. Ca în toți cocienții, există o proiecție f : C 2 → CP 1 , care trimite fiecare vector în clasa sa de echivalență. Restricționând proiecția la S 3 obținem o funcție surjectivă de la S 3 în CP 1 , care este homeomorfă la S 2 . Această funcție este fibrarea Hopf.
Fibra pe un punct al lui S 2 (adică contraimaginea sa) este homeomorfă la circumferința S 1 , deoarece este alcătuită din toate punctele de tip (λ z 0 , λ z 1 ) unde z 0 și z 1 sunt complexe fixe numerele și λ este un număr complex variabil cu norma 1.
Proprietate
Hopf a demonstrat că fibrarea f : S 3 → S 2 nu este homotopică la o hartă constantă . Într-adevăr, harta Hopf generează al treilea grup de homotopie al lui S 2 , adică grupul π 3 (S 2 ) izomorf la Z.
Generalizări
- În general, construcția Hopf dă pachete p : S 2n + 1 → CP n pe spații proiective complexe, ale căror fibre sunt întotdeauna circumferințe.
- Sfera S 7 trăiește în interiorul R 8 , care poate fi identificat cu H 2 , unde H este corpul cuaternionilor . Apoi obținem ca mai sus o fibrare de la S 7 pe HP 1 , care se dovedește a fi homeomorfă la S 4 . Rezultatul este un pachet
- p : S 7 → S 4 cu fibră S 3 .
