Filtru Butterworth

Filtrul Butterworth (sau „maxim plat”) este unul dintre cele mai simple filtre electronice . Scopul său este să mențină modulul răspunsului de frecvență în banda de trecere cât mai plat posibil.

Primul care le-a descris a fost fizicianul englez Stephen Butterworth în articolul său „On the Theory of Filter Amplifiers”, Wireless Engineer (numit și Experimental Wireless and the Radio Engineer ), vol. 7, 1930, pp. 536-541.

Definiție

Definiția filtrului nu constrânge realizarea circuitului electronic, care poate fi proiectat în mod liber, ci doar funcția sa de transfer. Filtrele Butterworth sunt toate circuitele a căror funcție de transfer are ca numitor și / sau numerator polinoame Butterworth de ordin arbitrar.

De sine $B^{(k)}(s)$ ${\ displaystyle B ^ {(k)} (s)}$ $B ^ {{(k)}} (s)$ este un polinom Butterworth de ordinul k, funcția de transfer a circuitului trebuie să fie exprimabilă în formă $H(s)={\frac {B^{(n)}({\frac {s}{\omega _{0}}})}{B^{(m)}({\frac {s}{\omega _{0}}})}}$ ${\ displaystyle H (s) = {\ frac {B ^ {(n)} ({\ frac {s} {\ omega _ {0}}})} {B ^ {(m)} ({\ frac { s} {\ omega _ {0}}})}}}$ $H (s) = {{\ frac {B ^ {{(n)}} ({\ frac {s} {\ omega _ {0}}})} {B ^ {{(m)}} ({\ frac {s} {\ omega _ {0}}})}}}$ .

Pentru ca filtrul să fie cauzal, deci realizabil, trebuie să fie $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ .

Polinoamele Butterworth

Pentru a aparține familiei de polinoame Butterworth, un polinom trebuie:

Fii cu coeficienți reali
Au toate zerourile de pe cercul razei 1 centrate la origine (raza cercului va deveni $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ când polinomul va fi scris în formă $B^{(n)}({\frac {s}{\omega _{0}}})$ ${\ displaystyle B ^ {(n)} ({\ frac {s} {\ omega _ {0}}})}$ $B ^ {{(n)}} ({\ frac {s} {\ omega _ {0}}})$ )

În plus:

dacă n este ciudat, rădăcinile polinomului trebuie să fie a 2-a rădăcină a lui 1 o parte reală negativă
dacă n este egal, rădăcinile polinomului trebuie să fie a 2-a rădăcină a (-1) cu partea reală negativă

Utilizarea polinoamelor Butterworth într-o funcție de transfer îl face maxim plat în banda de trecere: derivatele sale în $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ până la comanda 2n-1 sunt nule.

Polinoamele Butterworth pot fi găsite în tabele în manuale electronice și pe Internet, exprimate sub forma unui produs de polinomii de gradul 2 și gradul 1, pentru a crea un circuit de ordin înalt ca o cascadă de circuite de ordinul 2 și 1.

Filtrele

Răspunsul în frecvență al unui filtru Butterworth de treaptă joasă de ordinul întâi

Cel mai simplu filtru Butterworth este standardul de ordinul filtru trece scăzut , care poate fi modificat pentru a obține un filtru trece , și combinate în serie cu altele pentru a obține filtre band-pass, band-pass filtre și versiuni de ordine. Mai mare decât acestea.

Răspunsul de frecvență al acestor filtre în banda de trecere este cât se poate de plat (fără ondulații în bandă), în timp ce în afara benzii are o funcție de transfer monotonă, tendind la zero.

Observată pe un grafic Bode , magnitudinea răspunsului de frecvență în afara benzii scade liniar spre $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .
Atenuarea unui filtru de primul ordin este egală cu 6 dB / octavă (20 dB / deceniu); al filtrului de ordinul doi este de 12 dB / octavă (40 dB / deceniu) și așa mai departe.
Toate filtrele de ordinul întâi sunt identice și au același răspuns de frecvență normalizat.

Filtrul Butterworth este singurul filtru care menține același răspuns chiar și pentru comenzile mai mari, cu panta laturilor mai abrupte pe măsură ce ordinea crește. Alte tipuri de filtre ( Bessel , Chebyshev , eliptice ) au răspunsuri diferite trecând la ordine superioare.

Răspunsul în frecvență al unui filtru de ordinul n poate fi definit matematic ca:

$\left|G(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+\omega ^{2n}}}}$ ${\ displaystyle \ left | G (j \ omega) \ right | = {1 \ over {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2n}}}}}$ $\ left | G (j \ omega) \ right | = {1 \ over {\ sqrt {1+ \ omega ^ {{2n}}}}}$

unde G este transferul filtrului, n este ordinea filtrului, ω este raportul dintre frecvența semnalului și frecvența de întrerupere pe care doriți să o impuneți cu filtrul.

Elemente conexe

linkuri externe

Foaie de calcul pentru proiectarea unui filtru Butterworth (de Dario Mazzeo) - [1] Ghid extras din revista Fare Elettronica ^{[ link rupt ]}

Portal electronic : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electronică