Filtru Čebyšëv

Prototip de filtru analogic: filtrul Chebyshev

Există două tipuri de filtre Chebyshev:

1) Filtre cu oscilații de nivel egal în banda de trecere. (Chebyshev tip 1)

2) Filtre cu oscilații de nivel egal în bandă atenuată. (Chebyshev tip 2)

Comparativ cu filtrele Butterworth, aceste filtre garantează aceleași specificații de proiectare cu un ordin N mai mic și nu au răspuns de frecvență monoton.

Filtru de tip I Chebyshev

Modulul pătrat al răspunsului în frecvență al acestei clase de filtre (trecere joasă) de ordinul N este egal:

$|H_{a}(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}T_{N}^{2}({\frac {\omega }{\omega _{p}}})}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2} T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}})}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2} T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}})}}}$

unde este $\omega _{p}=2\pi f_{p}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p} = 2 \ pi f_ {p}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p} = 2 \ pi f_ {p}}$ pulsația este cea care delimitează banda de trecere, cunoscută și sub numele de pulsație tăiată (rad / sec); termenul $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , legat de $R_{p}$ ${\ displaystyle R_ {p}}$ $R_ {p}$ (ondularea în banda de trecere) este factorul de oscilație în banda de trecere și în cele din urmă $T_{N}(x)$ ${\ displaystyle T_ {N} (x)}$ ${\ displaystyle T_ {N} (x)}$ este polinomul Chebyshev de ordinul N astfel definit:

$T_{N}({\frac {\omega }{\omega _{p}}})={\begin{cases}\cos(N\arccos({\frac {\omega }{\omega _{p}}})),0\leq {\frac {\omega }{\omega _{p}}}\leq 1\\\cosh(N\cosh ^{-1}({\frac {\omega }{\omega _{p}}})),0<{\frac {\omega }{\omega _{p}}}<\propto \end{cases}}$ ${\ displaystyle T_ {N} ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}}) = {\ begin {cases} \ cos (N \ arccos ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}})), 0 \ leq {\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}} \ leq 1 \\\ cosh (N \ cosh ^ {- 1} ({\ frac {\ omega } {\ omega _ {p}}})), 0 <{\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}} <\ propto \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle T_ {N} ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}}) = {\ begin {cases} \ cos (N \ arccos ({\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}})), 0 \ leq {\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}} \ leq 1 \\\ cosh (N \ cosh ^ {- 1} ({\ frac {\ omega } {\ omega _ {p}}})), 0 <{\ frac {\ omega} {\ omega _ {p}}} <\ propto \ end {cases}}}$

Răspunsul în frecvență depinde strict de comportamentul polinoamelor care oscilează între -1 și +1 în primul caz, în timp ce acestea cresc monoton în al doilea.

Următoarele proprietăți derivă din definiția polinoamelor Chebyshev:

1) $|H_{a}(0)|^{2}=1$ ${\ displaystyle | H_ {a} (0) | ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (0) | ^ {2} = 1}$ pentru N ciudat, $|H_{a}(0)|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (0) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (0) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2}}}}$ in caz contrar

2) $|H_{a}(j\omega _{p})|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega _ {p}) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega _ {p}) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2}}}}$ pentru orice comandă de filtrare

Filtru Chebyshev de tip II

Modulul pătrat al răspunsului în frecvență al filtrului de ordine N este după cum urmează:

$|H_{a}(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}{\frac {T_{N}^{2}({\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}})}{T_{N}^{2}({\frac {\omega _{s}}{\omega }})}}}}$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2} {\ frac {T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega _ {s}} {\ omega _ {p}}})} {T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega _ {s}} {\ omega}})}}} }$ ${\ displaystyle | H_ {a} (j \ omega) | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ epsilon ^ {2} {\ frac {T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega _ {s}} {\ omega _ {p}}})} {T_ {N} ^ {2} ({\ frac {\ omega _ {s}} {\ omega}})}}} }$

cu $\omega _{s}$ ${\ displaystyle \ omega _ {s}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {s}}$ pulsația începutului benzii de atenuare.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre filtrul lui Čebyšëv