Filtru de cosinus crescut

Filtrul de cosinus ridicat este un tip special de filtru electronic utilizat pentru modelarea impulsului de date în sistemele de modulație digitală . Răspunsul său la impuls este zero în mai multe momente de timp simbol, de aceea aparține familiei de filtre Nyquist , care reduc interferența intersimbolică ( ISI ).

Numele derivă din faptul că porțiunea non-zero a spectrului său, cel puțin în cea mai simplă versiune, este o funcție cosinus ridicată deasupra axei de frecvență (vezi figura de mai jos).

Descrierea matematică

Filtrul de cosinus ridicat realizează filtrul Nyquist cu trecere joasă , cu proprietatea simetriei vestigiale. Prin urmare, spectrul său posedă o simetrie ciudată în jur ${\frac {1}{2T}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}}}$ , Unde $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este timpul simbol al sistemului de comunicații.

Descrierea sa în domeniul frecvenței este furnizată de o funcție în bucăți dată de:

H(f)={\begin{cases}T,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {T}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{altrove}}\end{cases}}

{\ displaystyle H (f) = {\ begin {cases} T, & | f | \ leq {\ frac {1- \ beta} {2T}} \\ {\ frac {T} {2}} \ left [ 1+ \ cos \ left ({\ frac {\ pi T} {\ beta}} \ left [| f | - {\ frac {1- \ beta} {2T}} \ right] \ right) \ right], & {\ frac {1- \ beta} {2T}} <| f | \ leq {\ frac {1+ \ beta} {2T}} \\ 0, și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases} }}

{\ displaystyle H (f) = {\ begin {cases} T, & | f | \ leq {\ frac {1- \ beta} {2T}} \\ {\ frac {T} {2}} \ left [ 1+ \ cos \ left ({\ frac {\ pi T} {\ beta}} \ left [| f | - {\ frac {1- \ beta} {2T}} \ right] \ right) \ right], & {\ frac {1- \ beta} {2T}} <| f | \ leq {\ frac {1+ \ beta} {2T}} \\ 0, și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases} }}

0\leq \beta \leq 1

{\ displaystyle 0 \ leq \ beta \ leq 1}

{\ displaystyle 0 \ leq \ beta \ leq 1}

și caracterizat prin doi parametri: $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , factorul de derulare , e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , timpul simbolului (reciproc al frecvenței simbolului).

Răspunsul impulsiv al acestui filtru este dat de:

h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4}}\;\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\mbox{altrove}}\end{cases}}

{\ displaystyle h (t) = {\ begin {cases} {\ frac {\ pi} {4}} \; \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {1} {2 \ beta}} \ right) , & t = \ pm {\ frac {T} {2 \ beta}} \\\ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) {\ frac {\ cos \ left ( {\ frac {\ pi \ beta t} {T}} \ right)} {1- \ left ({\ frac {2 \ beta t} {T}} \ right) ^ {2}}} și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle h (t) = {\ begin {cases} {\ frac {\ pi} {4}} \; \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {1} {2 \ beta}} \ right) , & t = \ pm {\ frac {T} {2 \ beta}} \\\ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) {\ frac {\ cos \ left ( {\ frac {\ pi \ beta t} {T}} \ right)} {1- \ left ({\ frac {2 \ beta t} {T}} \ right) ^ {2}}} și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}

în ceea ce privește funcția sinc normalizată.

Răspunsul amplitudinii unui filtru cosinus ridicat pentru diferite valori ale factorului de derulare

Răspuns impulsiv al unui filtru cosinus ridicat pentru diferite valori ale factorului de derulare

Factor de derulare

Factorul de derulare, $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , reprezintă o măsură a lățimii de bandă în exces a filtrului, adică banda ocupată dincolo de banda Nyquist ${\frac {1}{2T}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}}}$ . Denotând cu $\Delta f$ ${\ displaystyle \ Delta f}$ $\ Delta f$ exces de lățime de bandă, apoi:

\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\Delta f

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ Delta f} {\ left ({\ frac {1} {2T}} \ right)}} = {\ frac {\ Delta f} {R_ {S} / 2} } = 2T \ Delta f}

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ Delta f} {\ left ({\ frac {1} {2T}} \ right)}} = {\ frac {\ Delta f} {R_ {S} / 2} } = 2T \ Delta f}

Unde $R_{S}={\frac {1}{T}}$ ${\ displaystyle R_ {S} = {\ frac {1} {T}}}$ ${\ displaystyle R_ {S} = {\ frac {1} {T}}}$ este frecvența simbolului.

Graficul arată răspunsul amplitudinii atunci când $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ se face să varieze între 0 și 1 și efectul corespunzător asupra răspunsului la impuls. După cum puteți vedea, nivelul de ondulare în domeniul timp crește odată cu scăderea $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Acest lucru demonstrează modul în care este posibilă reducerea excesului de lățime de bandă a filtrului în detrimentul prelungirii răspunsului la impuls.

$\beta =0$ ${\ displaystyle \ beta = 0}$ ${\ displaystyle \ beta = 0}$

Cand $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ tinde la 0, zona de derulare devine din ce în ce mai îngustă, prin urmare:

\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)

{\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ rightarrow 0} H (f) = \ mathrm {rect} (fT)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ rightarrow 0} H (f) = \ mathrm {rect} (fT)}

unde este $\mathrm {rect} (\cdot )$ ${\ displaystyle \ mathrm {rect} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {rect} (\ cdot)}$ este funcția dreptunghiulară, iar răspunsul la impuls tinde să $\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)}$ ideal. Prin urmare, converge către un filtru ideal pentru trecerea benzii.

$\beta =1$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$

Cand $\beta =1$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ , partea diferită de zero a spectrului este un cosinus ridicat pur, ceea ce duce la simplificare:

H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{altrove}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle H (f) | _ {\ beta = 1} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ cos \ left (\ pi fT \ dreapta) \ dreapta], & | f | \ leq {\ frac {1} {T}} \\ 0, & {\ mbox {în altă parte}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle H (f) | _ {\ beta = 1} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ cos \ left (\ pi fT \ dreapta) \ dreapta], & | f | \ leq {\ frac {1} {T}} \\ 0, & {\ mbox {în altă parte}} \ end {matrix}} \ right.}

Lățime de bandă

Banda unui filtru de cosinus ridicat este definită în mod obișnuit ca lățimea de bandă a porțiunii diferite de zero a spectrului său, adică:

BW={\frac {1}{2}}R_{S}(1+\beta )

{\ displaystyle BW = {\ frac {1} {2}} R_ {S} (1+ \ beta)}

{\ displaystyle BW = {\ frac {1} {2}} R_ {S} (1+ \ beta)}

Aplicații

Impulsurile consecutiv crescute ale cosinusului permit să demonstreze proprietatea zero-ISI

Când este utilizat pentru a filtra un flux de simboluri, un filtru Nyquist are proprietatea de a elimina ISI, deoarece răspunsul său la impuls este zero față de orice $n T.$ ${\ displaystyle nT}$ ${\ displaystyle nT}$ (unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr întreg), cu excepția $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ .

În consecință, dacă forma de undă transmisă este eșantionată corect la receptor, valorile simbolului original pot fi recuperate complet.

Cu toate acestea, în majoritatea sistemelor de comunicații utilizate în practică, trebuie utilizat un filtru asortat la receptor, din cauza efectelor zgomotului alb .

Această condiție necesită următoarea constrângere, în prezența unui canal ideal:

H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)

{\ displaystyle H_ {R} (f) = H_ {T} ^ {*} (f)}

{\ displaystyle H_ {R} (f) = H_ {T} ^ {*} (f)}

acesta este:

|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = | H_ {T} (f) | = {\ sqrt {| H (f) |}}}

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = | H_ {T} (f) | = {\ sqrt {| H (f) |}}}

Pentru a satisface această constrângere, oferind în același timp zero ISI, un filtru de rădăcină de cosinus ridicat este de obicei utilizat la ambele capete ale sistemului de telecomunicații. În acest fel, răspunsul total al sistemului este crescut cosinus.

De fapt, în prezența unui canal activ cu răspuns impulsiv $C(f)$ ${\ displaystyle C (f)}$ ${\ displaystyle C (f)}$ , avem:

|H_{R}(f)|=k|H_{TC}(f)|

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = k | H_ {TC} (f) |}

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = k | H_ {TC} (f) |}

cu

H_{TC}(f)=H_{T}(f)C(f)

{\ displaystyle H_ {TC} (f) = H_ {T} (f) C (f)}

{\ displaystyle H_ {TC} (f) = H_ {T} (f) C (f)}

și, de asemenea, cu:

H_{N}(f)=|H_{T}(f)||C(f)||H_{R}(f)|

{\ displaystyle H_ {N} (f) = | H_ {T} (f) || C (f) || H_ {R} (f) |}

{\ displaystyle H_ {N} (f) = | H_ {T} (f) || C (f) || H_ {R} (f) |}

cu $H_{N}(f)$ ${\ displaystyle H_ {N} (f)}$ ${\ displaystyle H_ {N} (f)}$ Prin urmare, impulsul nervos al cosinusului Nyquist :

|H_{R}(f)|={\sqrt {k}}{\sqrt {|H_{N}(f)|}}

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = {\ sqrt {k}} {\ sqrt {| H_ {N} (f) |}}}

{\ displaystyle | H_ {R} (f) | = {\ sqrt {k}} {\ sqrt {| H_ {N} (f) |}}}

Si deasemenea:

H_{T}(f)={\frac {1}{\sqrt {k}}}{\frac {\sqrt {|H_{N}(f)|}}{C(f)}}

{\ displaystyle H_ {T} (f) = {\ frac {1} {\ sqrt {k}}} {\ frac {\ sqrt {| H_ {N} (f) |}} {C (f)}} }

{\ displaystyle H_ {T} (f) = {\ frac {1} {\ sqrt {k}}} {\ frac {\ sqrt {| H_ {N} (f) |}} {C (f)}} }

În cazul particular al unui sistem binar PAM avem: $k=1/E_{b}$ ${\ displaystyle k = 1 / E_ {b}}$ ${\ displaystyle k = 1 / E_ {b}}$ , cu $E_{b}$ ${\ displaystyle E_ {b}}$ ${\ displaystyle E_ {b}}$ Energie pe bit.

Bibliografie

I. Glover, P. Grant (2004). Comunicații digitale (ediția a II-a). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4
J. Proakis (1995). Comunicații digitale (ediția a 3-a). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5

linkuri externe

Articol tehnic intitulat Îngrijirea și hrănirea filtrelor digitale, care formează pulsul , publicat de „ Design RF ”.