Filtru combinat

Filtrul pieptene ( filtru pieptene) este un filtru special care adaugă semnalului prezent la momentul respectiv o versiune întârziată ( întârziere ) a unui număr de pași. Răspunsul în frecvență al unui filtru de pieptene constă dintr-o serie de impulsuri la fel de distanțate, care seamănă cu dinții individuali ai unui pieptene. Filtrele combinate există în două tipuri diferite cu feedforward sau feedback (feedback).

Aplicații

Filtrele pe pieptene sunt utilizate în diferite domenii de procesare a semnalului , de exemplu:

Filtre Cascader Integrator-Comb (CIC) utilizate pentru anti-aliasing în operațiile de interpolare și decimare care modifică rata de eșantionare a unui sistem de timp discret.
Filtre pe pieptene în 2D și 3D implementate în hardware pentru decodoarele de protocol NTSC pentru televizoare. Acestea sunt folosite pentru a reduce artefacte, cum ar fi erorile cu crawlere punct .
Efecte audio precum cor , flanger , phaser și sinteza ghidului de undă digital. De exemplu, dacă timpul de întârziere este setat la câteva milisecunde, un filtru de pieptene poate fi utilizat pentru a modela efectul unei unde statice acustice într-o cavitate cilindrică sau într-un șir vibrant; în acest caz prin algoritmul Karplus-Strong .

Implementări

Implementările de timp discret sunt explicate mai jos, proprietățile de timp continuu ale unui filtru de pieptene sunt foarte similare.

Combinați filtrul feedforward

Diagrama bloc a unui filtru de avans pe pieptene este după cum urmează:

Structura unui filtru de pieptene Feedforward

Și poate fi descris prin următoarea ecuație a diferenței :

\ y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]\,

{\ displaystyle \ y [n] = x [n] + \ alpha x [nK] \,}

{\ displaystyle \ y [n] = x [n] + \ alpha x [n-K] \,}

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este lungimea liniei de întârziere măsurată, fiind în timp discret, în număr de eșantioane. $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este factorul de scalare aplicat semnalului în linia de întârziere. Prin transformarea z a ecuației anterioare obținem:

\ Y(z)=(1+\alpha z^{-K})X(z)\,

{\ displaystyle \ Y (z) = (1+ \ alpha z ^ {- K}) X (z) \,}

{\ displaystyle \ Y (z) = (1+ \ alpha z ^ {- K}) X (z) \,}

Cu următoarea funcție de transfer :

\ H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}\,

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ \ alpha z ^ {- K} = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}} \,}

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ \ alpha z ^ {- K} = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}} \,}

care leagă intrarea de ieșire.

Răspunsul în frecvență

modulul de răspuns în frecvență al filtrului de avans al pieptenei pentru diferite valori de

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

pozitiv

modulul răspunsului în frecvență al pieptenei Filtru Feedforward pentru diferite valori de

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

negativ

Pentru a obține răspunsul în frecvență al unui semnal exprimat în domeniul transformării z procedăm cu următoarea substituire: $z=e^{j\omega }$ ${\ displaystyle z = e ^ {j \ omega}}$ $z = e ^ {{j \ omega}}$ . Așa că primim:

\ H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega K}\,

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = 1+ \ alpha e ^ {- j \ omega K} \,}

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = 1+ \ alpha e ^ {- j \ omega K} \,}

Folosind formula lui Euler obținem o reprezentare suplimentară a răspunsului în frecvență după cum urmează:

\ H(e^{j\omega })=\left[1+\alpha \cos(\omega K)\right]-j\alpha \sin(\omega K)\,

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = \ left [1+ \ alpha \ cos (\ omega K) \ right] -j \ alpha \ sin (\ omega K) \,}

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = \ left [1+ \ alpha \ cos (\ omega K) \ right] -j \ alpha \ sin (\ omega K) \,}

Este adesea interesant să luați în considerare forma , ignorând scena , după cum urmează:

\ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {\Re \{H(e^{j\omega })\}^{2}+\Im \{H(e^{j\omega })\}^{2}}}\,

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ sqrt {\ Re \ {H (e ^ {j \ omega}) \} ^ {2} + \ Im \ {H (e ^ {j \ omega}) \} ^ {2}}} \,}

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ sqrt {\ Re \ {H (e ^ {j \ omega}) \} ^ {2} + \ Im \ {H (e ^ {j \ omega}) \} ^ {2}}} \,}

care, în cazul unui filtru de pieptene, se exprimă după cum urmează:

\ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\,

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ sqrt {(1+ \ alpha ^ {2}) + 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}} \,}

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ sqrt {(1+ \ alpha ^ {2}) + 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}} \,}

Rețineți că termenul $(1+\alpha ^{2})$ ${\ displaystyle (1+ \ alpha ^ {2})}$ ${\ displaystyle (1+ \ alpha ^ {2})}$ este o constantă , în timp ce termenul $2\alpha \cos(\omega K)$ ${\ displaystyle 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}$ ${\ displaystyle 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}$ variază periodic. Deci, modulul filtrului de pieptene variază periodic .

Graficele din dreapta arată magnitudinea răspunsului în frecvență pentru diferite valori ale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ demonstrându-și periodicitatea.

Unele proprietăți importante sunt:

Modulul se descompune periodic la un minim local (în engleză cunoscut sub numele de notch ) și periodic crește înapoi la un maxim local (în engleză cunoscut sub numele de vârf ).
Nivelurile maxim și minim sunt întotdeauna echidistante de la 1.
Cand $\alpha =\pm 1$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ pm 1}$ minimul ia valoarea amplitudinii zero.
Maximul, pentru valori pozitive de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , coincide cu minimul pentru valorile negative ale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ si invers.

Interpretare polară

Mergând din nou pentru a observa funcția de transfer în domeniul Z:

\ H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}\,

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}} \,}

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}} \,}

putem vedea că numeratorul capătă o valoare zero atunci când $z^{K}=-\alpha$ ${\ displaystyle z ^ {K} = - \ alpha}$ ${\ displaystyle z ^ {K} = - \ alpha}$ . Aceasta are $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ soluții, separate în mod egal în jurul unui cerc în planul complex . Acestea sunt zerourile funcției de transfer. Numitorul este zero atunci când $z^{K}=0$ ${\ displaystyle z ^ {K} = 0}$ ${\ displaystyle z ^ {K} = 0}$ , primind $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ stâlpi pentru $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ . Acest lucru duce la graficele de poli și zerouri, cum ar fi următoarele:

Graficul de poli și zerouri ale unui filtru de alimentare înainte cu pieptene cu

K=8

{\ displaystyle K = 8}

{\ displaystyle K = 8}

Și

\alpha =0.5

{\ displaystyle \ alpha = 0,5}

{\ displaystyle \ alpha = 0,5}

Graficul de poli și zerouri ale unui filtru de alimentare înainte cu pieptene cu

K=8

{\ displaystyle K = 8}

{\ displaystyle K = 8}

Și

\alpha =-0.5

{\ displaystyle \ alpha = -0.5}

{\ displaystyle \ alpha = -0.5}

Filtru pieptene de feedback

Structura unui filtru de pieptene de feedback

Structura unui filtru de pieptene de feedback este prezentată în figura din dreapta. Filtrul este descris prin următoarea ecuație a diferenței :

\ y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]\,

{\ displaystyle \ y [n] = x [n] + \ alpha y [nK] \,}

{\ displaystyle \ y [n] = x [n] + \ alpha y [n-K] \,}

Dacă manipulați această ecuație astfel încât toți termenii din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt aduse din partea stângă și apoi se aplică transformarea z pentru a obține:

\ (1-\alpha z^{-K})Y(z)=X(z)\,

{\ displaystyle \ (1- \ alpha z ^ {- K}) Y (z) = X (z) \,}

{\ displaystyle \ (1- \ alpha z ^ {- K}) Y (z) = X (z) \,}

Funcția de transfer este deci:

\ H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}\,

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1} {1- \ alpha z ^ {- K}}} = {\ frac { z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}} \,}

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1} {1- \ alpha z ^ {- K}}} = {\ frac { z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}} \,}

Răspunsul în frecvență

Combinați modulul de răspuns în frecvență al filtrului cu feedback pentru diferite valori pozitive ale

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

Modul de răspuns de frecvență al filtrului pe pieptene cu feedback pentru diferite valori negative ale

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

Dacă se aplică înlocuirea $z=e^{j\omega }$ ${\ displaystyle z = e ^ {j \ omega}}$ $z = e ^ {{j \ omega}}$ în domeniul z la expresia referitoare la funcția de transfer a filtrului de pieptene obținem:

\ H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ omega K}}} \,}

{\ displaystyle \ H (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ omega K}}} \,}

Formularul este după cum urmează:

\ |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {(1+\alpha ^{2})-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ frac {1} {\ sqrt {(1+ \ alpha ^ {2}) - 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}} } \,}

{\ displaystyle \ | H (e ^ {j \ omega}) | = {\ frac {1} {\ sqrt {(1+ \ alpha ^ {2}) - 2 \ alpha \ cos (\ omega K)}} } \,}

Din nou, răspunsul este periodic așa cum se arată în graficele din dreapta. Filtrul de pieptene de feedback are câteva proprietăți cu filtrul de pieptene feedforward:

Răspunsul scade periodic la un minim local și crește înapoi la un maxim local.
Maximul, pentru valori pozitive de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ coincide cu minimul pentru valorile negative ale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ si invers.

Există totuși unele diferențe importante datorită faptului că modulul răspunsului în frecvență are un termen în numitor:

Nivelurile maxime și minime nu sunt echidistante de la 1.
Filtrul este stabil BIBO numai dacă $|\alpha |$ ${\ displaystyle | \ alpha |}$ ${\ displaystyle | \ alpha |}$ este mai puțin (nu mai puțin decât egal) decât 1. După cum se poate vedea din grafice dacă $|\alpha |$ ${\ displaystyle | \ alpha |}$ ${\ displaystyle | \ alpha |}$ crește amplitudinea maximului crește rapid.

Interpretare polară

Mergând din nou pentru a inspecta domeniul z al funcției de transfer a filtrului de pieptene de feedback:

\ H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}\,

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}} \,}

{\ displaystyle \ H (z) = {\ frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}} \,}

Numeratorul, de data aceasta, este zero pentru $z^{K}=0$ ${\ displaystyle z ^ {K} = 0}$ ${\ displaystyle z ^ {K} = 0}$ obtinerea $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ zerouri pentru $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ . Numitorul este zero de fiecare dată $z^{K}=\alpha$ ${\ displaystyle z ^ {K} = \ alpha}$ ${\ displaystyle z ^ {K} = \ alpha}$ . Aceasta are $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ soluții, distanțate în mod egal în jurul unui cerc în planul complex , polii funcției de transfer. Acest lucru duce la grafice de poli și zerouri, cum ar fi următoarele:

Diagrama zero-pol a unui filtru de pieptene de feedback cu

K=8

{\ displaystyle K = 8}

{\ displaystyle K = 8}

Și

\alpha =0.5

{\ displaystyle \ alpha = 0,5}

{\ displaystyle \ alpha = 0,5}

Diagrama zero-pol a unui filtru de pieptene de feedback cu

K=8

{\ displaystyle K = 8}

{\ displaystyle K = 8}

Și

\alpha =-0.5

{\ displaystyle \ alpha = -0.5}

{\ displaystyle \ alpha = -0.5}

Filtru pieptene continuu

Filtrul de pieptene din versiunea feedforward continuă poate fi rezumat prin următoarea formulă:

\ y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )\,

{\ displaystyle \ y (t) = x (t) + \ alpha x (t- \ tau) \,}

{\ displaystyle \ y (t) = x (t) + \ alpha x (t- \ tau) \,}

în timp ce versiunea cu feedback:

\ y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )\,

{\ displaystyle \ y (t) = x (t) + \ alpha y (t- \ tau) \,}

{\ displaystyle \ y (t) = x (t) + \ alpha y (t- \ tau) \,}

unde este $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ Este întârzierea ( întârzierea ) măsurată în secunde.

Răspunsul în frecvență este respectiv:

\ H(\omega )=1+\alpha e^{-j\omega \tau }\,

{\ displaystyle \ H (\ omega) = 1 + \ alpha e ^ {- j \ omega \ tau} \,}

{\ displaystyle \ H (\ omega) = 1 + \ alpha e ^ {- j \ omega \ tau} \,}

\ H(\omega )={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega \tau }}}\,

{\ displaystyle \ H (\ omega) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ omega \ tau}}} \,}

{\ displaystyle \ H (\ omega) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ omega \ tau}}} \,}

Versiunile în timp continuu au aceleași proprietăți ca și cele în timp discret.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre filtrul pieptene

Controlul autorității	GND ( DE ) 4262335-2

Portal muzical : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de muzică