Filtru Wiener

Filtrul Wiener este un filtru pentru procesarea semnalului bazat pe statistici , propus de Norbert Wiener în anii 1940 și publicat în 1949 .

Filtrul este acum realizat cu tehnici digitale , dar poate fi realizat și cu sisteme analogice, precum prototipul construit la MIT pe baza proiectului Wiener.

Descriere

În general, scopul unui filtru este de a elimina zgomotul prezent într-un semnal.

De obicei, filtrele sunt proiectate pentru un răspuns de frecvență foarte precis și pot opera separarea dintre semnal și zgomot, cu condiția ca acestea să ocupe benzi de frecvență diferite. Filtrul Wiener depășește această limitare abordând problema filtrării cu o abordare statistică . Se presupune că avem cunoștințe despre caracteristicile spectrale ale semnalului original și ale zgomotului și căutăm filtrul LTI a cărui ieșire este "cât mai aproape posibil" de semnalul original, indicând cu această expresie minimizarea unui parametru predeterminat măsură a erorii făcute în operațiune.

Filtrele Wiener se caracterizează prin următoarele caracteristici fereriene:

Ipoteze: semnalul și zgomotul aditiv, adică adăugat semnalului, sunt procese stocastice staționare și liniare cu caracteristici spectrale cunoscute sau cu autocorelație și corelație reciprocă cunoscute.
Condiții: filtrul trebuie să fie fezabil fizic, adică răspunsul său (efectul) nu poate preceda temporar intrarea (cauza). Fiind efectul după cauză, aceste filtre se mai numesc cauzale . Condiția de cauzalitate poate fi abandonată; în acest caz vorbim de filtre sau soluții, nu cauzale.
Criterii de performanță: minimizarea erorii pătrate medii .

Acest filtru este frecvent utilizat în procesul de deconvoluție ; pentru această utilizare a se vedea deconvoluția Wiener .

fundal

Filtrul a fost propus de Norbert Wiener în anii celui de-al doilea război mondial, pentru a răspunde nevoii guvernului SUA de a îmbunătăți capacitățile de tragere ale unui sistem de țintire antiaeriană , bazat pe utilizarea radarului . Viteza țintelor a pus noi probleme: sistemul trebuia neapărat să fie automatizat și trebuia să poată direcționa focul către poziția viitoare a aeronavei în momentul impactului, care trebuia estimat. Prin urmare, a fost necesară integrarea a două tehnologii diferite, cea a controalelor automate și cea a telecomunicațiilor , care au fost aplicate până acum în domenii diferite.

Analiza sistemelor automate de indicare l-a determinat pe Wiener să constate asemănarea, din punct de vedere funcțional, a comportamentului lor cu cele tipice ființelor vii, în desfășurarea activităților aparent menite să atingă un scop. Acești stimuli i-au sugerat lui Wiener definirea unei noi științe, cibernetica , care a studiat dintr-un punct de vedere matematic unitar comportamente comune atât sistemelor naturale, cât și celor artificiale ^[1] .

Sistemul de vizare a trebuit să proceseze semnalul radar primit, pentru a elimina zgomotul conținut în acesta și pentru a estima poziția viitoare a țintei. Operațiunii clasice de filtrare a semnalului (care nu putea fi bazată, în acest caz, pe separarea frecvențelor) a fost, prin urmare, adăugată o nouă nevoie de predicție a tendinței sale viitoare, pe baza istoriei sale trecute. Aceste două cazuri, aparent distincte, au fost înțelese de Wiener într-o singură teorie, pe care a dezvoltat-o trasând problema înapoi la o clasă de ecuații integrale pe care le studiase deja în 1931, în colaborare cu matematicianul și astrofizicianul austriac Eberhardt Hopf (1902 - 1983) ^[2] ^[3] . Primul document care descrie filtrul este din 1942, dar, din moment ce Wiener l-a dezvoltat pentru o aplicație militară, a fost clasificat și nu a putut circula până în 1949, când a fost permis să fie dezvăluit ^[4] .

În 1941, Andrey Kolmogorov a publicat o lucrare echivalentă cu privire la problema predicției, în cazul timpului discret ^[5] , extins ulterior la cazul timpului continuu de către matematicianul rus M. Krejn începând din 1944. La rândul său, Kolmogorov se bazase pe unele rezultatele statisticianului suedez H. Wold ^[6] . Cu toate acestea, Wiener a lucrat independent de aceste precedente, pe care nu le cunoștea. Din acest motiv, filtrul este adesea denumit filtrul Wiener - Kolmogorov .

Filtrul Wiener reprezintă primul exemplu de proiectare a unui dispozitiv de telecomunicații pe bază statistică; acestei alegeri și celei aproape contemporane a lui Shannon , care a dat o bază analogă teoriei sale informaționale , datorăm nașterea teoriei moderne a comunicării ca știință statistică.

După filtrul Wiener, au fost dezvoltate multe tehnici statistice de procesare a semnalului, inclusiv filtrul Kalman .

Setarea problemei

Se presupune că intrarea unui filtru Wiener este un semnal $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ modificat de un zgomot aditiv $n(t)$ ${\ displaystyle n (t)}$ ${\ displaystyle n (t)}$ . Ieșirea ${\hat {s}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ se calculează cu ajutorul filtrului $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ folosind următoarea convoluție :

{\hat {s}}(t)=g(t)*(s(t)+n(t))

{\ displaystyle {\ hat {s}} (t) = g (t) * (s (t) + n (t))}

{\ displaystyle {\ hat {s}} (t) = g (t) * (s (t) + n (t))}

unde simbolul „*” indică operația de convoluție și:

$s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ este semnalul original care trebuie reconstituit cât mai fidel posibil la ieșire
$n(t)$ ${\ displaystyle n (t)}$ ${\ displaystyle n (t)}$ este zgomotul
${\hat {s}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ este semnalul estimat la care sperăm să fie egal $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$
$g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ este filtrul Wiener

Greșeala este $e(t)=s(t+\alpha )-{\hat {s}}(t)$ ${\ displaystyle e (t) = s (t + \ alpha) - {\ hat {s}} (t)}$ ${\ displaystyle e (t) = s (t + \ alpha) - {\ hat {s}} (t)}$ în timp ce eroarea pătratică este $e^{2}(t)=s^{2}(t+\alpha )-2s(t+\alpha ){\hat {s}}(t)+{\hat {s}}^{2}(t)$ ${\ displaystyle e ^ {2} (t) = s ^ {2} (t + \ alpha) -2s (t + \ alpha) {\ hat {s}} (t) + {\ hat {s}} ^ {2} (t)}$ ${\ displaystyle e ^ {2} (t) = s ^ {2} (t + \ alpha) -2s (t + \ alpha) {\ hat {s}} (t) + {\ hat {s}} ^ {2} (t)}$ unde este

$s(t+\alpha )$ ${\ displaystyle s (t + \ alpha)}$ ${\ displaystyle s (t + \ alpha)}$ este ieșirea dorită a filtrului
$e(t)$ ${\ displaystyle e (t)}$ ${\ displaystyle e (t)}$ este greșeala

În funcție de valoarea lui α , se confruntă cu un tip diferit de problemă:

De sine $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ atunci problema se numește predicție
Dacă $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ atunci problema se numește filtrare
Dacă $\alpha <0$ ${\ displaystyle \ alpha <0}$ ${\ displaystyle \ alpha <0}$ atunci problema se numește netezire

Prin introducerea expresă a expresiei integralei de convoluție, ${\hat {s}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t)}$ poate fi scris ca: ${\hat {s}}(t)=g(t)*(s(t)+n(t))=\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau }$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t) = g (t) * (s (t) + n (t)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) \ left [s (t- \ tau) + n (t- \ tau) \ right] d \ tau}}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}} (t) = g (t) * (s (t) + n (t)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) \ left [s (t- \ tau) + n (t- \ tau) \ right] d \ tau}}$ .

și, prin urmare, valoarea așteptată a erorii pătratice va fi

E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x\,s}(\tau +\alpha )d\tau }+\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{x}(\tau -\theta )d\tau }d\theta }

{\ displaystyle E (e ^ {2}) = R_ {s} (0) -2 \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) R_ {x \, s} (\ tau + \ alpha) d \ tau} + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) g (\ theta) R_ {x } (\ tau - \ theta) d \ tau} d \ theta}}

{\ displaystyle E (e ^ {2}) = R_ {s} (0) -2 \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) R_ {x \, s} (\ tau + \ alpha) d \ tau} + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) g (\ theta) R_ {x } (\ tau - \ theta) d \ tau} d \ theta}}

unde este

$\,\!x(t)=s(t)+n(t)$ ${\ displaystyle \, \! x (t) = s (t) + n (t)}$ ${\ displaystyle \, \! x (t) = s (t) + n (t)}$
$\,\!R_{s}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {s}}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {s}}$ este funcția de autocorelare a $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$
$\,\!R_{x}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {x}}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {x}}$ este funcția de autocorelare a $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$
$R_{x\,s}$ ${\ displaystyle R_ {x \, s}}$ ${\ displaystyle R_ {x \, s}}$ este funcția de corelație reciprocă sau corelația încrucișată a $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ Și $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$

Acolo $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ optim este deci cel care minimizează $E(e^{2})$ ${\ displaystyle E (e ^ {2})}$ ${\ displaystyle E (e ^ {2})}$ .

Dacă semnalul $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ și zgomotul $n(t)$ ${\ displaystyle n (t)}$ ${\ displaystyle n (t)}$ sunt necorelate, adică corelația încrucișată este zero, expresia simplifică ca

$R_{x\,s}=R_{s}$ ${\ displaystyle R_ {x \, s} = R_ {s}}$ ${\ displaystyle R_ {x \, s} = R_ {s}}$
$\,\!R_{x}=R_{s}+R_{n}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {x} = R_ {s} + R_ {n}}$ ${\ displaystyle \, \! R_ {x} = R_ {s} + R_ {n}}$

Soluție staționară

Filtrul Wiener admite soluții pentru două cazuri posibile: cazul în care se dorește un filtru cauzal și cazul în care un filtru non-cauzal este acceptabil. Acesta din urmă este mai simplu, dar nu se pretează aplicațiilor în timp real. Scopul principal al lui Wiener a fost rezolvarea cazului în care condiția de cauzalitate era valabilă.

Soluție non-cauzală

G(s)={\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}(s)}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {S_ {x, s} (s) e ^ {\ alpha s}} {S_ {x} (s)}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {S_ {x, s} (s) e ^ {\ alpha s}} {S_ {x} (s)}}}

Dat fiind $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ este optim, atunci ecuația celei mai mici erori pătrate se reduce la $E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x,s}(\tau +\alpha )d\tau }$ ${\ displaystyle E (e ^ {2}) = R_ {s} (0) - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) R_ {x, s} (\ tau + \ alfa) d \ tau}}$ ${\ displaystyle E (e ^ {2}) = R_ {s} (0) - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {g (\ tau) R_ {x, s} (\ tau + \ alfa) d \ tau}}$

și soluția $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ este inversul transformatei Laplace pe două fețe a $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$ .

Soluție cauzală

G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {H (s)} {S_ {x} ^ {+} (s)}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {H (s)} {S_ {x} ^ {+} (s)}}}

Unde este

$H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ este partea cauzală a ${\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}^{-}(s)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {S_ {x, s} (s) e ^ {\ alpha s}} {S_ {x} ^ {-} (s)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {S_ {x, s} (s) e ^ {\ alpha s}} {S_ {x} ^ {-} (s)}}}$ (adică partea acestei fracții având o soluție de timp pozitivă prin transformare inversă Laplace)
$S_{x}^{+}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ este componenta cauzală a $S_{x}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ (de ex. transformata Laplace inversă a $S_{x}^{+}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ nu este nimic numai dacă $t\geq 0$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle t \ geq 0}$ )
$S_{x}^{-}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {-} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {-} (s)}$ este componenta anti cauzală a $S_{x}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ (de ex. transformata Laplace inversă $S_{x}^{-}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {-} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {-} (s)}$ nu este nul numai pentru t negativ)

Această expresie generală este complicată și are nevoie de o explicație mai detaliată. Pentru a obține soluția $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$ pentru un caz specific, trebuie urmați următorii pași: ^[7]

1. Începem de la spectru $S_{x}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} (s)}$ într-o formă rațională și este inclusă în componentele cauzale și anti-cauzale:

S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)

{\ displaystyle S_ {x} (s) = S_ {x} ^ {+} (s) S_ {x} ^ {-} (s)}

{\ displaystyle S_ {x} (s) = S_ {x} ^ {+} (s) S_ {x} ^ {-} (s)}

unde este $S^{+}$ ${\ displaystyle S ^ {+}}$ ${\ displaystyle S ^ {+}}$ conține toate zerourile și polii din jumătatea planului stâng (LHP) e $S^{-}$ ${\ displaystyle S ^ {-}}$ ${\ displaystyle S ^ {-}}$ conține zerouri și poli în jumătate de plan (RHP). Cele două jumătăți de plan la stânga și la dreapta originii sunt menite să fie jumătăți de dreapta și de stânga, deoarece linia verticală s = 0 este marginea celor două semiplane.

2. Se desparte $S_{x,s}(s)e^{\alpha s}$ ${\ displaystyle S_ {x, s} (s) și ^ {\ alpha s}}$ ${\ displaystyle S_ {x, s} (s) și ^ {\ alpha s}}$ pentru ${S_{x}^{-}(s)}$ ${\ displaystyle {S_ {x} ^ {-} (s)}}$ ${\ displaystyle {S_ {x} ^ {-} (s)}}$ extinde rezultatul în fracții parțiale.

3. Se selectează acei termeni ai expansiunii care au poli în semiplanul LHP, termeni indicați cu $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ .

4. Se desparte $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ pentru $S_{x}^{+}(s)$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {+} (s)}$ . Rezultatul este funcția de filtrare de transfer dorită $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$

Filtru Wiener FIR pentru serii discrete

Pentru a obține coeficienții filtrului Wiener considerăm un semnal w [n] trecut la un filtru Wiener de ordinul N cu coeficienți $a_{i},i=0,\ldots ,N$ ${\ displaystyle a_ {i}, i = 0, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle a_ {i}, i = 0, \ ldots, N}$ . Ieșirea filtrului, notată cu x [n] , este dată de expresie

$x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]$ ${\ displaystyle x [n] = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [ni]}$ ${\ displaystyle x [n] = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [n-i]}$

Eroarea reziduală este notată cu e [n] și definită ca e [n] = x [n] -s [n] (Vezi diagrama bloc corespunzătoare). Filtrul Wiener este proiectat în așa fel încât să minimizeze abaterea standard (criteriul MMSE), scris concis după cum urmează:

$a_{i}=arg.min~E\{e^{2}[n]\}$ ${\ displaystyle a_ {i} = arg.min ~ E \ {e ^ {2} [n] \}}$ ${\ displaystyle a_ {i} = arg.min ~ E \ {e ^ {2} [n] \}}$

unde este $E\{.\}$ ${\ displaystyle E \ {. \}}$ ${\ displaystyle E \ {. \}}$ indică operatorul de valoare așteptată. În general coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ acestea trebuie să fie complexe și pot fi derivate chiar dacă w [n] și s [n] sunt complexe. Pentru simplitate, luăm în considerare doar cazul în care toate aceste cantități sunt reale. Abaterea standard poate fi rescrisă ca:

${\begin{array}{rcl}E\{e^{2}[n]\}&=&E\{(x[n]-s[n])^{2}\}\\&=&E\{x^{2}[n]\}+E\{s^{2}[n]\}-2E\{x[n]s[n]\}\\&=&E\{{\big (}\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]{\big )}^{2}\}+E\{w^{2}[n]\}-2E\{\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\}\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} E \ {e ^ {2} [n] \} & = & E \ {(x [n] -s [n]) ^ {2} \} \\ & = & E \ {x ^ {2} [n] \} + E \ {s ^ {2} [n] \} - 2E \ {x [n] s [n] \} \\ & = & E \ {{\ big (} \ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [ni] {\ big)} ^ {2} \} + E \ {w ^ {2} [n] \} - 2E \ {\ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [ni] s [n] \} \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} E \ {e ^ {2} [n] \} & = & E \ {(x [n] -s [n]) ^ {2} \} \\ & = & E \ {x ^ {2} [n] \} + E \ {s ^ {2} [n] \} - 2E \ {x [n] s [n] \} \\ & = & E \ {{\ big (} \ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [ni] {\ big)} ^ {2} \} + E \ {w ^ {2} [n] \} - 2E \ {\ sum _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} w [ni] s [n] \} \ end {array}}}$

Pentru a găsi vectorul $[a_{0},\ldots ,a_{N}]$ ${\ displaystyle [a_ {0}, \ ldots, a_ {N}]}$ ${\ displaystyle [a_ {0}, \ ldots, a_ {N}]}$ care minimizează expresia de mai sus, se calculează derivata sa în raport cu coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$

${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\{e^{2}[n]\}&=&2E\{{\big (}\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]{\big )}w[n-i]\}-2E\{s[n]w[n-i]\}\quad i=0,\ldots ,N\\&=&2\sum _{j=0}^{N}E\{w[n-j]w[n-i]\}a_{j}-2E\{w[n-i]s[n]\}\end{array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial} {\ partial a_ {i}}} E \ {e ^ {2} [n] \} & = & 2E \ {{\ big (} \ sum _ {j = 0} ^ {N} a_ {j} w [nj] {\ big)} w [ni] \} - 2E \ {s [n] w [ni] \} \ quad i = 0, \ ldots, N \\ & = & 2 \ sum _ {j = 0} ^ {N} E \ {w [nj] w [ni] \} a_ {j} -2E \ {w [ni] s [n] \} \ end {array}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial} {\ partial a_ {i}}} E \ {e ^ {2} [n] \} & = & 2E \ {{\ big (} \ sum _ {j = 0} ^ {N} a_ {j} w [nj] {\ big)} w [ni] \} - 2E \ {s [n] w [ni] \} \ quad i = 0, \ ldots, N \\ & = & 2 \ sum _ {j = 0} ^ {N} E \ {w [nj] w [ni] \} a_ {j} -2E \ {w [ni] s [n] \} \ end {array}}}$

Dacă ai presupune că w [n] și s [n] staționare, se pot introduce următoarele secvențe $R_{w}[m]~{\textit {and}}~R_{ws}[m]$ ${\ displaystyle R_ {w} [m] ~ {\ textit {și}} ~ R_ {ws} [m]}$ ${\ displaystyle R_ {w} [m] ~ {\ textit {și}} ~ R_ {ws} [m]}$ , respectiv cunoscută sub numele de autocorelație a lui w [n] și corelația încrucișată între w [n] și s [n], definită după cum urmează

$R_{w}[m]=E\{w[n]w[n+m]\}\quad {\textit {and}}\quad R_{ws}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}$ ${\ displaystyle R_ {w} [m] = E \ {w [n] w [n + m] \} \ quad {\ textit {and}} \ quad R_ {ws} [m] = E \ {w [ n] s [n + m] \}}$ ${\ displaystyle R_ {w} [m] = E \ {w [n] w [n + m] \} \ quad {\ textit {and}} \ quad R_ {ws} [m] = E \ {w [ n] s [n + m] \}}$

Prin urmare, derivatul MSE poate fi rescris ca (rețineți că $R_{ws}[-i]=R_{sw}[i]$ ${\ displaystyle R_ {ws} [- i] = R_ {sw} [i]}$ ${\ displaystyle R_ {ws} [- i] = R_ {sw} [i]}$ )

${\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\{e^{2}[n]\}=2\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}-2R_{sw}[i]\quad i=0,\ldots ,N$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial a_ {i}}} E \ {e ^ {2} [n] \} = 2 \ sum _ {j = 0} ^ {N} R_ {w} [ji] a_ {j} -2R_ {sw} [i] \ quad i = 0, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial a_ {i}}} E \ {e ^ {2} [n] \} = 2 \ sum _ {j = 0} ^ {N} R_ {w} [ji] a_ {j} -2R_ {sw} [i] \ quad i = 0, \ ldots, N}$

Impunând derivata egală cu zero obținem

$\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{sw}[i]\quad i=0,\ldots ,N$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {N} R_ {w} [ji] a_ {j} = R_ {sw} [i] \ quad i = 0, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {N} R_ {w} [j-i] a_ {j} = R_ {sw} [i] \ quad i = 0, \ ldots, N}$

care poate fi rescris sub formă de matrice

${\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{sw}[0]\\R_{sw}[1]\\\vdots \\R_{sw}[N]\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} R_ {w} [0] & R_ {w} [1] & \ cdots & R_ {w} [N] \\ R_ {w} [1] & R_ {w} [ 0] & \ cdots & R_ {w} [N-1] \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ R_ {w} [N] & R_ {w} [N-1] & \ cdots & R_ {w} [0] \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {N} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} R_ {sw} [0] \\ R_ {sw} [1] \\\ vdots \\ R_ {sw} [N] \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} R_ {w} [0] & R_ {w} [1] & \ cdots & R_ {w} [N] \\ R_ {w} [1] & R_ {w} [ 0] & \ cdots & R_ {w} [N-1] \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ R_ {w} [N] & R_ {w} [N-1] & \ cdots & R_ {w} [0] \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {N} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} R_ {sw} [0] \\ R_ {sw} [1] \\\ vdots \\ R_ {sw} [N] \ end {bmatrix}}}$

Aceste ecuații sunt cunoscute sub numele de ecuații Wiener-Hopf. Matricea care apare în ecuație este o matrice Toeplitz simetrică. Aceste matrice sunt definite pozitive și, prin urmare, nu sunt singulare, deci există o singură soluție în determinarea coeficienților filtrului Wiener. Mai mult, există un algoritm eficient pentru rezolvarea ecuațiilor Wiener-Hopf cunoscut sub numele de algoritmul Levinson-Durbin ^[8] .

Filtru Wiener pentru recunoașterea Pile Up

Filtrul Wiener este, de asemenea, foarte util în domeniul recunoașterii semnalului, în special Pile Up (suprapunerea a două semnale în aceeași fereastră de timp). Așa se exprimă funcția de transfer a filtrului.

Să presupunem că avem un sistem cu un răspuns r (t) la semnalul unității și un semnal necorupt u (t) la intrare (ex: $\delta (t-t_{0})$ ${\ displaystyle \ delta (t-t_ {0})}$ ${\ displaystyle \ delta (t-t_ {0})}$ ). Ieșirea s (t) a sistemului va fi deci o convoluție între funcția de răspuns și semnalul de intrare u (t):

$s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{r(\tau )u(t-\tau )d\tau }$ ${\ displaystyle s (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {r (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau}}$ ${\ displaystyle s (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {r (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau}}$

care în domeniul Fourier este pur și simplu redus la $s(\omega )=r(\omega )u(\omega )$ ${\ displaystyle s (\ omega) = r (\ omega) u (\ omega)}$ ${\ displaystyle s (\ omega) = r (\ omega) u (\ omega)}$ .

Cu toate acestea, în cazul real, ieșirea sistemului va fi un semnal deteriorat c (t) = s (t) + n (t). Acolo $u(\omega )$ ${\ displaystyle u (\ omega)}$ ${\ displaystyle u (\ omega)}$ în acest caz vor fi:

$u(\omega )={\frac {c(\omega )}{r(\omega )}}$ ${\ displaystyle u (\ omega) = {\ frac {c (\ omega)} {r (\ omega)}}}$ ${\ displaystyle u (\ omega) = {\ frac {c (\ omega)} {r (\ omega)}}}$

Scopul filtrului Wiener este de a găsi un filtru $H(\omega )$ ${\ displaystyle H (\ omega)}$ $H (\ omega)$ astfel încât să se aplice:

$u'(\omega )={\frac {c(\omega )H(\omega )}{r(\omega )}}$ ${\ displaystyle u '(\ omega) = {\ frac {c (\ omega) H (\ omega)} {r (\ omega)}}}$ ${\ displaystyle u '(\ omega) = {\ frac {c (\ omega) H (\ omega)} {r (\ omega)}}}$

unde este $u'(\omega )$ ${\ displaystyle u '(\ omega)}$ ${\ displaystyle u '(\ omega)}$ este cea mai bună estimare a $u(\omega )$ ${\ displaystyle u (\ omega)}$ ${\ displaystyle u (\ omega)}$ , adică $H(\omega )$ ${\ displaystyle H (\ omega)}$ $H (\ omega)$ minimizează diferența pătratică dintre U și U '. În formule este echivalent cu minimizarea

$L(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|u'(\omega )-u(\omega )\right|^{2}d\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|{\frac {c(\omega )H(\omega )}{r(\omega )}}-{\frac {s(\omega )}{r(\omega )}}\right|^{2}d\omega }$ ${\ displaystyle L (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ left | u '(\ omega) -u (\ omega) \ right | ^ {2} d \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ left | {\ frac {c (\ omega) H (\ omega)} {r (\ omega)}} - {\ frac {s (\ omega)} {r (\ omega)}} \ right | ^ {2} d \ omega}}$ ${\ displaystyle L (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ left | u '(\ omega) -u (\ omega) \ right | ^ {2} d \ omega} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ left | {\ frac {c (\ omega) H (\ omega)} {r (\ omega)}} - {\ frac {s (\ omega)} {r (\ omega)}} \ right | ^ {2} d \ omega}}$

Rezolvarea $dL/dH=0$ ${\ displaystyle dL / dH = 0}$ ${\ displaystyle dL / dH = 0}$ obțineți expresia pe care o căutați:

$H(\omega )={\frac {|s(\omega )|^{2}}{|s(\omega )|^{2}+|n(\omega )|^{2}}}$ ${\ displaystyle H (\ omega) = {\ frac {| s (\ omega) | ^ {2}} {| s (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2}} }}$ ${\ displaystyle H (\ omega) = {\ frac {| s (\ omega) | ^ {2}} {| s (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2}} }}$

Dacă considerăm u (t) ca o deltă, expresia simplifică:

$H(\omega )={\frac {r^{*}(\omega )}{|r(\omega )|^{2}+|n(\omega )|^{2}}}\qquad u'(\omega )={\frac {c(\omega )r^{*}(\omega )}{|r(\omega )|^{2}+|n(\omega )|^{2}}}$ ${\ displaystyle H (\ omega) = {\ frac {r ^ {*} (\ omega)} {| r (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2}}} \ qquad u '(\ omega) = {\ frac {c (\ omega) r ^ {*} (\ omega)} {| r (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2 }}}}$ ${\ displaystyle H (\ omega) = {\ frac {r ^ {*} (\ omega)} {| r (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2}}} \ qquad u '(\ omega) = {\ frac {c (\ omega) r ^ {*} (\ omega)} {| r (\ omega) | ^ {2} + | n (\ omega) | ^ {2 }}}}$

Acest filtru poate fi foarte util în căutarea semnalelor, ca de exemplu într-un algoritm de declanșare sau în recunoașterea tiparului, deoarece U 'extrapolat reprezintă o deltă, deci este ușor de recunoscut.

Notă

^ Wiener 1949 .
^ Eberhardt Hopf on Enciclopedia Treccani online
^ PR Masani, Norbert Wiener 1894 - 1964 , 1990, Bikhausen Verlag, ISBN 0-8176-2246-2
^ Wiener 1949 .
^ Kolmogorov 1941 .
^ Kailath 1974 .
^ Universitatea din California de Sud, LLoyd R. Welch: Teoria Wiener Hopf ( PDF ), pe csi.usc.edu . Adus la 10 martie 2007 (arhivat din original la 20 septembrie 2006) .
^ Kailath 1974 , p. 159 și următoarele

Bibliografie

Thomas Kailath, O vedere a celor trei decenii ale teoriei filtrării liniare , IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. IT-20, NR. 2, MARTIE 1974
AN Kolmogorov, Secvențe staționare în spații Hilbert , (în rusă), Bull. Univ. Moscova 1941 vol.2 n.6 1-40; apoi tradus în engleză în Kailath T. (editat de) Estimarea liniară a celor mai mici pătrate Dowden, Hutchinson & Ross 1977
N. Wiener, Extrapolare, interpolare și netezire a seriei temporare staționare . New York: John Wiley & Sons, 1949, ISBN 0-262-73005-7
Brown, Robert Grover și Patrick YC Hwang, Introducere în semnale aleatorii și filtrare aplicată Kalman , ediția a treia, 1996, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-12839-2

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Wiener 1949 .

[2] Eberhardt Hopf on Enciclopedia Treccani online

[3] PR Masani, Norbert Wiener 1894 - 1964 , 1990, Bikhausen Verlag, ISBN 0-8176-2246-2

[4] Wiener 1949 .

[5] Kolmogorov 1941 .

[6] Kailath 1974 .

[7] Universitatea din California de Sud, LLoyd R. Welch: Teoria Wiener Hopf ( PDF ), pe csi.usc.edu . Adus la 10 martie 2007 (arhivat din original la 20 septembrie 2006) .

[8] Kailath 1974 , p. 159 și următoarele

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]