Filtru de imagine compus

Un filtru de imagine compus sau un filtru de imagine mixt este un filtru electronic format din mai multe secțiuni de filtru de imagine de două sau mai multe tipuri diferite.

Metoda imaginii pentru proiectarea filtrelor determină proprietățile secțiunilor de filtrare prin calcularea proprietăților pe care le au într-un lanț infinit al acelor secțiuni. Procedând astfel, analiza prezintă asemănări cu teoria liniilor de transmisie de la care își ia indicii. Filtrele proiectate cu această metodă se numesc filtre de parametri de imagine sau doar filtre de imagine . Un parametru important al filtrelor de imagine este impedanța lor de imagine , impedanța unui lanț infinit de secțiuni identice.

Secțiunile de bază sunt aranjate într-o rețea de scări de diferite secțiuni, numărul secțiunilor necesare este determinat în principal de valoarea necesară a respingerii benzii care trebuie eliminată. În forma sa cea mai simplă, filtrul poate consta în întregime din secțiuni identice. Cu toate acestea, este mai frecvent să utilizați un filtru format din două sau trei tipuri diferite de secțiuni pentru a îmbunătăți diferiții parametri, utilizând un anumit tip care le permite să fie abordate în cel mai bun mod posibil. Cei mai frecvenți parametri luați în considerare sunt respingerea benzii de eliminat, viteza benzii de tranziție a filtrului (înțeleasă ca un interval de frecvențe care dau naștere unei tranziții între o bandă de trecere și o bandă eliminată) și adaptarea impedanței la terminările filtrului .

Filtrele de imagine sunt filtre liniare și sunt inevitabil și pasive în implementare.

Istorie

Metoda de imagine a proiectării filtrelor a apărut la AT&T , care a fost interesată de dezvoltarea tehnicilor de filtrare care ar putea fi utilizate cu multiplexarea multor canale telefonice pe un singur cablu. Cercetătorii implicați în această lucrare și contribuțiile lor sunt enumerate pe scurt mai jos:

John Carson a oferit baza matematică a teoriei. El a conceput o modulație cu bandă laterală unică pentru a obține multiplexarea canalelor telefonice. Nevoia de a recupera aceste semnale a dat naștere nevoii de tehnici avansate de filtrare. De asemenea, a fost pionier în utilizarea calculului operațional (ceea ce a devenit acum transformarea Laplace în forma sa matematică mai formală) pentru a analiza aceste semnale. ^[1]
George Campbell a lucrat la tehnicile de filmare din 1910 și a conceput filtrul k constant . ^[2] Aceasta poate fi văzută ca o continuare a muncii sale privind bobinele de încărcare pe liniile de transmisie , un concept conceput de Oliver Heaviside . De altfel, Heaviside a conceput și calculul operațional folosit de Carson.
Otto Zobel a furnizat o bază teoretică (și un nume) pentru filtrele lui Campbell. În 1920 a conceput filtrul derivat din m . Zobel a publicat, de asemenea, modele mixte care încorporează secțiuni de ambele tipuri: o constantă k și derivată m. ^[3]
RS Hoyt a contribuit și el. ^[4] ^[5]

Metoda imaginii

Același subiect în detaliu: Impedanța imaginii .

Analiza cu metoda imaginii începe cu un calcul al impedanțelor de intrare și ieșire (impedanțele imaginii) și funcția de transfer a secțiunii într-un lanț infinit de secțiuni identice. Se poate arăta că o secțiune terminată în impedanțele sale de imagine are o performanță echivalentă. ^[6] Prin urmare, metoda imaginii se bazează pe fiecare secțiune a filtrului terminată cu impedanța corectă a imaginii. Acest lucru este destul de ușor de făcut cu secțiunile interne ale unui filtru cu mai multe secțiuni, deoarece trebuie doar să vă asigurați că secțiunile adiacente celei în cauză, conectate la intrare și ieșire, au impedanțe de imagine identice. Cu toate acestea, secțiunile finale reprezintă o problemă. Acestea sunt de obicei terminate cu rezistențe fixe la care filtrul nu poate fi perfect adaptat decât la o frecvență specifică. Această nepotrivire duce la reflexii multiple la terminările filtrului și la joncțiunile dintre secțiuni. Aceste reflecții fac ca răspunsul filtrului să se abată destul de brusc de cel teoretic, în special în apropierea frecvenței de întrerupere. ^[7]

Cerința unei potriviri mai bune pentru impedanțele finale este unul dintre principalele motive pentru utilizarea filtrelor mixte. La capete se folosește o secțiune concepută pentru a se potrivi bine, dar pentru corpul filtrului, proiectarea se bazează pe altceva (de exemplu, respingerea benzii de eliminat sau trecerea de la banda de trecere la bandă de eliminat).

Tipuri de secțiuni de filtrare

Fiecare tip de secțiune de filtru are avantaje și dezavantaje particulare și fiecare oferă posibilitatea de a îmbunătăți parametrii de filtru anumiți. Secțiunile descrise mai jos sunt filtre prototip pentru secțiunile low-pass . Aceste prototipuri pot fi scalate și procesate la forma dorită a benzii de frecvență (low-pass, high-pass , band-pass sau band-stop ).

Cea mai mică unitate a unui filtru de imagine este o secțiune L. Deoarece secțiunea L nu este simetrică, are impedanțe diferite ale imaginii ( $\scriptstyle Z_{\mathrm {i} }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i}}}$ ) de fiecare parte. Acestea sunt indicate cu $\scriptstyle Z_{\mathrm {iT} }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT}}}$ Și $\scriptstyle Z_{\mathrm {i\Pi } }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi}}}$ . T și Π ( pi ' ) din indice se referă la forma secțiunii de filtru care s-ar forma dacă două jumătăți de secțiuni ar fi conectate înapoi în spate . Secțiunile T și Π sunt cele mai mici secțiuni simetrice care pot fi construite, așa cum se arată în diagramele din graficul diferitelor topologii (vezi mai jos). În cazul în care secțiunea în cauză are o impedanță a imaginii diferită de cazul general, se adaugă un indice suplimentar care identifică tipul de secțiune, de exemplu $\scriptstyle Z_{\mathrm {iT} m}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT} m}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT} m}}$ .

Secțiuni de filtrare a imaginilor

Dezechilibrat
Demi-secțiune în formă de L	Secțiunea T	Secțiunea a Π ( pi )

Rețea scară

Echilibrat
Jumătate de secțiune până la C.	Secțiunea H		Secțiunea cutie

Rețea scară

Secțiunea X (Sucursala centrală T) (Cele două ramuri Y au un capăt în comun ca ramurile laterale ale unui T culcat)		Secțiunea X (derivată centrală Π) (Cele două ramuri Y sunt paralele ca ramurile laterale ale unui culcat Π)

NB	Manualele și diagramele de proiectare arată de obicei implementări dezechilibrate, dar în domeniul telecomunicațiilor este adesea necesar să se convertească proiectarea într-o implementare echilibrată atunci când este utilizată cu linii echilibrate .	modificare

Secțiunea constantă k

Același subiect în detaliu: Filtru k constant .

Constantă k sau k secțiunea de filtrare de tip este secțiunea de bază de filtrare a imaginii. De asemenea, reprezintă cea mai simplă topologie a circuitului. Tipul k are o tranziție moderată rapidă de la banda de trecere la banda de eliminare și o respingere moderată a benzii de eliminare.

Semi-secțiune a filtrului trece-jos de tip k
Răspuns de trecere de tip K, o jumătate de secțiune
Răspuns de trecere de tip K cu patru (semi) secțiuni

Secțiune derivată din M

Același subiect în detaliu: filtru derivat din m .

Secțiunea de filtru derivată de m sau de tip m este o dezvoltare a secțiunii de tip k. Cea mai importantă caracteristică a tipului m este un pol de atenuare chiar dincolo de frecvența de tăiere din banda eliminată. Parametrul m (0 < m <1) reglează poziția acestui pol de atenuare. Valorile mai mici de m aduc polul mai aproape de frecvența de tăiere. Valorile mai mari decât m îl îndepărtează mai mult. În limită, pe măsură ce m tinde spre unitate, polul tinde spre ω care merge la infinit, iar secțiunea tinde spre o secțiune de tip k.

Tipul m are o tăiere deosebit de rapidă, variind de la trecerea completă la frecvența de întrerupere până la eliminarea completă la frecvența polului. Tăierea poate fi făcută mai rapid prin apropierea stâlpului de frecvența de tăiere. Acest filtru are cea mai rapidă tăiere decât orice alt design de filtru; trebuie remarcat faptul că tranziția rapidă se realizează cu o singură secțiune, nu sunt necesare mai multe secțiuni. Dezavantajul cu secțiunile de tip m este că au o respingere slabă a benzii pentru a fi eliminate dincolo de polul de atenuare.

Există o proprietate deosebit de utilă a filtrelor de tip m cu m = 0,6. Acestea au o impedanță a imaginii $\scriptstyle Z_{\mathrm {i} m}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} m}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} m}}$ cu un curs extrem de plat în banda de trecere. Prin urmare, acestea sunt potrivite pentru potrivirea impedanței cu terminările filtrului, cel puțin în banda de trecere, în timp ce pentru banda eliminată este diferit.

Există două variante ale secțiunii de tip m, seria și șuntul . Au funcții de transfer identice, dar impedanțele lor de imagine sunt diferite. Semisecțiunea în șunt are o impedanță de imagine care se potrivește $\scriptstyle Z_{\mathrm {i\Pi } }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi}}}$ pe o parte, dar are o impedanță diferită, $\scriptstyle Z_{\mathrm {iT} m}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT} m}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT} m}}$ de cealaltă parte. Semi-secțiunea din serie se potrivește $\scriptstyle Z_{\mathrm {iT} }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {iT}}}$ pe o parte și are $\scriptstyle Z_{\mathrm {i\Pi } m}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi} m}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i \ Pi} m}}$ pe de altă parte.

Filtru trece-jos de tip M, jumătate de secțiune de șunt
Răspuns de trecere de tip M, o jumătate de secțiune cu m = 0,5
Răspuns de trecere de tip M cu patru secțiuni (jumătate) cu m = 0,5
Filtru trece jos tip m, jumătate secțiune în serie
Răspuns de trecere de tip M, o jumătate de secțiune cu m = 0,75
Răspuns de trecere de tip M, jumătate de secțiune simplă cu m = 0,25

Tipul secțiunii mm '

Același subiect în detaliu: Filtru de tip mm ' .

Secțiunea de tip mm ' are doi parametri independenți ( m și m ') pe care proiectantul îi poate regla corespunzător. Acest lucru se realizează cu o dublă aplicare a procesului de derivare a m . Principalul său avantaj este că este mai bine adaptat la terminațiile rezistive decât tipul k sau tipul m. Impedanța de imagine a unei jumătăți de secțiune este $\scriptstyle Z_{\mathrm {i} m}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} m}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} m}}$ pe o parte și o impedanță diferită, $\scriptstyle Z_{\mathrm {i} mm'}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} mm '}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle Z _ {\ mathrm {i} mm '}}$ pe de altă parte. La fel ca tipul m, această secțiune poate fi construită ca o secțiune de serie sau de șunt, iar impedanțele imaginii vor da variantele T și Π (pi). O construcție de serie se aplică unui tip m de șunt sau o construcție de șunt se aplică unui tip m de serie. Avantajele filtrului de tip mm sunt obținute în detrimentul unei complexități mai mari a circuitului, astfel încât acesta este utilizat în mod normal numai acolo unde este necesar în scopuri de potrivire a impedanței și nu în corpul filtrului.

Funcția de transfer a unui tip mm 'este aceeași cu cea a unui tip m cu m setat egal cu produsul mm '. Alegerea valorilor m și m 'pentru cea mai bună potrivire de impedanță necesită proiectantului să aleagă două frecvențe la care potrivirea trebuie să fie exactă, în timp ce la alte frecvențe va exista o anumită abatere. Prin urmare, există o marjă de manevră în alegere, dar Zobel sugerează ^[8] valorile m = 0,7230 și m '= 0,4134 care dau o abatere de impedanță mai mică de 2% în partea utilă a benzii. Deoarece mm '= 0,3, această secțiune va avea, de asemenea, o tăiere mult mai rapidă decât un tip m cu m = 0,6, care este o alternativă pentru potrivirea impedanței.

Este posibil să continuați procesul de derivare m în mod repetat și să produceți tipuri mm'm și așa mai departe. Cu toate acestea, îmbunătățirile obținute se diminuează cu fiecare iterație și de obicei nu merită implementate, având în vedere complexitatea crescută.

Filtru trece-jos tip mm ', jumătate de secțiune în serie
Răspuns de trecere de tip M, o jumătate de secțiune cu m = 0,6
Răspuns de trecere de tip mm ', jumătate de secțiune simplă cu mm ' = 0,3

Filtru Bode

O versiune a filtrului Bode ca filtru trece jos.

O altă variantă a filtrului de tip m a fost descrisă de Hendrik Bode . Acest filtru folosește un filtru derivat de m intercalat în serie ca prototip și îl transformă într-o topologie de pod T cu adăugarea unui rezistor de punte. Această secțiune are avantajul de a putea plasa polul de atenuare mult mai aproape de frecvența de întrerupere decât filtrul Zobel, care începe să funcționeze defectuos cu valori foarte mici de m datorită rezistenței inductorului. Consultați articolul pentru transformări de impedanță echivalente pentru o explicație a funcționării sale. ^[9]

Rețeaua Zobel

Același subiect în detaliu: Zobel Network .

Caracteristica distinctivă a filtrelor de rețea Zobel este că au o impedanță constantă a imaginii și din acest motiv sunt cunoscute și sub numele de rețele de rezistență constantă . În mod clar, filtrul mesh Zobel nu are nicio problemă de potrivire cu terminările sale și acesta este principalul său avantaj. Cu toate acestea, alte tipuri de filtre au funcții de transfer mai abrupte și tăieri mai clare. În aplicațiile de filtrare, rolul principal al rețelelor Zobel este ca filtrele de egalizare . Rețelele Zobel fac parte dintr-un grup diferit față de alte filtre de imagine. Rezistența constantă înseamnă că, atunci când este utilizat în combinație cu alte secțiuni ale filtrelor de imagine, apare aceeași problemă de potrivire ca și la terminările de la capete. Rețelele Zobel au, de asemenea, dezavantajul de a utiliza mai multe componente decât alte secțiuni de imagine echivalente.

Rețea Zobel, secțiune T-bridge high-pass
Rețea Zobel, răspuns de trecere joasă cu o singură secțiune
Rețea Zobel, răspuns low pass cu cinci secțiuni

Efectul terminărilor la capete

Același subiect în detaliu: Finalele de la capetele unui filtru de imagine .

O consecință a metodei imaginii pentru proiectarea filtrului este că efectul terminărilor la capete trebuie calculat separat dacă trebuie luate în considerare efectele asupra răspunsului. Cea mai severă abatere a răspunsului față de cea așteptată apare în banda de trecere de lângă tăiere. Motivul pentru aceasta este dublu. Mai târziu, în banda de trecere, potrivirea impedanței se îmbunătățește progresiv, limitând astfel eroarea. Pe de altă parte, undele din banda eliminată sunt reflectate de la terminare până la sfârșit din cauza nepotrivirii, dar sunt atenuate de două ori prin respingerea benzii eliminate a filtrului pe măsură ce trec prin el. Astfel, nepotrivirea impedanței în timp ce se află în banda suprimată poate fi severă, are doar un efect limitat asupra răspunsului filtrului.

Răspuns teoretic (de două jumătăți de secțiune) al unui filtru T trece-jos de tip k atunci când este terminat corect cu impedanță de imagine
Răspuns real (de două jumătăți de secțiune) al unui filtru T de tip k de trecere joasă atunci când este terminat cu rezistențe atașate

Secțiuni în cascadă

Mai multe jumătăți în formă de L pot fi în cascadă pentru a forma un filtru compus. Cea mai importantă regulă la construirea unui filtru de imagine compozit este că impedanțele imaginii trebuie să fie întotdeauna conectate la impedanțe adiacente identice; totul trebuie să fie întotdeauna conectat la așa ceva. Secțiunile T trebuie să fie întotdeauna conectate la alte secțiuni T adiacente, secțiunile Π (pi) trebuie conectate întotdeauna la alte secțiuni adjacent adiacente, tipul k trebuie conectat întotdeauna la un tip adiacent k (sau o parte a unui tip m care are impedanța de tip k) și tipul m trebuie conectat întotdeauna de tipul adiacent m. Mai mult, impedanțele de tip m cu valori diferite de m nu pot fi conectate între ele pentru a fi adiacente. Nu pot nici măcar secțiuni de orice tip care au valori diferite ale frecvenței de tăiere.

Secțiunile de la începutul și sfârșitul filtrului sunt adesea alese în funcție de impedanța lor cu potrivirile, mai degrabă decât de forma răspunsului lor în frecvență. În acest scop, secțiunile de tip m cu m = 0,6 sunt cea mai comună alegere. ^[10] O alternativă este reprezentată de secțiunile de tip mm 'cu m = 0,7230 și m ' = 0,4134, deși acest tip de secțiune este rar utilizat. Deși are mai multe avantaje indicate mai jos, are dezavantajul de a fi mai complex și, de asemenea, dezavantajul că, dacă secțiunile cu constantă k sunt necesare în corpul filtrului, atunci este necesar să se includă secțiuni de tip m pentru a interfața cu cele de tip mm 'cu cele de tip k. ^[11]

Secțiunile interne ale filtrului, în majoritatea cazurilor, sunt alese ca fiind constante k, deoarece aceste secțiuni produc cea mai mare atenuare în banda de eliminat. Cu toate acestea, ar putea fi mai bine să includeți, de asemenea, una sau două secțiuni de tip m pentru a îmbunătăți viteza de scădere în tranziția de la banda de trecere la banda de eliminat. Pentru secțiunile de tip m utilizate în acest scop se alege o valoare mică de m. Cu cât valoarea lui m este mai mică, cu atât tranziția este mai rapidă, în timp ce în același timp scade atenuarea benzii de eliminat, crescând necesitatea de a utiliza și secțiuni de tip k suplimentare. Un avantaj al folosirii secțiunilor de tip mm pentru potrivirea impedanței este că acest tip de secțiuni terminale vor avea în continuare o tranziție rapidă (mult mai mult decât tipul m cu m = 0,6), deoarece pentru potrivirea impedanței mm '= 0,3. Prin urmare, nu mai este nevoie de secțiuni în corpul filtrului pentru a face acest lucru.

Exemplu tipic de filtru de imagine compozit sub forma unei diagrame bloc. Impedanțele imaginii sunt afișate și cum sunt potrivite.

Același filtru văzut mai sus a fost făcut ca un filtru trece-jos pe scară . Valorile comonenților sunt date în termeni de L și C, valorile componentelor unei secțiuni cu constantă k.

Același filtru minimizat prin combinarea componentelor în serie sau în paralel, acolo unde este cazul.

Un alt motiv pentru utilizarea secțiunilor de tip m în corpul filtrului este acela de a face să apară un pol suplimentar de atenuare în bandă pentru a fi eliminat. Frecvența polului depinde direct de valoarea m . Cu cât valoarea lui m este mai mică, cu atât polul este mai aproape de frecvența de tăiere. În schimb, o valoare mare a lui m face ca polul să fie mai departe de tăiere până la limita unde m = 1 pentru care polul merge la infinit și răspunsul este același ca pentru o secțiune de tip k. Dacă se alege valoarea m pentru acest pol, care este diferit de polul secțiunilor de la capete, va avea ca efect extinderea intervalului de frecvență în care există o respingere bună a benzii care urmează să fie eliminată în apropierea punctului de decupare frecvență. Procedând astfel, secțiunile de tip m servesc pentru a oferi o respingere bună a bada care trebuie eliminată în apropierea tăieturii, iar cele de tip k oferă o respingere bună a benzii care trebuie eliminată departe de tăietură. Alternativ, secțiunile de tip m pot fi utilizate în corpul filtrului cu valori diferite de m dacă valoarea găsită în secțiunile finale nu este adecvată. Din nou, tipul mm ar avea unele avantaje atunci când este utilizat pentru potrivirea impedanței. Tipul mm 'utilizat pentru potrivirea impedanței poziționează polul la m = 0,3. Cu toate acestea, cealaltă jumătate a secțiunii de potrivire a impedanței trebuie să fie de tip m cu m = 0,723. ^[8] Acest lucru asigură automat o bună răspândire a respingerii benzii care trebuie eliminată și, ca și în cazul problemei vitezei de tranziție, utilizarea secțiunilor de tip mm poate elimina necesitatea unor secțiuni suplimentare de tip m în corpul filtrului.

Secțiuni de rezistență constantă pot fi, de asemenea, necesare, dacă utilizați filtrul pe o linie de transmisie, pentru a îmbunătăți planeitatea răspunsului la lățimea de bandă. Acest lucru este necesar deoarece răspunsul liniei de transmisie nu este de obicei foarte departe de a fi perfect plat. Aceste secțiuni ar fi situate în mod normal mai aproape de linie, deoarece prezintă o impedanță previzibilă pentru linie și, de asemenea, tind să ascundă impedanța nedeterminată a liniei de restul filtrului. Nu există probleme cu potrivirea secțiunilor de rezistență constantă între ele, chiar și atunci când secțiunile funcționează pe benzi de frecvență total diferite. Toate secțiunile pot avea o impedanță de imagine exactă cu aceeași rezistență fixă.

Elemente conexe

Tipuri de impedanță a imaginii

Concepte de proiectare

oameni

Notă

^ Carson (1926).
^ Campbell, 1922.
^ Zobel (1923).
^ Bray, p.62
^ White, (2000).
^ Lee, p.825,
Laplante, p.341.
^ Matthaei și colab. , pp. 68-72.
^ ^a ^b Zobel, 1932 (brevet), p.5.
^ Bode, 1933 (brevet).
^ Matthaei și colab. , p.72.
^ Mole, p.91

Bibliografie

Campbell, GA, "Teoria fizică a filtrului electric de undă", Bell System Tech J , noiembrie 1922, vol. 1, nr. 2, pp. 1-32.
Bode, Hendrik W., Wave Filter , brevetul SUA 2 002 216, depus la 7 iunie 1933, emis la 21 mai 1935.
Bray, J, Inovația și revoluția comunicațiilor , Institutul de ingineri electrici ISBN 0-85296-218-5 .
Carson, JR, Teoria circuitului electric și calcul operațional , 1926, McGraw-Hill, New York.
Laplante, Phillip A, Dicționar cuprinzător de inginerie electrică , CRC Press, 2005 ISBN 0-8493-3086-6 .
Lee, Thomas H, Planar Microwave Engineering: a Practical Guide to Theory, Measurement, and Circuits , Cambridge University Press, 2004 ISBN 0-521-83526-7 .
Matthaei, Young, Filtre cu microunde Jones , rețele de potrivire a impedanțelor și structuri de cuplare McGraw-Hill 1964
Mole, JH, Date de proiectare a filtrelor pentru inginerii de comunicare , Londra: E & FN Spon Ltd., 1952OCLC 247417663 .
White, G, „The Past” , Journal BT Technology , Vol 18, No 1, pp. 107-132, ianuarie 2000, Springer Olanda.
Zobel, JO, „Teoria și proiectarea filtrelor de unde electrice uniforme și compozite”, Bell System Technical Journal , vol. 2 (1923), pp. 1–46.
Zobel, OJ, Filtre de undă electrice , brevetul SUA 1 850 146, depus la 25 noiembrie 1930, emis la 22 martie 1932.
Redifon Radio Jurnal, 1970 , pp. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.

Portal electrotehnic : accesați intrările Wikipedia referitoare la ingineria electrică

[1] Carson (1926).

[2] Campbell, 1922.

[3] Zobel (1923).

[4] Bray, p.62

[5] White, (2000).

[6] Lee, p.825,
Laplante, p.341.

[7] Matthaei și colab. , pp. 68-72.

[Zobel1930-8] Zobel, 1932 (brevet), p.5.

[9] Bode, 1933 (brevet).

[10] Matthaei și colab. , p.72.

[11] Mole, p.91

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]