Filtru trece jos

Un filtru trece jos este un sistem care permite trecerea frecvențelor sub un prag dat, numit frecvență de tăiere , blocând frecvențele înalte.

În electronică poate consta din circuite de diferite tipuri. Poate fi activ sau pasiv în funcție de prezența în circuit a elementelor active, cum ar fi amplificatoarele sau numai componentele pasive. Pe baza pantei tăieturii în frecvență, este posibil, de asemenea, să se facă distincția între primul ordin (20 dB pe deceniu), al doilea ordin (40 dB pe deceniu), al treilea ordin (60 dB pe deceniu), filtre de trecere joasă și așa mai departe, care este, de asemenea, clasificarea filtrelor în cascadă , cum ar fi dubla trecere joasă și dublă trecere înaltă .

Opusul acestui filtru este filtrul de trecere înaltă care permite trecerea frecvențelor peste frecvența de tăiere, blocând astfel frecvențele joase. Există, de asemenea, un filtru de trecere a benzii care permite doar trecerea frecvențelor apropiate de frecvența de rezonanță .

Filtru pas-jos pasiv

Schema circuitului de construcție a unui filtru pas-jos pasiv

Filtrul pasiv low pass, unul dintre cele mai ușoare filtre de realizat, este circuitul RC în serie care are caracteristica de a trece toate componentele de frecvență între 0 Hz și frecvența de întrerupere, care depinde de caracteristicile elementelor pe care le realizează. sus. Dincolo de această frecvență, filtrul elimină componentele de frecvență ale semnalului.

Funcțiile de rețea pot fi calculate utilizând metoda operatorului , de exemplu prin calcularea impedanței și / sau admiterii care sunt:

\mathbf {Z} (s)={\frac {1}{1+sRC}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (s) = {\ frac {1} {1 + sRC}}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (s) = {\ frac {1} {1 + sRC}}}

\mathbf {Y} (s)={\frac {1}{R+1/sC}}={\frac {sC}{1+sRC}}={\frac {1}{R}}{\frac {\tau s}{1+\tau s}}

{\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = {\ frac {1} {R + 1 / sC}} = {\ frac {sC} {1 + sRC}} = {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ tau s} {1+ \ tau s}}}

{\ mathbf Y} (s) = {\ frac {1} {R + 1 / sC}} = {\ frac {sC} {1 + sRC}} = {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ tau s} {1+ \ tau s}}

unde este $\tau =RC$ ${\ displaystyle \ tau = RC}$ $\ tau = RC$ este constanta de timp caracteristică a circuitului. Functia $\mathbf {Z} (s)$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} (s)}$ ${\ mathbf Z} (s)$ are un stâlp pentru $s=-{\frac {1}{\tau }}$ ${\ displaystyle s = - {\ frac {1} {\ tau}}}$ ${\ displaystyle s = - {\ frac {1} {\ tau}}}$ . Aceste două funcții de rețea definesc complet răspunsul circuitului la orice semnal de intrare. Răspunsul în frecvență al filtrului poate fi obținut din impedanță prin acționarea extensiei analitice : $s\to j\omega$ ${\ displaystyle s \ to j \ omega}$ $s \ to j \ omega$ , pentru a obține funcția de transfer :

k(j\omega )={\frac {1}{1+j\omega \tau }}={\frac {1}{1+j\omega RC}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {1} {1 + j \ omega \ tau}} = {\ frac {1} {1 + j \ omega RC}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {1} {1 + j \ omega \ tau}} = {\ frac {1} {1 + j \ omega RC}}}

care are amplitudine:

|k(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}

{\ displaystyle | k (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt { 1+ \ omega ^ {2} R ^ {2} C ^ {2}}}}}

{\ displaystyle | k (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt { 1+ \ omega ^ {2} R ^ {2} C ^ {2}}}}}

și fază:

\phi (\omega )=-\arctan(\omega \tau )=-\arctan(\omega RC)

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = - \ arctan (\ omega \ tau) = - \ arctan (\ omega RC)}

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = - \ arctan (\ omega \ tau) = - \ arctan (\ omega RC)}

.

Prin reprezentarea grafică a acestor două mărimi prin diagramele Bode , vedem că amplitudinea rămâne constantă până la frecvența de tăiere care se obține prin impunerea prin definiție:

|k(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

{\ displaystyle | k (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} R ^ {2} C ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + 1}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}

{\ displaystyle | k (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} R ^ {2} C ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + 1}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}

care corespunde unei atenuări a semnalului de 3 dB , obținând:

\omega _{t}={\frac {1}{\tau }}\,\,\rightarrow \,\,f_{t}={\frac {1}{2\pi \tau }}

{\ displaystyle \ omega _ {t} = {\ frac {1} {\ tau}} \, \, \ rightarrow \, \, f_ {t} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau}} }

\ omega _ {t} = {\ frac {1} {\ tau}} \, \, \ rightarrow \, \, f_ {t} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau}}

.

După această valoare, amplitudinea semnalului scade cu 20 dB pe deceniu. Valorile asimptotice ale amplitudinii și fazei sunt:

|k(j\omega =0)|=1

{\ displaystyle | k (j \ omega = 0) | = 1}

{\ displaystyle | k (j \ omega = 0) | = 1}

ceea ce înseamnă că sistemul RC transmite semnalul continuu,

|k(j\omega )|\to 0\,\,\,,\omega \to \infty

{\ displaystyle | k (j \ omega) | \ to 0 \, \, \ ,, \ omega \ to \ infty}

{\ displaystyle | k (j \ omega) | \ to 0 \, \, \ ,, \ omega \ to \ infty}

ceea ce înseamnă exact că amplitudinea este anulată pentru frecvențe înalte, în timp ce pentru fază:

\phi (\omega =0)=0

{\ displaystyle \ phi (\ omega = 0) = 0}

{\ displaystyle \ phi (\ omega = 0) = 0}

\phi (\omega )=-{\frac {\pi }{2}}\,\,\,,\omega \to \infty

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = - {\ frac {\ pi} {2}} \, \, \ ,, \ omega \ to \ infty}

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = - {\ frac {\ pi} {2}} \, \, \ ,, \ omega \ to \ infty}

\phi (\omega =\omega _{t})=-{\frac {\pi }{4}}

{\ displaystyle \ phi (\ omega = \ omega _ {t}) = - {\ frac {\ pi} {4}}}

{\ displaystyle \ phi (\ omega = \ omega _ {t}) = - {\ frac {\ pi} {4}}}

ceea ce înseamnă că semnalul de ieșire din filtru va fi defazat în raport cu intrarea, cu valori speciale pentru $-\pi /2$ ${\ displaystyle - \ pi / 2}$ $- \ pi / 2$ Și $-\pi /4$ ${\ displaystyle - \ pi / 4}$ $- \ pi / 4$ .

Impedanța condensatorului este invers proporțională cu frecvența semnalului, astfel încât atunci când semnalul de intrare are o frecvență joasă, impedanța condensatorului este foarte mare și cea mai mare parte a tensiunii cade peste el. În funcție de valoarea rezistenței, sub o anumită frecvență (frecvența de întrerupere a circuitului), tensiunea pe condensator este aproape egală cu tensiunea de intrare. Pe de altă parte, când valoarea frecvenței de intrare depășește valoarea frecvenței de întrerupere, tensiunea de ieșire este mai mică decât tensiunea de intrare.

Filtru trece-jos activ

Schema circuitului de construcție a unui filtru trece-jos activ

Un alt tip de circuit electric este filtrul trece-jos activ cu feedback negativ multiplu, așa numit datorită caracteristicii de a avea o singură buclă de feedback în modul inversor (conectat la pinul inversor al amplificatorului operațional ).

Circuitul prezentat în figură este un filtru de primul ordin de acest tip, frecvența de tăiere (în hertz) este definită ca:

f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}

{\ displaystyle f _ {\ text {c}} = {\ frac {1} {2 \ pi R_ {2} C}}}

f _ {{{\ text {c}}}} = {\ frac {1} {2 \ pi R_ {2} C}}

sau (în radiani pe secundă):

\omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}.

{\ displaystyle \ omega _ {\ text {c}} = {\ frac {1} {R_ {2} C}}.}

\ omega _ {{{\ text {c}}}} = {\ frac {1} {R_ {2} C}}.

Câștigul benzii de trecere este -R2 / R1, cu o pantă de -6 dB pe octavă, care este -20 dB / deceniu, deoarece este un filtru de prim ordin.

Supliment

Același subiect în detaliu: circuit RC .

Simularea semnalului de ieșire al unui integrator RC cu o undă pătrată la intrare. Frecvența de întrerupere a fost aleasă ca

f_{t}={\frac {100}{2\pi }}

{\ displaystyle f_ {t} = {\ frac {100} {2 \ pi}}}

{\ displaystyle f_ {t} = {\ frac {100} {2 \ pi}}}

Hz

Filtrul trece pasiv jos are o ecuație dinamică liniară care descrie circuitul dat de:

$v_{in}(t)=Ri(t)+v_{out}$ ${\ displaystyle v_ {in} (t) = Ri (t) + v_ {out}}$ $v _ {{in}} (t) = Ri (t) + v _ {{out}}$

sau rescris:

v_{in}-v_{out}=Ri(t)

{\ displaystyle v_ {in} -v_ {out} = Ri (t)}

v _ {{in}} - v _ {{out}} = Ri (t)

.

Prin integrarea ambelor părți ale acestei ecuații găsim:

\int (v_{in}-v_{out})dt=R\int i(t)\,dt

{\ displaystyle \ int (v_ {in} -v_ {out}) dt = R \ int i (t) \, dt}

\ int (v _ {{in}} - v _ {{out}}) dt = R \ int i (t) \, dt

.

Acum, dacă starea este valabilă $v_{in}\gg v_{out}$ ${\ displaystyle v_ {in} \ gg v_ {out}}$ $v _ {{in}} \ dd v _ {{out}}$ adică, dacă căderea de tensiune pe condensator este foarte mică în comparație cu căderea de potențial pe rezistor, atunci soluția este:

\int v_{in}dt\simeq R\int i(t)\,dt\simeq RCv_{out}

{\ displaystyle \ int v_ {in} dt \ simeq R \ int i (t) \, dt \ simeq RCv_ {out}}

\ int v _ {{in}} dt \ simeq R \ int i (t) \, dt \ simeq RCv _ {{out}}

adică semnalul de ieșire este proporțional cu integralul semnalului de intrare (circuit integrator). De asemenea, se poate vedea mai explicit că, pentru a face un supliment ideal, ar trebui să avem în ceea ce privește frecvența:

\mathbf {V} _{out}(\omega )={\frac {1}{\lambda \omega }}\mathbf {V} _{in}

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {out} (\ omega) = {\ frac {1} {\ lambda \ omega}} \ mathbf {V} _ {in}}

{\ mathbf {V}} _ {{out}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ lambda \ omega}} {\ mathbf {V}} _ {{in}}

adică ar trebui să aibă o funcție de transfer :

k(j\omega )={\frac {1}{\lambda \omega }}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {1} {\ lambda \ omega}}}

k (j \ omega) = {\ frac {1} {\ lambda \ omega}}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un factor constant de proporționalitate. Pe baza răspunsului de frecvență al filtrului trece jos, filtrul aproxima un integrator bun numai pentru $\omega \tau \gg 1$ ${\ displaystyle \ omega \ tau \ gg 1}$ $\ omega \ tau \ gg 1$ , în regiunea de înaltă frecvență care are o impedanță capacitivă foarte mică și curba de amplitudine este liniară.

Pentru un integrator mai precis, trebuie utilizat un element activ, cum ar fi amplificatorul operațional, care permite producerea unui integrator analogic foarte eficient.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre filtrul Low Pass

linkuri externe

( EN ) Filtru low-pass , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.