Mecanica cuantică

Fizicianul german Max Planck (1858-1947) a fost primul care a introdus conceptul de „ cuantică ”, la baza legii care îi poartă numele , în lucrarea sa din 1900 „ Ueber die Elementarquanta der Materie und der Elektrizitaet ” (Sui quant elemente de materie și electricitate) ^[1]

Mecanica cuantică este teoria fizică care descrie comportamentul materiei , radiațiilor și interacțiunilor reciproce, cu o atenție deosebită la fenomenele caracteristice ale scalei de lungime sau ale energiei atomice și subatomice ^[2] , unde teoriile clasice anterioare sunt inadecvate.

Ca o caracteristică fundamentală, mecanica cuantică descrie radiația^[3] și materia ^[4] atât ca fenomene de undă , cât și ca entități de particule, spre deosebire de mecanica clasică , care descrie lumina doar ca undă și, de exemplu, electronul doar ca particulă . Această proprietate neașteptată și contraintuitivă a realității fizice, numită dualism undă-particulă ^[5] , este principalul motiv al eșecului teoriilor dezvoltate până în secolul al XIX-lea în descrierea atomilor și moleculelor. Relația dintre val și natura corpusculară este enunțată în principiul complementarității și formalizată în principiul incertitudinii lui Heisenberg ^[6] .

Există numeroase formalisme matematice echivalente ale teoriei, cum ar fi mecanica undelor și mecanica matricii ; dimpotrivă, există numeroase și discordante interpretări cu privire la esența ultimă a cosmosului și a naturii, care au dat naștere unei dezbateri care este încă deschisă în domeniul filosofiei științei .

Mecanica cuantică reprezintă, împreună cu teoria relativității , un bazin hidrografic față de fizica clasică care duce la nașterea fizicii moderne și, prin teoria câmpului cuantic , generalizarea formulării originale care include principiul relativității speciale este fundamentul multora alte ramuri ale fizicii, cum ar fi fizica atomică , fizica materiei condensate, fizica nucleară , fizica particulelor , chimia cuantică .

Istorie

Un corp negru , un obiect capabil să absoarbă toată radiația incidentă, poate fi idealizat ca o cavitate neagră cu o gaură mică. Conform previziunii clasice, acest corp ar fi trebuit să emită o intensitate infinită de radiații electromagnetice de înaltă frecvență ( catastrofă ultravioletă ).

La sfârșitul secolului al XIX-lea , mecanica părea incapabilă să descrie comportamentul materiei și al radiației electromagnetice la scara lungimii ordinii atomului sau la scara energetică a interacțiunilor interatomice; în special, realitatea experimentală a luminii și a electronului era inexplicabilă. Această limitare a legilor clasice a fost principala motivație care a condus în prima jumătate a secolului al XX-lea la dezvoltarea unei noi fizici complet diferită de cea dezvoltată până atunci ^[7] , printr-o teorie obținută prin combinarea și elaborarea unui set teoriilor formulate la începutul secolelor al XIX -lea și al XX-lea , adesea empirice , bazate pe faptul că unele cantități la nivel microscopic, precum energia sau impulsul unghiular , pot varia doar în funcție de valorile discrete numite „ quanta ” (de unde denumirea de „ teoria cuantică ” introdusă de Max Planck la începutul secolului al XX-lea ^[1] .)

Criza fizicii clasice și căutarea unei noi teorii

Efect fotoelectric : o placă metalică radiată cu unde electromagnetice de lungime de undă adecvată emite electroni.

Atomii au fost recunoscuți de John Dalton în 1803 ca fiind constituenții fundamentali ai moleculelor și ai întregii materii ^[8] . În 1869, tabelul periodic al elementelor a făcut posibilă gruparea atomilor în funcție de proprietățile lor chimice și acest lucru a permis descoperirea unor legi periodice, cum ar fi regula octetului , a cărei origine nu era cunoscută. ^[9] Studiile lui Avogadro , Dumas și Gauden au arătat că atomii se compun pentru a forma molecule, structurându-se și combinându-se conform legilor de natură geometrică. Toate aceste noi descoperiri nu au clarificat motivele pentru care elementele și moleculele s-au format în conformitate cu aceste legi regulate și periodice.

Spectrul atomului de hidrogen , discret sau de linie, un semn clar al cuantificării energiei

Baza structurii interne a atomului a fost pusă în schimb cu descoperirile electronului în 1874 de George Stoney și ale nucleului de Rutherford . Conform modelului lui Rutherford, un nucleu central încărcat pozitiv dintr-un atom acționează asupra electronilor negativi în același mod în care Soarele acționează asupra planetelor sistemului solar . Cu toate acestea, emisiile electromagnetice prezise de teoria lui Maxwell pentru sarcinile electrice în mișcare accelerată, ar fi trebuit să aibă o intensitate mare care să provoace prăbușirea atomului în câteva momente, contrar stabilității tuturor materiilor observate ^[10] .

Radiația electromagnetică a fost teoretic prezisă de James Clerk Maxwell în 1850 și detectată experimental de Heinrich Hertz în 1886. ^[11] Cu toate acestea, Wien a descoperit că, conform teoriei clasice a vremii, un corp negru capabil să absoarbă toate radiațiile incidente, ar trebui emite unde electromagnetice cu o intensitate infinită de lungime de undă scurtă. Acest paradox devastator, deși nu a fost considerat imediat de mare importanță, a fost numit „ catastrofa ultravioletă ” în 1911.

În 1887 Heinrich Hertz a descoperit că descărcările electrice între două corpuri conductoare încărcate erau mult mai intense dacă corpurile erau expuse la radiații ultraviolete . ^[12] Fenomenul, datorat interacțiunii dintre radiația electromagnetică și materie , a fost numit efect fotoelectric și s-a constatat că inexplicabil a dispărut complet pentru frecvențele radiației incidente mai mici decât o valoare prag, indiferent de intensitatea totală a acesteia. Mai mult, dacă s-a produs efectul fotoelectric , energia electronilor emiși de plăcile conductoare a fost direct proporțională cu frecvența radiației electromagnetice . Astfel de dovezi experimentale nu ar putea fi explicate prin teoria undelor clasice a lui Maxwell . Pentru explicația teoretică a acestor proprietăți contraintuitive ale luminii , Einstein a primit premiul Nobel pentru fizică în 1921. ^[13]

Mecanica cuantică, dezvoltată cu contribuțiile a numeroși fizicieni de peste o jumătate de secol, a fost capabilă să ofere o explicație satisfăcătoare pentru toate aceste reguli generale și contradicții.

Nașterea teoriei cuantice

Același subiect în detaliu: teoria cuantică .

Niels Bohr , creatorul modelului atomic cu același nume

În modelul lui Bohr al atomului de hidrogen , un electron poate urma doar anumite traiectorii clasice. Aceste traiectorii sunt stabile și discrete, indicate cu un număr întreg progresiv

n=1,2,3,\dots

{\ displaystyle n = 1,2,3, \ dots}

n = 1,2,3, \ dots

. Ori de câte ori electronul coboară pe o orbită inferioară emite radiații electromagnetice, sub forma unui foton , de energie corespunzătoare energiei pierdute (vezi spectrul atomului de hidrogen )

Arnold Sommerfeld

În 1913 fizicianul danez Niels Bohr a propus un model empiric pentru a încerca să adune dovezi în jurul stabilității atomului de hidrogen și a spectrului său de emisie, cum ar fi ecuația Rydberg . Max Planck , Albert Einstein , Peter Debye și Arnold Sommerfeld au contribuit la dezvoltarea și generalizarea setului de reguli formale propuse de Bohr, indicate prin expresia vechii teorii cuantice ^[14] . În acest model, mișcarea electronului în atomul de hidrogen este permisă numai de-a lungul unui set discret de orbite circulare sau eliptice stabile staționare închise. ^[15] ^[16] Radiația electromagnetică este absorbită sau emisă numai atunci când un electron trece de la o orbită mai mică la una mai mare sau invers. În acest fel, Bohr a reușit să calculeze nivelurile de energie ale atomului de hidrogen, demonstrând că în acest sistem un electron nu poate lua nicio valoare energetică, ci doar niște valori precise și discrete. $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ determinată de numărul întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ conform raportului:

E_{n}=-{\frac {13{,}36~{\textrm {eV}}}{n^{2}}}

{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {13 {,} 36 ~ {\ textrm {eV}}} {n ^ {2}}}}

{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {13 {,} 36 ~ {\ textrm {eV}}} {n ^ {2}}}}

,

în acord cu experimentele și cu o energie minimă diferită de zero $E_{min}=-13{,}36$ ${\ displaystyle E_ {min} = - 13 {,} 36}$ ${\ displaystyle E_ {min} = - 13 {,} 36}$ eV când $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ . Cu toate acestea, a rămas să fie clarificat de ce electronul ar putea parcurge doar anumite traiectorii închise specifice.

În 1924 fizicianul francez Louis de Broglie a emis ipoteza că electronul, pe lângă cel corpuscular, are și un comportament ondulator , care se manifestă de exemplu în fenomenele de interferență . Lungimea de undă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ electronului deține:

\lambda ={\frac {h}{p}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}

\ lambda = {\ frac {h} {p}}

unde este $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ impulsul. În acest fel, legea cuantificării impusă de Bohr ar putea fi interpretată pur și simplu ca starea undelor staționare, echivalentă cu undele care se dezvoltă pe șirul vibrator al unei vioare.

Dezvoltarea mecanicii cuantice

Pe baza acestor rezultate, în 1925-1926, Werner Heisenberg și Erwin Schrödinger au dezvoltat mecanica matricială și mecanica undelor , două formulări diferite ale mecanicii cuantice care duc la aceleași rezultate. Ecuația Schrödinger, în special, este similară cu cea a undelor, iar soluțiile sale staționare reprezintă stările posibile ale particulelor și, prin urmare, și ale electronilor din atomul de hidrogen. Natura acestor valuri a fost imediat subiectul unei mari dezbateri, care continuă într-o oarecare măsură până în prezent. În a doua jumătate a anilor 1920 teoria a fost oficializată, odată cu adoptarea postulatelor fundamentale, de Paul Adrien Maurice Dirac , John von Neumann și Hermann Weyl .

O reprezentare încă diferită, dar care duce la aceleași rezultate ca și cele anterioare, numită integral pe căi , a fost dezvoltată în 1948 de Richard Feynman : o particulă cuantică traversează toate traiectoriile posibile în timpul mișcării sale și diversele contribuții furnizate de toate căile interferează între ele.pentru a genera cel mai probabil comportament observat.

Noțiuni de bază

Cuantificarea energiei

Același subiect în detaliu: Legea lui Planck , Cuantizarea (fizica) și Scala lui Planck .

Odată cu formularea mecanicii cuantice, cuantificarea radiației electromagnetice conform ipotezei fotonice a lui Einstein se extinde la toate fenomenele energetice, cu consecința extinderii conceptului inițial de „cuantă luminoasă” la cel al cuantumului de acțiune și abandonarea tipică a „continuității”. mecanicii clasice , în special la scara de lungime și energie a lumii atomice și subatomice.

Dualismul undă-particulă

Același subiect în detaliu: dualismul undă-particulă .

Fizicianul francez Louis de Broglie a câștigat Premiul Nobel pentru fizică în 1929 pentru că a descoperit în 1924 că electronul are, de asemenea, un comportament de undă care dă naștere la conceptul de undă materie și dualitatea undă-particulă .

Fizica clasică până în secolul al XIX-lea a fost împărțită în două corpuri de legi: cele ale lui Newton, care descriu mișcările și dinamica corpurilor mecanice, și cele ale lui Maxwell, care descriu tendința și constrângerile la care sunt supuse câmpurile electromagnetice ca lumină și radio valuri. Multă vreme natura luminii fusese dezbătută și unele dovezi experimentale, precum experimentul lui Young , au condus la concluzia că lumina ar trebui considerată ca o undă.

La începutul secolului al XX-lea unele inconsecvențe teoretico-experimentale au subminat concepția pur de undă a radiației electromagnetice, ducând la teoria, avansată de Einstein pe baza lucrărilor timpurii ale lui Max Planck, în care natura corpusculară a luminii a fost reintrodusă la într-o anumită măsură, considerată a fi compusă din fotoni care transportă cantități discrete din energia totală a undei electromagnetice.

Ulterior De Broglie a avansat ipoteza că natura materiei și radiații nu ar trebui să fie gândit numai în termeni exclusivi ai fie un val sau o particulă, dar că cele două entități sunt atât de particule și un val, în același timp. Fiecare corp material este asociat cu o nouă lungime de undă , care, dacă are o valoare foarte mică și este dificil de apreciat pentru valorile de masă ale lumii macroscopice, își asumă o importanță fundamentală pentru interpretarea fenomenelor la scara atomică și subatomică. Teoria lui De Broglie a fost confirmată de descoperirea difracției electronice observată în experimentul Davisson și Germer din 1926. ^[17]

Principiul complementarității

Același subiect în detaliu: Principiul complementarității .

În 1928 Niels Bohr a aprofundat și generalizat conceptul de dualism în mecanica cuantică prin enunțarea principiului complementarității, care afirmă că aspectul dual al unor reprezentări fizice ale fenomenelor la nivel atomic și subatomic nu poate fi observat simultan în timpul aceluiași experiment, făcând astfel acest aspect contraintuitiv al teoriei, în special dualismul dintre natura corpusculară și cea a undelor, oarecum mai puțin izbitoare cu concepția fizicii clasice și, de asemenea, a logicii .

Werner Karl Heisenberg , căruia îi datorăm prima formulare completă a mecanicii cuantice sau a mecanicii matriciale și principiul incertitudinii

Experimentul de gândire al lui Heisenberg pentru localizarea unui electron . Pentru a cunoaște poziția electronului, acesta trebuie să fie iluminat de un foton care, cu toate acestea, cu cât rezolvă mai bine poziția, cu atât mai mult perturba viteza. Fasciculul incident este indicat în verde, cel deviat în roșu, în timp ce electronul este reprezentat în albastru.

Concept de măsurare

Unul dintre elementele de diferențiere de fizica clasică a fost revizuirea conceptului de măsurare . Noutatea se referă la imposibilitatea cunoașterii stării unei particule fără a o perturba ireversibil. Spre deosebire de mecanica clasică, unde este întotdeauna posibilă conceperea unui spectator pasiv capabil să cunoască fiecare detaliu al unui sistem dat, conform mecanicii cuantice nu are sens să atribuiți o valoare oricărei proprietăți a unui sistem dat fără ca acesta să fi fost măsurat în mod activ. observator. ^[18] Legile cuantice stabilesc că procesul de măsurare nu poate fi descris ca simpla evoluție temporală a sistemului, ci privește observatorul și aparatul experimental considerate împreună. Aceasta are consecința că, în general, odată măsurată o cantitate dintr-un sistem, nu este posibil în niciun fel să se determine care a fost valoarea sa înainte de măsurare. De exemplu, conform mecanicii clasice, cunoașterea poziției și vitezei unei particule la un moment dat ne permite să determinăm cu certitudine traiectoria sa trecută și viitoare. În schimb, în mecanica cuantică, cunoașterea vitezei unei particule la un moment dat nu este în general suficientă pentru a stabili care a fost valoarea ei în trecut. Mai mult, dobândirea acelorași cunoștințe despre viteza particulelor distruge orice alte informații despre poziție, ceea ce face imposibilă calcularea traiectoriei viitoare. ^[19]

Principiul incertitudinii lui Heisenberg

Același subiect în detaliu: principiul incertitudinii lui Heisenberg .

Heisenberg în 1927 a elaborat o formalizare teoretică a principiului de mai sus, permițând cuantificarea nedeterminării inerente noului concept de măsură ^[20] . El a afirmat că în mecanica cuantică unele perechi de mărimi fizice, cum ar fi viteza și poziția, nu pot fi măsurate în același timp ambele cu precizie arbitrară. Cu cât precizia de măsurare a uneia dintre cele două cantități este mai bună, cu atât precizia de măsurare a celeilalte este mai slabă. ^[21] Cu alte cuvinte, măsurarea poziției unei particule determină o perturbare imposibilă a vitezei acesteia și invers. În formule:

(\Delta p)(\Delta x)\geq {\frac {h}{4\pi }}

{\ displaystyle (\ Delta p) (\ Delta x) \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}}

(\ Delta p) (\ Delta x) \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}

unde este $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ este incertitudinea asupra măsurării poziției e $\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ $\ Delta p$ este cel cu impuls $p=mv$ ${\ displaystyle p = mv}$ $p = mv$ . Limita inferioară a produsului incertitudinilor este, prin urmare, proporțională cu constanta Planck $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Heisenberg a observat că, pentru a cunoaște poziția unui electron, acesta trebuie iluminat de un foton. Cu cât lungimea de undă a fotonului este mai mică, cu atât este mai mare precizia cu care se măsoară poziția electronului. ^[22] Valurile comune ale mării nu sunt perturbate, în propagarea lor, de prezența unor obiecte mici; dimpotrivă, obiecte la fel de mari ca lungimea de undă perturbă și rup fronturile de undă și astfel de perturbări permit identificarea prezenței obstacolului care le-a generat. Cu toate acestea, în câmpul cuantic, la lungimi de undă reduse, fotonul va transporta o energie din ce în ce mai mare, care absorbită de electron îi va perturba din ce în ce mai mult viteza, ceea ce face imposibilă stabilirea valorii sale în același timp cu poziția sa. În schimb, un foton cu lungime de undă lungă va perturba ușor viteza electronului, dar nu va putea determina cu exactitate poziția acestuia.

Limita clasică a mecanicii cuantice

Același subiect în detaliu: teoria semiclasică .

Legile lui Newton ale mecanicii clasice și legile lui Maxwell pentru câmpurile electromagnetice sunt capabile să descrie în bună aproximare fenomenele care apar pentru obiectele macroscopice care se mișcă la viteze nu prea mari. Numai când luăm în considerare fenomenele care apar la scările atomice descoperim o incompatibilitate irezolvabilă, din acest motiv este interesant să ne întrebăm dacă există o limită adecvată în care legile cuantice sunt reduse la cele clasice.

Relativitatea specială arată discrepanțe față de fizica clasică atunci când viteza corpurilor macroscopice se apropie de cea a luminii. Cu toate acestea, pentru viteze mici, ecuațiile se reduc la legile de mișcare ale lui Newton. Raționând diferit, este posibil să se confrunte cu o expansiune în serie a ecuațiilor lui Einstein în ceea ce privește viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , considerat ca un parametru variabil. Când viteza luminii este infinită, ecuațiile lui Einstein sunt formal și exact aceleași cu cele clasice.

În mecanica cuantică rolul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este preluat din constanta Planck redusă $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ . Considerându-l pe acesta din urmă ca o variabilă, în măsura în care tinde spre zero $\hbar \rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ $\ hbar \ rightarrow 0$ , dintre toate căile posibile care contribuie la propagatorul Feynman, supraviețuiesc doar soluțiile clasice ale mișcării, în timp ce contribuțiile celorlalte traiectorii se anulează reciproc devenind din ce în ce mai puțin relevante. Din punct de vedere matematic, această abordare se bazează pe o dezvoltare asimptotică în raport cu variabila $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , o metodă care însă nu permite identificarea formală a soluțiilor cuantice cu cele ale ecuațiilor diferențiale clasice.

Wolfgang Pauli , cunoscut pentru principiul său de excludere

Cu toate acestea, dintr-un punct de vedere substanțial, rămân diferențe profunde între mecanica clasică și cea cuantică, chiar luând în considerare realitatea cotidiană. Cu toate acestea, starea unui obiect macroscopic conform interpretării de la Copenhaga rămâne nedeterminată până când este observat, indiferent de mărimea acestuia. Acest fapt pune observatorul în centru și întrebări care fac aproape parte dintr-o dezbatere filosofică. Din aceste motive, în încercarea de a rezolva unele puncte considerate paradoxale, s-au născut alte interpretări ale mecanicii cuantice, niciuna dintre acestea însă nu permite o reuniune completă între lumea clasică și cea cuantică.

Principiul excluderii Pauli

Același subiect în detaliu: principiul excluderii Pauli , statisticile Fermi-Dirac și statisticile Bose-Einstein .

Formulat pentru electroni de Wolfgang Pauli în 1925, ^[23] principiul excluderii afirmă că doi fermioni identici nu pot ocupa simultan aceeași stare cuantică . Funcția de undă a fermionilor este deci antisimetrică în ceea ce privește schimbul de două particule, în timp ce bosonii formează stări cuantice simetrice. Fermiunile includ protoni , neutroni și electroni , cele trei particule care alcătuiesc materia obișnuită, iar principiul stă la baza înțelegerii multora dintre caracteristicile definitorii ale materiei, cum ar fi nivelurile de energie ale atomilor și nucleelor.

Formularea sa a inițiat o revizuire a Statisticii clasice Maxwell-Boltzmann conform noilor dictate ale teoriei cuantice, conducând la Statistica Fermi-Dirac pentru fermioni și cea a lui Bose-Einstein pentru bosoni.

Pascual Jordan , cunoscut pentru contribuțiile sale la mecanica matricii

Formulări ale mecanicii cuantice

Mecanica cuantică admite numeroase formulări care utilizează uneori baze matematice foarte diferite. Deși sunt diferite, toate descrierile nu își schimbă previziunile cu privire la rezultatul experimentelor. ^[24] O formulare poate fi preferată în fața alteia dacă problema de descris este mai simplă în aceasta. Fiecare formulare diferită a permis, de asemenea, cunoștințe mai mari despre fundamentele mecanicii cuantice. Formulările care sunt cele mai frecvent utilizate sunt cele lagrangiene și hamiltoniene.

Mecanica matricei

Același subiect în detaliu: Mecanica matricei .

Mecanica matricială este formularea mecanicii cuantice dezvoltată de Werner Heisenberg , Max Born și Pascual Jordan în 1925. ^[25] A fost prima versiune completă și coerentă a mecanicii cuantice, care, chiar și fără a lua în considerare principiile relativității speciale, a extins versiunea lui Bohr. model atomic care justifică existența salturilor cuantice din punct de vedere teoretic. Acest lucru a fost realizat prin descrierea observabilelor fizice și a evoluției lor temporale prin utilizarea matricelor . Este baza notației Bra-ket a lui Paul Dirac pentru funcția de undă .

Mecanica undelor

Același subiect în detaliu: Mecanica undelor .

Erwin Schrödinger , căruia îi datorăm formularea mecanicii cuantice cunoscută sub numele de mecanica undelor

Mecanica undelor este definiția dată de Erwin Schrödinger teoriei bazată pe propria ecuație , considerată formularea standard a mecanicii cuantice, cea mai cunoscută și cea mai predată în domeniul academic. Din punct de vedere istoric, acesta constituie a doua formulare, publicată în 1926 la aproximativ șase luni după mecanica matricilor.

Schrödinger a scris în 1926 o serie de patru articole intitulate „Cuantificarea ca problemă a valorii proprii” în care a arătat cum mecanica undelor poate explica apariția numerelor întregi și a cuantelor și a seturilor de valori discrete, mai degrabă decât continue, permise pentru unele cantități fizice de anumite sisteme (cum ar fi energia electronilor din atomul de hidrogen). În special, bazându-se pe lucrările lui De Broglie, el a observat că undele staționare satisfac constrângeri similare cu cele impuse de condițiile de cuantificare Bohr:

( DE )

«[...] Die übliche Quantisierungsvorschrift sich durch eine andere Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von„ ganzen Zahlen “mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselbe natürliche Art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften. "

( IT )

«[...] Puteți înlocui regula obișnuită de cuantificare cu o altă cerință în care cuvântul„ numere întregi ”nu mai apare. Mai degrabă, aceleași numere întregi se dovedesc a fi în mod natural același tip cu numerele întregi asociate cu numărul de noduri ale unui șir vibrant. Noul punct de vedere este generalizabil și atinge, după cum cred, foarte profund adevărata natură a regulilor cuantice. "

( Erwin Schrödinger ^[26] )

Numărul de noduri dintr-un șir de vibrații staționare normale este întreg, dacă acestea sunt asociate cu mărimi fizice, cum ar fi energia și impulsul unghiular, atunci rezultă că și acestea trebuie să fie multipli întregi ai unei mărimi fundamentale. Pentru ca această echivalență să fie posibilă, starea fizică trebuie să fie asociată cu o undă care vibrează și evoluează în funcție de condițiile de staționaritate.

Într-o undă staționară , nodurile sunt puncte care nu sunt implicate în oscilație, prezentate în roșu în figură. Prin urmare, numărul de noduri este întotdeauna întreg.

Așa cum a observat însuși Schrödinger, ^[27] condițiile tipului de undă sunt prezente și au fost deja descoperite și pentru mecanica newtoniană clasică. În optica geometrică , limita legilor opticii în care lungimea de undă a luminii tinde la zero, razele de lumină se propagă urmând căi care minimalizează calea optică, așa cum este stabilit de principiul lui Fermat . Allo stesso modo, secondo il principio di Hamilton , le traiettorie classiche sono soluzioni stazionarie o di minimo dell' azione , che per una particella libera è semplicemente legata all'energia cinetica lungo la curva.

Tuttavia l'ottica geometrica non considera gli effetti che si hanno quando la lunghezza d'onda della luce non è trascurabile, come l' interferenza e la diffrazione .

Equazione di Schrödinger e Funzione d'onda

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger .

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione d'onda e Collasso della funzione d'onda .

Guidato dalla analogia ottico-meccanica suddetta, Schrödinger suppose che le leggi della meccanica classica di Newton siano solamente una approssimazione delle leggi seguite dalle particelle. Una approssimazione valida per grandi energie e grandi scale, come per le leggi dell'ottica geometrica, ma non in grado di catturare tutta la realtà fisica, in particolare a piccole lunghezze, dove, come per la luce, fenomeni come l'interferenza e la diffrazione diventano dominanti. Egli postulò quindi una equazione di stazionarietà per un'onda $\Psi (x)$ $\Psi (x)$ $\Psi (x)$ del tipo:

In questa onda stazionaria circolare, la circonferenza ondeggia esattamente in otto lunghezze d'onda. Un'onda stazionaria come questa può avere 0, 1, 2 o qualsiasi numero intero di lunghezze d'onda attorno al cerchio, ma non un numero razionale come 4.7. Con un meccanismo simile, il momento angolare di un elettrone in un atomo di idrogeno , classicamente proporzionale alla velocità angolare, può assumere solo valori discreti quantizzati.

^[28]

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

dove $V(x)$ ${\displaystyle V(x)}$ $V(x)$ è il potenziale classico ed $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ è un parametro reale corrispondente all'energia. Per alcuni sistemi fisici, questa equazione non ammette soluzioni per $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ arbitrario, ma solo per alcuni suoi valori discreti. In questo modo Schrödinger riuscì a spiegare la natura delle condizioni di quantizzazione di Bohr. Se si considera anche la dinamica delle soluzioni d'onda, cioè si considera la dipendenza temporale della funzione d'onda :

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

si può ottenere l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

supponendo che l'energia sia proporzionale alla derivata temporale della funzione d'onda:

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

Questa equivalenza fra la derivata temporale e energia della funzione d'onda fu il primo esempio di come nella meccanica quantistica alle osservabili classiche possano corrispondere operatori differenziali. Mentre in meccanica classica lo stato di una particella viene definito attraverso il valore delle grandezze vettoriali posizione e velocità (o impulso, nelle variabili canoniche), nella formulazione di Schrödinger lo stato di una particella viene quindi descritto dalla funzione d'onda, che assume in generale valori complessi . Nell' interpretazione di Copenaghen la funzione d'onda non ha un proprio significato fisico, mentre lo ha il suo modulo al quadrato, che fornisce la distribuzione di probabilità dell'osservabile posizione. Per ogni volume dello spazio, l'integrale del modulo quadro della funzione d'onda

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

assegna la probabilità di trovare la particella dentro quel volume, quando si misura la sua posizione. Il significato di questa probabilità può essere interpretato come segue: avendo a disposizione infiniti sistemi identici, effettuando la stessa misura su tutti i sistemi contemporaneamente, la distribuzione dei valori ottenuti è proprio il modulo quadro della funzione d'onda . Similmente, il modulo quadro della trasformata di Fourier della funzione d'onda fornisce la distribuzione di probabilità dell'impulso della particella stessa. Nell'interpretazione di Copenaghen, la teoria quantistica è in grado di fornire informazioni solo sulle probabilità di ottenere un dato valore quando si misura una grandezza osservabile. Tanto più la distribuzione di probabilità della posizione di una particella è concentrata attorno a un punto e quindi la particella quantistica è "ben localizzata", tanto più la distribuzione degli impulsi si allarga aumentandone l'incertezza, e viceversa. Si tratta del principio di indeterminazione di Heisenberg , che emerge naturalmente nella meccanica ondulatoria dalle proprietà della trasformata di Fourier : è impossibile costruire una funzione d'onda arbitrariamente ben localizzata sia in posizione che in impulso.

Diffrazione di Bragg

La funzione d'onda che descrive lo stato del sistema può cambiare al passare del tempo. Ad esempio, una particella che si muove in uno spazio vuoto è descritta da una funzione d'onda costituita da un pacchetto d'onda centrato in una posizione media. Al passare del tempo il centro del pacchetto d'onda cambia, in modo che la particella può successivamente essere localizzata in una posizione differente con maggiore probabilità. L'evoluzione temporale della funzione d'onda è dettata dall' equazione di Schrödinger . Alcune funzioni d'onda descrivono distribuzioni di probabilità che sono costanti nel tempo. Molti sistemi trattati in meccanica classica possono essere descritti da queste onde stazionarie . Ad esempio, un elettrone in un atomo è descritto classicamente come una particella che ruota attorno al nucleo atomico , mentre in meccanica quantistica esso può essere descritto da un'onda stazionaria che presenta una determinata funzione di distribuzione dotata di simmetria sferica rispetto al nucleo. Questa intuizione è alla base del modello atomico di Bohr .

Benché ogni singola misura ottenga un valore definito, e non, per esempio, un valore medio, la meccanica quantistica non permette di prevedere a priori il risultato di una misurazione. Questo problema, spesso chiamato "problema della misura", ha dato vita ad uno dei più profondi e complessi dibattiti intellettuali della storia della scienza . Secondo l'interpretazione di Copenaghen, quando viene effettuata una misura di un'osservabile l'evoluzione del sistema secondo l'equazione di Schrödinger viene interrotta e si determina il cosiddetto collasso della funzione d'onda , che porta il vettore di stato ad una autofunzione ( autostato ) dell'osservabile misurata, fornendo un valore che aveva una certa probabilità di essere effettivamente osservato. Il collasso della funzione d'onda all'atto della misura non è descritto dall'equazione di Schrödinger, che stabilisce solo l'evoluzione temporale del sistema ed è strettamente deterministica, in quanto è possibile prevedere la forma della funzione d'onda a un qualsiasi istante successivo. La natura probabilistica della meccanica quantistica si manifesta invece all'atto della misura.

Rappresentazione di orbitali atomici

Orbitale atomico

Lo stesso argomento in dettaglio: Orbitale atomico .

Con il concetto di "principio di indeterminazione", quello di "complementarità", con la funzione d'onda e relativo collasso, il modello quantizzato dell'atomo di Bohr si ridefinisce ancora: oltre alla quantizzazione dei livelli energetici, l' elettrone che ruota intorno al nucleo atomico è sostituito dall' orbitale atomico . L'elettrone non è più visto solo come una particella puntiforme localizzata nello spazio, ma anche in generale come onda intorno al nucleo, il cui valore assoluto al quadrato rappresenta la probabilità che un elettrone si "materializzi" in un punto se sottoposto ad osservazione fisica diretta.

Formulazione hamiltoniana

Paul Dirac , noto per la sua Equazione di Dirac nell'ambito della meccanica quantistica relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Postulati della meccanica quantistica e Meccanica hamiltoniana .

John von Neumann , noto per i contributi alla formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica

La formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica si basa principalmente sui lavori di Paul Dirac, Hermann Weyl e John von Neumann . In questa formulazione l'evoluzione temporale degli stati viene espressa in funzione dell' Hamiltoniana del sistema, descritta con le variabili canoniche coniugate di posizione e impulso .

Questa formulazione, nel quadro dell' interpretazione di Copenaghen , si basa su quattro postulati, detti anche principi, la cui validità deve essere verificata direttamente in base al confronto delle previsioni con gli esperimenti: ^[29] ^[30] ^[31] ^[32]

Lo stato fisico di un sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ è rappresentato da un raggio vettore unitario di uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ . Nella notazione di Dirac un vettore è indicato con un ket, ad esempio come $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ , mentre il prodotto scalare fra due vettori $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ e $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ è indicato con $\langle \Phi |\Psi \rangle$ $\langle \Phi |\Psi \rangle$ $\langle \Phi |\Psi \rangle$ . In questo modo, uno stato $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ è definito a meno di una fase complessa inosservabile in modo che:
$\langle \Psi |\Psi \rangle =1$ $\langle \Psi |\Psi \rangle =1$ $\langle \Psi |\Psi \rangle =1$
Per ogni osservabile fisica ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ riferita al sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ esiste un operatore hermitiano lineare $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ che agisce sui vettori che rappresentano ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ .
Gli autovalori $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ associati all'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ dell'operatore $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ , che soddisfano quindi:
$O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ $O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ $O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ ,
corrispondono ai possibili risultati della misura dell'osservabile fisica ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ . La probabilità $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ che la misura di ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ sul sistema nello stato $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ dia come risultato un qualsiasi autovalore $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ vale:
$P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$ $P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$ $P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$
Questa legge sulla probabilità è nota come regola di Born . I vettori $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ sono scelti in modo tale da formare una base ortonormale dello spazio di Hilbert, cioè soddisfano:
$\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{{ij}}$
Se non è effettuata alcuna misura sul sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ rappresentato da $|\Phi (t_{0})\rangle$ $|\Phi (t_{0})\rangle$ $|\Phi (t_{0})\rangle$ ad un dato istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , allora ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ evolve ad un altro istante $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ in maniera deterministica in base all'equazione lineare di Schrödinger:
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$ $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$ $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$
dove $H(t)$ ${\displaystyle H(t)}$ $H(t)$ è l'operatore hamiltoniano che corrisponde all'osservabile energia . Se invece è effettuata una misura di una osservabile ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ sul sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ , allora questo collassa in modo casuale nell'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ corrispondente all'autovalore $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ osservato. La probabilità che a seguito di una misura lo stato $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ collassi in $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ è data sempre dalla regola di Born.

L'interpretazione di Copenaghen descrive il processo di misura in termini probabilistici. Questo significa che il risultato di una misura in generale non può essere previsto con certezza nemmeno se si dispone di una completa conoscenza dello stato che viene misurato.

L'evoluzione degli stati nella meccanica quantistica obbedisce a leggi di tipo deterministico finché non sono effettuate misure. Al contrario in generale la misura di una qualsiasi proprietà di un sistema è descritta da un processo casuale. Il collasso della funzione d'onda non permette di stabilire in modo univoco lo stato del sistema antecedente alla misura. Questa differenza profonda di comportamenti dei sistemi, quando sono sotto osservazione rispetto a quando non lo sono, è stata spesso oggetto di ampi dibattiti anche di carattere filosofico ed è chiamata come "Problema della Misura". ^[33]

Il problema della quantizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Quantizzazione (fisica) .

Richard Feynman , noto per la formulazione lagrangiana della meccanica quantistica attraverso l' integrale sui cammini

I postulati della meccanica quantistica stabiliscono che ogni stato è rappresentato da un vettore dello spazio di Hilbert ma, fra tutti i possibili spazi di Hilbert, i postulati non indicano quale scegliere. Inoltre non viene stabilita una precisa mappa che ad ogni osservabile associ un rispettivo operatore che agisca sullo spazio Hilbert degli stati; i postulati si limitano semplicemente ad affermare che questa mappa esiste. Fissare lo spazio di Hilbert degli stati e stabilire la corrispondenza osservabile-operatore determina il "problema della quantizzazione", che ammette diverse soluzioni. Alcune di queste sono equivalenti dal punto di vista fisico e sono legate fra loro solo attraverso trasformazioni dello spazio di Hilbert. Per scegliere una quantizzazione, oltre a considerare il sistema fisico da descrivere, si possono imporre condizioni di compatibilità aggiuntive fra le strutture algebriche della meccanica classica e quelle quantistiche. ^[34] Nella quantizzazione canonica ad esempio tutti gli stati sono funzioni a quadrato sommabile delle coordinate:

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

All'osservabile momento lineare (quantità di moto) può essere associato l'operatore:

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

che a meno di costanti dimensionali deriva la funzione d'onda, mentre all'osservabile posizione:

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

che moltiplica la funzione d'onda per la coordinata $x_{i}$ $x_{i}$ $x_i$ . Ogni altra osservabile delle coordinate e degli impulsi $f(x_{i},p_{i})$ $f(x_{i},p_{i})$ $f(x_{i},p_{i})$ sarà ottenuta mediante sostituzione $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ e simmetrizzazione.

Formulazione lagrangiana

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale sui cammini .

Questi sono solamente tre degli infiniti cammini che contribuiscono all'ampiezza quantistica di una particella che si muove dal punto A al tempo t ₀ fino al punto B al tempo t ₁ . Nessuna particolare richiesta viene fatta in merito alle proprietà dei cammini fatta salvo la continuità: una curva possibile potrebbe anche essere non differenziabile.

La formulazione lagrangiana della meccanica quantistica è dovuta principalmente ai lavori di Feynman , che la introdusse negli anni quaranta e che ne dimostrò l'equivalenza con la formulazione Hamiltoniana. Le variabili posizione e velocità sono usate in questa formulazione per la descrizione dello stato, mentre l'evoluzione temporale è legata invece alla lagrangiana del sistema.

Feynman ebbe l'idea di interpretare la natura probabilistica della meccanica quantistica come la somma pesata dei contributi di tutte le evoluzioni possibili per un sistema, indipendentemente da quelle indicate dalla meccanica classica. In questo modo una particella quantistica puntiforme si propaga fra due punti A e B dello spazio seguendo tutti i cammini possibili. Ad ogni singolo cammino è associato un peso, proporzionale all'esponenziale immaginario dell'azione classica. La probabilità di raggiungere B è proporzionale quindi al modulo quadro della somma dei contributi dei singoli cammini.

L'intera formulazione è basata su tre postulati: ^[35]

Esiste un funzione complessa $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ , chiamata propagatore, il cui modulo quadro è proporzionale alla probabilità $P(x\rightarrow y)$ $P(x\rightarrow y)$ $P(x\rightarrow y)$ che una particella localizzata al punto x all'istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ si trovi localizzata al punto y all'istante $t_{1}$ $t_{1}$ $t_1$ :
$P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$ $P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$ $P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$
In questo modo, lo stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi (x;t_{0})$ $\Psi (x;t_{0})$ $\Psi (x;t_{0})$ all'istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ si evolverà all'istante $t_{1}$ $t_{1}$ $t_1$ fino allo stato $\Psi (x;t_{1})$ $\Psi (x;t_{1})$ $\Psi (x;t_{1})$ definito da:
$\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$ $\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$ $\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$
Il propagatore $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ può essere scritto come una somma di contributi $\phi$ $\phi$ $\phi$ definiti lungo tutti i percorsi continui $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ , detti cammini , che congiungono il punto x con il punto y:
$K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$ $K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$ $K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$
Il contributo $\phi [\gamma ]$ $\phi [\gamma ]$ $\phi [\gamma ]$ di un singolo cammino vale:
$\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{classica}[\gamma ]\right)}$ $\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{classica}[\gamma ]\right)}$ $\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{{classica}}[\gamma ]\right)}$
dove la costante C è definita in modo che la somma su tutti i cammini del propagatore converga nel limite $t_{1}\rightarrow t_{0}$ $t_{1}\rightarrow t_{0}$ $t_{1}\rightarrow t_{0}$ . ^[36] $S_{classica}[\gamma ]$ $S_{classica}[\gamma ]$ $S_{{classica}}[\gamma ]$ indica invece l'azione classica associata alla curva $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .

Le curve $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che contribuiscono al propagatore sono determinate unicamente dagli estremi $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ e dalla sola condizione di continuità; una possibile curva potrebbe anche essere non differenziabile. Questo tipo di formulazione rende particolarmente agevole uno sviluppo semiclassico della meccanica quantistica, uno sviluppo asintotico in serie rispetto alla variabile $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ . ^[37]

Con la formulazione lagrangiana introdotta da Feynman è stato possibile evidenziare un'equivalenza fra il moto browniano e la particella quantistica. ^[37]

Effetti quantistici

Per via dell' effetto tunnel , una particella lanciata contro una barriera di potenziale ha una probabilità non nulla di oltrepassare la barriera, come accade effettivamente per un fenomeno ondulatorio.

Esistono numerosi esperimenti che hanno confermato o che hanno permesso di intuire la natura della materia e dalla radiazione a scale microscopiche descritta dalla meccanica quantistica. Molti di questi esperimenti hanno portato alla scoperta di effetti quantistici, spesso controintuitivi rispetto alla meccanica classica. Dal punto di vista storico, l' effetto fotoelettrico e lo studio dello spettro del corpo nero sono stati fra i primi esperimenti a mostrare la natura quantistica del campo elettromagnetico, che ha portato alla scoperta e alla formulazione teorica del fotone e alla verifica della legge di Planck , secondo la quale l'energia dei fotoni è proporzionale alla loro frequenza. Lo spettro dell'atomo di idrogeno ha invece portato prima allo sviluppo del modello atomico di Bohr-Sommerfeld , poi ha permesso di formulare e verificare l'equazione di Schrödinger.

L' effetto tunnel consiste nella possibilità, negata dalla meccanica classica, di un elettrone di superare una barriera di potenziale anche se non ha l'energia per farlo. Gli esperimenti sull' entanglement quantistico sono stati fondamentali nel rigettare il paradosso EPR . In tempi più recenti, la superconduttività e la superfluidità hanno attirato sempre maggiore attenzione per i possibili sviluppi tecnologici, fenomeni che sono studiati dalla fisica della materia condensata . L' effetto Casimir è stato invece fondamentale per comprendere le fluttuazioni quantiche dei campi nel vuoto, ed è legato alla scoperta dell' energia del vuoto .

Cronologia essenziale

Lo stesso argomento in dettaglio: Cronologia della meccanica quantistica .

Esperimento della doppia fenditura : se un fascio di elettroni è sparato contemporaneamente attraverso due fenditure equidistanti origina su uno schermo rilevatore una figura d'interferenza, tipica dei fenomeni ondulatori.

1900 : Max Planck introduce l'idea che l'emissione di energia elettromagnetica sia quantizzata, riuscendo così a giustificare teoricamente la legge empirica che descrive la dipendenza dell'energia della radiazione emessa da un corpo nero dalla frequenza.
1905 : Albert Einstein spiega l' effetto fotoelettrico sulla base dell'ipotesi che l'energia del campo elettromagnetico sia trasportata da quanti di luce (che nel 1926 saranno chiamati fotoni ).
1913 : Niels Bohr interpreta le linee spettrali dell'atomo di idrogeno ricorrendo alla quantizzazione dei livelli energetici dell'elettrone.
1915 : Arnold Sommerfeld generalizza i precedenti metodi di quantizzazione, introducendo le cosiddette regole di Bohr-Sommerfeld.

I succitati risultati costituiscono la vecchia teoria dei quanti .

1924 : Louis de Broglie elabora una teoria delle onde materiali , secondo la quale ai corpuscoli materiali possono essere associate proprietà ondulatorie.
1925 : Werner Karl Heisenberg , Max Born e Pascual Jordan formulano la meccanica delle matrici .
1926 : Erwin Schrödinger elabora la meccanica ondulatoria , che dimostra equivalente, dal punto di vista matematico, alla meccanica delle matrici. Max Born formula l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda .
1927 : Heisenberg formula il principio di indeterminazione ; pochi mesi più tardi prende forma la cosiddetta interpretazione di Copenaghen .
1927 : Paul Dirac include nella meccanica quantistica la relatività ristretta ; fa un uso diffuso della teoria degli operatori nella quale introduce la notazione bra-ket .
1932 : John von Neumann assicura rigorose basi matematiche alla formulazione della teoria degli operatori.
1940 : Feynman , Dyson , Schwinger e Tomonaga formulano l' elettrodinamica quantistica (QED), che servirà come modello per le successive teorie di campo .
1956 : Everett propone l' interpretazione a molti mondi .
1960 : inizia l'elaborazione della cromodinamica quantistica (QCD).
1964 : John Stewart Bell formula l' omonimo teorema .
1975 : David Politzer , David Gross e Frank Wilczek formulano la QCD nella forma attualmente accettata.
1982 : un gruppo di ricercatori dell'Istituto Ottico di Orsay, diretto da Alain Aspect , conclude con successo una lunga serie di esperimenti che mostrano una violazione delle disuguaglianze di Bell , confermando le previsioni teoriche della meccanica quantistica.

Interpretazioni della meccanica quantistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Interpretazione della meccanica quantistica .

Ilparadosso del gatto di Schrödinger illustrato con il gatto in sovrapposizione tra gli stati "vivo" e "morto". Secondo l' interpretazione di Copenaghen il gatto è allo stesso tempo sia vivo sia morto, la realtà di un gatto vivo o morto si determina solo nel momento in cui il gatto stesso viene osservato.

Esistono diverse "interpretazioni" della meccanica quantistica che cercano, in modi diversi, di costruire un ponte fra il formalismo della teoria che sembra descrivere bene il mondo fisico microscopico e il comportamento "classico" che la materia esibisce a livello macroscopico. Una interpretazione della meccanica quantistica è l'insieme degli enunciati volti a stabilire un ponte fra il formalismo matematico su cui è stata basata la teoria e la realtà fisica che questa astrazione matematica dovrebbe rappresentare. Inoltre, come caratteristica peculiare della meccanica quantistica, una interpretazione è focalizzata anche a determinare il comportamento di tutto ciò che non è osservato in un esperimento. ^[38] L'importanza di stabilire in che modo si comporta un dato sistema fisico anche quando non è osservato, dipende dal fatto che il processo di misura interagisce in maniera irreversibile con il sistema stesso, in modo tale che non è possibile ricostruirne completamente lo stato originario. Secondo alcuni fisici questo rappresenta una limitazione insuperabile della nostra conoscenza del mondo fisico, che sancisce una divisione fra quello che è possibile stabilire in merito al risultato di un esperimento e la realtà oggetto dell'osservazione. Come disse Bohr :

( EN ) «There is no quantum world. There is only an abstract physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about nature...»	( IT ) «Non esiste alcun mondo quantistico. C'è solo una astratta descrizione fisica. È sbagliato pensare che il compito della fisica sia di scoprire come è la natura. La fisica riguarda quello che noi possiamo dire a riguardo della natura...»
( Niels Bohr ^[39] )

Secondo l' interpretazione a molti mondi della meccanica quantistica, nel paradosso del gatto di Schrödinger quando si apre la scatola si creano due mondi paralleli, uno in cui il gatto è vivo e un altro in cui il gatto è morto.

Sulla base di questa posizione, Niels Bohr stesso in collaborazione con altri fisici, come Heisenberg, Max Born , Pascual Jordan e Wolfgang Pauli , formulò l'interpretazione di Copenaghen, una delle più conosciute e famose interpretazioni della meccanica quantistica, i cui enunciati sono inclusi anche in alcune versioni deipostulati della meccanica quantistica . ^[40] Il nome deriva dal fatto che molti dei fisici che vi hanno contribuito sono collegati, per diversi motivi, alla città di Copenaghen. L'interpretazione di Copenaghen non è stata mai enunciata, nella forma odierna, da nessuno di questi fisici, anche se le loro speculazioni hanno diversi tratti in comune con essa. In particolare, la visione di Bohr è molto più elaborata dell'interpretazione di Copenaghen, e potrebbe anche essere considerata separatamente come interpretazione della complementarità in meccanica quantistica .

Esistono tuttavia molte altre interpretazioni della meccanica quantistica. L' interpretazione a "molti mondi" è una fra le più note interpretazioni ^[41] alternative a quella di Copenaghen e sostiene che ad ogni misurazione la storia del nostro universo si separi in un insieme di universi paralleli, uno per ogni possibile risultato del processo di misurazione. Questa interpretazione nasce da un articolo del 1957 scritto da Hugh Everett III , ^[42] tuttavia le sue caratteristiche fondamentali non sono mai state delineate in maniera unitaria. La più nota versione di questa interpretazione si deve ai lavori di De Witt e Graham negli anni settanta.

Ciascuna interpretazione si differenzia in particolare per il significato dato alla funzione d'onda. Secondo alcune possibilità questa rappresenterebbe una entità reale che esiste sempre e indipendentemente dall'osservatore. Secondo altre interpretazioni, come quella di Bohr, la funzione d'onda rappresenta invece semplicemente una informazione soggettiva del sistema fisico rispetto e strettamente relativa ad un osservatore. Fra queste due alternative visioni è ancora presente un dibattito nella comunità fisica. ^[43]

Dibattito fisico e filosofico

Lo stesso argomento in dettaglio: Osservabile , Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen , Principio di località , Probabilismo e Indeterminismo .

Max Born , noto per l'interpretazione statistica della funzione d'onda

Sin dai primi sviluppi della meccanica quantistica, le leggi formulate in base alle evidenze sperimentali sul mondo atomico hanno dato vita a complessi dibattiti di carattere fisico e filosofico. Una delle maggiori difficoltà riscontrate dal mondo scientifico di allora, riguardava l'abbandono della descrizione dello stato fisico di un sistema in termini di tutte le sue variabili contemporaneamente note con precisione arbitraria. Secondo l'interpretazione di Copenaghen, la limitata conoscenza dello stato fisico di un sistema è una proprietà intrinseca della natura e non limite degli strumenti di analisi sperimentali utilizzati o in ultimo dei nostri stessi sensi. Questa posizione non fu accolta positivamente da tutto il mondo scientifico e ancora oggi è oggetto di dibattito. Già Einstein mosse le sue critiche a questi sviluppi della meccanica quantistica, sostenendo:

( EN ) «I incline to the opinion that the wave function does not (completely) describe what is real, but only a (to us) empirically accessible maximal knowledge regarding that which really exists […] This is what I mean when I advance the view that quantum mechanics gives an incomplete description of the real state of affairs.»	( IT ) «Io propendo per l'opinione che la funzione d'onda non descrive (completamente) cosa è reale, ma solo una massima conoscenza empiricamente accessibile (a noi) per quanto riguarda ciò che realmente esiste […] Questo è quello che intendo quando io sostengo il punto di vista secondo cui la meccanica quantistica fornisce una descrizione incompleta dello stato reale della situazione.»
( Albert Einstein , Lettera a PS Epstein, 10 novembre 1945 )

Le resistenze di Einstein nei confronti dell'interpretazione di Copenaghen e dei suoi paradossi, furono superate grazie al grande potere predittivo che le formulazioni della meccanica quantistica hanno dimostrato negli esperimenti condotti nel XX secolo. Queste conferme sperimentali spinsero ad accettare i principi ei postulati della meccanica quantistica, sebbene la questione di quale sia la realtà al di fuori degli esperimenti resti ancora aperta. In ultima analisi, la risposta alla domanda su quale possa essere la realtà dovrebbe essere fornita e rimandata ad una teoria del tutto, ovvero ad una teoria che sia capace di descrivere coerentemente tutti i fenomeni osservati in natura, che includa anche la forza di gravità e non solo le interazioni nucleari e subnucleari. L'impossibilità di conoscere simultaneamente ed esattamente il valore di due osservabili fisiche corrispondenti ad operatori che non commutano, ha rappresentato storicamente una difficoltà nell'interpretare le leggi della meccanica quantistica.

Hermann Weyl

Un altro punto particolarmente oggetto di aspre critiche riguarda il ruolo della funzione d'onda e l'interpretazione secondo cui un sistema fisico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati differenti. Che quanto sopra enunciato sia, effettivamente, un problema concettuale e formale, venne messo in luce già nel 1935 quando Erwin Schrödinger ideò l'omonimoparadosso del gatto . ^[44] Molto si è discusso, inoltre, su una peculiarità molto affascinante della teoria: il collasso della funzione d'onda sembrerebbe violare il principio di località . Questa caratteristica è stata messa in luce a partire da un altro famoso "paradosso", quello ideato da Einstein, Podolsky e Rosen nel 1935, chiamato paradosso EPR e che avrebbe dovuto dimostrare come la descrizione fisica della realtà fornita dalla meccanica quantistica sia incompleta. ^[45]

Albert Einstein, pur avendo contribuito alla nascita della meccanica quantistica, criticò la teoria dal punto di vista concettuale. Per Einstein era inconcepibile che una teoria fisica potesse essere valida e completa , pur descrivendo una realtà in cui esistono delle mere probabilità di osservare alcuni eventi e in cui queste probabilità non sono statistiche ma ontologiche. Le critiche di Einstein si riferiscono alla meccanica quantistica nella "interpretazione" di Bohr e della scuola di Copenaghen (all'epoca non c'erano altre interpretazioni altrettanto apprezzate), ed è in questo contesto che va "letto" il "paradosso EPR".

Einstein non accettava inoltre l'assunto della teoria in base al quale qualcosa esiste solo se viene osservato. Einstein sosteneva che la realtà (fatta di materia, radiazione, ecc.) sia un elemento oggettivo, che esiste indipendentemente dalla presenza o meno di un osservatore e indipendentemente dalle interazioni che può avere con altra materia o radiazione. Bohr, al contrario, sosteneva che la realtà (dal punto di vista del fisico, chiaramente) esiste o si manifesta solo nel momento in cui viene osservata, anche perché, faceva notare, non esiste neanche in linea di principio un metodo atto a stabilire se qualcosa esiste mentre non viene osservato. È rimasta famosa, tra i lunghi e accesi dibattiti che videro protagonisti proprio Einstein e Bohr, la domanda di Einstein rivolta proprio a Bohr: "Allora lei sostiene che la Luna non esiste quando nessuno la osserva?". Bohr rispose che la domanda non poteva essere posta perché concettualmente priva di risposta.

"Realtà" della funzione d'onda

John Stewart Bell , noto per il suo Teorema di Bell

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorie delle variabili nascoste .

Un grande dibattito filosofico si è concentrato attorno a quale "realtà" abbia la funzione d'onda, e quindi l'intero formalismo della meccanica quantistica, rispetto alla natura che si vuole descrivere e all'osservatore che effettua la misurazione. ^[43] Un possibile punto di vista prevede che la funzione d'onda sia una realtà oggettiva, che esiste indipendentemente dall'osservatore, e che rappresenti o sia equivalente all'intero sistema fisico descritto. All'opposto, la funzione d'onda potrebbe rappresentare, secondo un altro punto di vista, solo la massima conoscenza che un preciso osservatore è in grado di avere di un dato sistema fisico. Bohr durante questo tipo di dibattiti sembrò propendere per questa seconda possibilità.

La risposta a questo tipo di interrogativi non è semplice per il fatto che una teoria dell'intero universo come la meccanica quantistica dovrebbe anche descrivere il comportamento degli osservatori che vi sono dentro, spostando quindi il problema della realtà della funzione d'onda al problema della realtà degli osservatori stessi. In termini generali, si può osservare che esiste una differenza fra le previsioni della meccanica quantistica fornite dalla funzione d'onda e le previsioni probabilistiche che è possibile avere ad esempio per il meteo. Nel secondo caso, due previsioni del tempo indipendenti potrebbero dare risultati differenti, in base al fatto che potrebbero avere una diversa accuratezza nella conoscenza dello stato attuale della temperatura e della pressione dell'atmosfera. Nel caso della meccanica quantistica tuttavia, il carattere probabilistico è intrinseco ed è indipendente dal tipo di misurazioni che vengono effettuate. In questo senso, la funzione d'onda assume un significato oggettivo di realtà e non semplicemente uno soggettivo di ciò che è probabile che la natura manifesti.

Estensioni della meccanica quantistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria quantistica dei campi .

La meccanica quantistica è stata in grado di spiegare la struttura atomica , (3) e (4), come pure di descrivere qualitativamente le proprietà macroscopiche della materia, (1) e (2). Le estensioni con la relatività ristretta hanno permesso infine di avere un modello coerente della struttura nucleare e subatomica (5). Alcune teorie, come quella delle stringhe , dovrebbero essere in grado di includere la gravità e descrivere il mondo fino alla scala di Planck , (6).

Nonostante i suoi numerosi successi, la meccanica quantistica sviluppata agli inizi del XX secolo non può essere considerata una teoria definitiva capace di descrivere tutti i fenomeni fisici. Un primo limite fondamentale della teoria, già ben presente agli stessi scienziati che la formularono, è la sua incompatibilità con i postulati della relatività ristretta e generale . Inoltre la formulazione originaria è inadatta a rappresentare sistemi dove il numero di particelle presenti vari nel tempo.

L'equazione di Schrödinger è simmetrica rispetto al gruppo di trasformazioni di Galileo e ha come corrispettivo classico le leggi della meccanica di Newton . ^[46] L'evoluzione temporale degli stati fisici non è quindi compatibile con la relatività ristretta. Tuttavia i principi della meccanica quantistica possono essere generalizzati in modo da essere in accordo con il quadro della relatività ristretta, ottenendo la teoria quantistica dei campi . Gli effetti associati all'invarianza per trasformazioni di Lorentz richiesta dalla relatività ristretta hanno come conseguenza la non conservazione del numero di particelle. Infatti, in base alla relazione fra massa ed energia, un quanto energetico può essere assorbito o emesso da una particella. ^[47] La descrizione completa dell'interazione elettromagnetica fra i fotoni e le particelle cariche è fornita dall' elettrodinamica quantistica , teoria quantistica di campo capace di spiegare l'interazione tra radiazione e materia e, in linea di principio, anche le interazioni chimiche interatomiche. ^[48]

La cromodinamica quantistica è una teoria che descrive la struttura nucleare in termini di interazioni fra quark e gluoni . Il neutrone ad esempio è costituito da due quark di valenza down e uno up che interagiscono scambiando gluoni.

Nella seconda metà del XX secolo la teoria di campo quantistica è stata estesa alla descrizione delle interazioni forti che avvengono all'interno del nucleo fra i quark e gluoni , con la cromodinamica quantistica . ^[49] Ulteriori sviluppi hanno permesso di unificare la forza elettrica con la forza debole , responsabile dei decadimenti nucleari .

Anche la formulazione quantistica delle teorie di campo resta in disaccordo con i principi della teoria della relatività generale , questo rende perciò estremamente complesso formulare una teoria in cui la gravità obbedisce anche ai principi della meccanica quantistica. ^[50] La cosiddetta teoria quantistica della gravitazione è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo. Ovviamente, viste le numerose conferme sperimentali delle due teorie, la teoria unificata dovrà includere le altre due come approssimazioni, quando le condizioni ricadono nell'uno o nell'altro caso.

Numerose proposte sono state avanzate in questa direzione, come ad esempio la gravitazione quantistica a loop , in inglese Loop Quantum Gravity (LQG), o la teoria delle stringhe . La teoria delle stringhe per esempio estende la formulazione della meccanica quantistica considerando, al posto di particelle puntiformi, oggetti monodimensionali (le stringhe) come gradi di libertà fondamentali dei costituenti materia. ^[51]

Applicazioni

Una buona parte delle tecnologie moderne sono basate, per il loro funzionamento, sulla meccanica quantistica. Ad esempio il laser , il microscopio elettronico e la risonanza magnetica nucleare . Inoltre, molti calcoli di chimica computazionale si basano su questa teoria.

Elettronica

Lo stesso argomento in dettaglio: Semiconduttore , Ottica quantistica e Optoelettronica .

Una CPU Intel core I7 contiene oltre 700 milioni di transistor .

Livelli energetici consentiti ad un elettrone in un semiconduttore . La zona blu, chiamata banda di valenza , è occupata interamente dagli elettroni, mentre la zona gialla, chiamata banda di conduzione , è libera e può essere percorsa da elettroni liberi (i punti neri)

Molti dei fenomeni studiati in fisica dello stato solido sono di natura quanto-meccanica. Lo studio dei livelli energetici degli elettroni nelle molecole ha permesso lo sviluppo di numerose tecnologie di centrale importanza nel XX secolo. I semiconduttori, come il silicio, presentano alternanza di bande di energia permessa e proibita, cioè insiemi continui di valori energetici permessi o proibiti agli elettroni. L'ultima banda di un semiconduttore, detta banda di conduzione, è parzialmente occupata da elettroni. Per questo motivo, se ad un semiconduttore si aggiungono impurità costituite da atomi in grado di cedere o accettare elettroni, si potranno avere cariche negative o positive libere in grado di ricombinarsi. ^[52]

Componendo fra loro strati di semiconduttori con queste opposte impurità si può ottenere un dispositivo in grado di far passare la corrente solo in una direzione, come il diodo , oppure un amplificatore di un segnale, come il transistor . ^[53] Entrambi sono elementi indispensabili per l' elettronica moderna; grazie a questo tipo di tecnologie possono essere realizzati in dimensioni estremamente compatte: una moderna CPU può contenere miliardi di transistor in pochi millimetri. ^[54] L'uso di questi tipi di semiconduttori è alla base del funzionamento anche dei pannelli fotovoltaici .

Informatica

Lo stesso argomento in dettaglio: Crittografia quantistica , Computer quantistico e Informatica quantistica .

Le ricerche più innovative sono, attualmente, quelle che studiano metodi per manipolare direttamente gli stati quantistici. Molti sforzi sono stati fatti per sviluppare una crittografia quantistica , che garantirebbe una trasmissione sicurissima dell' informazione in quanto l'informazione non potrebbe essere intercettata senza essere modificata. Un'altra meta che si cerca di raggiungere, anche se con più difficoltà, è lo sviluppo di computer quantistici , basati sul calcolo quantistico che li porterebbe ad eseguire operazioni computazionali con molta più efficienza dei computer classici. Inoltre, nel 2001 è stato realizzato un nottolino quantistico funzionante, versione quantistica del nottolino browniano .

Note

^ ^a ^b Max Planck, "Ueber die Elementarquanta der Materie und der Eletricität" , in Annalen der Physik , vol. 2, 1900, p. 564.
^ Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 3, Addison-Wesley, 1964, p. 1.
^ A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148.
^ Louis de Broglie, "Recherches sur la théorie des quanta" , 1924.
^ Walter Greiner, "Quantum Mechanics: An Introduction" , Springer, 2001, p. 29, ISBN 3-540-67458-6 .
^ W. Heisenberg, "Physikalische Prinzipien der Quantentheorie" , Hirzel, 1930.
^ «Abbiamo qui un impressionante e generale esempio della caduta della meccanica classica - non solamente delle sue leggi del moto, ma un'inadeguatezza dei suoi concetti nel fornirci una descrizione degli eventi atomici» - PAM Dirac - op. cit.
^ John Dalton's Atomic Model , su universetoday.com . URL consultato il 20 settembre 2012 .
^ A BRIEF HISTORY OF THE DEVELOPMENT OF PERIODIC TABLE , su wou.edu . URL consultato il 20 settembre 2012 .
^ The Difficulty of the Rutherford Model of the Nuclear Atom , su kutl.kyushu-u.ac.jp . URL consultato il 20 settembre 2012 (archiviato dall' url originale il 15 novembre 2012) .
^ The Discovery of Electromagnetic Radiation , su juliantrubin.com .
^ Heinrich Hertz, Ueber den Einfluss des ultravioletten Lichtes auf die electrische Entladung , in Annalen der Physik , vol. 267, n. 8, 1887, pp. S. 983–1000, Bibcode : 1887AnP...267..983H , DOI : 10.1002/andp.18872670827 .
^ ( EN ) The Nobel Prize in Physics 1921 - Albert Einstein , su nobelprize.org . URL consultato il 23 settembre 2012 .
^ A proposito della legge di combinazione di Ritz che caratterizzava gli spettri atomici, PAM Dirac commenta: «Questa legge è del tutto incomprensibile dal punto di vista classico». - The principles of quantum mechanics - 4ª ed. Oxford Clarendon Press 1958 - Cap. 1 pag. 2
^ Tomas Alberto Arias, Notes on Bohr-Sommerfeld Quantization and the Classical Limit , su people.ccmr.cornell.edu . URL consultato il 27 dicembre 2012 .
^ Le traiettorie stazionarie $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ del modello di Bohr sono calcolate imponendo la condizione di quantizzazione:
$\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$
dove $n>0$ ${\displaystyle n>0}$ $n>0$ è un numero intero e $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ è la costante di Planck. Le variabili $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ , la quantità di moto , e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ , la posizione, sono le coordinate dello spazio delle fasi . Si postula infine che la traiettoria $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che soddisfa la condizione di quantizzazione sia stabile.
^ ( EN ) The Nature of Matter , su library.thinkquest.org . URL consultato il 1º gennaio 2013 (archiviato dall' url originale l'8 maggio 2013) .
^ Erwin Schrödinger, THE PRESENT SITUATION IN QUANTUM MECHANICS: A TRANSLATION OF SCHRÖDINGER'S "CAT PARADOX PAPER" , su tuhh.de , traduzione di John D. Trimmer, 1935. URL consultato il 1º novembre 2012 (archiviato dall' url originale il 4 dicembre 2012) .
^ ( EN ) Decoherence and Hidden Variables , su scottaaronson.com . URL consultato il 3 novembre 2012 .
^ Il primo lavoro pubblicato di Heisenberg sui suoi lavori sul principio di indeterminazione sulla rivista Zeitschrift für Physik fu: W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , in Z. Phys. , vol. 43, 3–4, 1927, pp. 172–198, Bibcode : 1927ZPhy...43..172H , DOI : 10.1007/BF01397280 .
^ «Dobbiamo assumere che c'è un limite alla precisione dei nostri poteri di osservazione e alla piccolezza del disturbo [che accompagna l'osservazione, NdT] - un limite che è inerente alla natura delle cose e non può essere superato da tecniche migliorate o dall'aumento dell'abilità da parte dell'osservatore» - PAM Dirac - op. cit.
^ Hilgevoord, Jan and Uffink, Jos, The Uncertainty Principle , in The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta, 2012.
^ ( DE ) W. Pauli, Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren , in Zeitschrift für Physik , vol. 31, 1925, pp. 765–783, DOI : 10.1007/BF02980631 .
^ ( EN ) Daniel F. Styer, Miranda S. Balkin, Kathryn M. Becker, Matthew R. Burns, Christopher E. Dudley, Scott T. Forth, Jeremy S. Gaumer, Mark A. Kramer, David C. Oertel, Leonard H. Park, Marie T. Rinkoski, Clait T. Smith, and Timothy D. Wotherspoon,Nine formulations of quantum mechanics ^{[ collegamento interrotto ]} , in American Journal of Physics , vol. 70, 2002, p. 288.
^ ( DE ) W. Heisenberg,Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. , in Zeitschrift für Physik , vol. 33, 1925, pp. 879–893.
^ ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem I ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 79, 27 gennaio 1926, pp. 361-376 (archiviato dall' url originale il 23 marzo 2005) .
^ ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem II ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 79, 23 febbraio 1926, pp. 489-527 (archiviato dall' url originale il 28 gennaio 2005) .
^ ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem IV , in Annalen der Physik , vol. 81, 21 giugno 1926, pp. 109-139.
^ ( EN ) Quantum Mechanics , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .
^ ( EN ) Everett's Relative-State Formulation of Quantum Mechanics , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .
^ ( EN ) Postulates of Quantum Mechanics , su vergil.chemistry.gatech.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .
^ ( EN ) PAM Dirac, The Principles of Quantum Mechanic , 4ª ed., Oxford Science Publication, 1982, ISBN 0-19-852011-5 .
^ ( EN ) Measurement in Quantum Theory , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .
^ ( EN ) S. Twareque Ali, Miroslav Engliš, Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts ( abstract ), 29 maggio 2004.
^ Cenni sulla meccanica quantistica di Feynman ( PDF ), su theory.fi.infn.it , 29 febbraio 2012 (archiviato dall' url originale il 6 agosto 2014) .
^ A. Ranfagni, Trajectories and Rays: The Path-Summation in Quantum Mechanics and Optics , World Scientific Lecture Notes in Physics, 1991, p. 19, ISBN 978-9971-5-0781-7 .
^ ^a ^b Jean Zinn-Justin, Path integral , su scholarpedia.org , 3 marzo 2012.
^ The Copenaghen Interpretation , su mist.npl.washington.edu , 18 febbraio 2012 (archiviato dall' url originale il 17 luglio 2012) .
^ Come quotato in The philosophy of Niels Bohr di Aage Petersen, nel Bulletin of the Atomic Scientists Vol. 19, No. 7 (September 1963); The Genius of Science: A Portrait Gallery (2000) di Abraham Pais, p. 24, e Niels Bohr: Reflections on Subject and Object (2001) di Paul. McEvoy, p. 291
^ " Questa interpretazione non discende direttamente dall'equazione di Schrödinger [l'equazione fondamentale della meccanica ondulatoria, Ndt]. Come trattare con queste asserzioni [l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica, NdT] è un problema che riguarda la fondazione della meccanica quantistica. Voglio insistere ancora una volta che, comunque si interpreti l'origine delle regole della meccanica quantistica, funzionano e, in ultima analisi, questo è tutto ciò che conta», S. Gasiorowicz - Quantum Physics - 3 ed. - Wiley and Sons
^ In un sondaggio condotto nel luglio del 1999 durante un congresso sulla fisica quantistica tenuto all' università di Cambridge è stato chiesto agli scienziati riuniti in quale interpretazione si riconoscevano. Su novanta fisici, solo quattro indicarono l' interpretazione di Copenaghen , trenta per l' interpretazione moderna a molti mondi di Everett , mentre la maggioranza (cinquanta scienziati) risposero “nessuna delle risposte elencate o indeciso”. Manjit Kumar, Quantum , Mondadori, 2017, pp. 346-347, ISBN 978-88-04-60893-6 .
^ ( EN ) Hugh Everett, III, "Relative State" Formulation of Quantum Mechanics , in Rev. Mod. Phys. , vol. 29, n. 3, luglio 1957, p. 454.
^ ^a ^b ( EN ) Does the quantum wave function represent reality? , su phys.org . URL consultato il 30 giugno 2013 .
^ Schrödinger, Erwin (November 1935). "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics)". Naturwissenschaften. 23 (48): 807–812. .
^ ( EN ) A. Einstein, B Podolsky e N Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? ( PDF ), in Physical Review , vol. 47, n. 10, 15 maggio 1935, pp. 777–780, Bibcode : 1935PhRv...47..777E , DOI : 10.1103/PhysRev.47.777 .
^ CR Hagen, Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory , in Phys. Rev. D , vol. 5, 1972, pp. 377–388.
^ Pair Production and Annihilation , su web.pdx.edu . URL consultato il 24 maggio 2012 .
^ DL Andrews, DP Craig, T. Thirunamachandran, Molecular quantum electrodynamics in chemical physics , in International Reviews in Physical Chemistry , vol. 8, 1989, pp. 339-383.
^ William Marciano, Heinz Pagels, Quantum chromodynamics , in Physics Reports , vol. 36, 1977, pp. 137-276, DOI : 10.1016/0370-1573(78)90208-9 .
^ Brian Greene, The Elegant Universe , su nytimes.com . URL consultato il 24 maggio 2012 .
^ Joseph Polchinski , What is String Theory? , 1994.
^ ( EN ) Energy bands , su ecee.colorado.edu . URL consultato il 23 settembre 2012 .
^ ( EN ) How does a transistor work? , su physlink.com .
^ AMD spiega perché la APU Llano ha 1,17 miliardi di transistor , su tomshw.it . URL consultato il 23 settembre 2012 (archiviato dall' url originale il 15 agosto 2012) .

Bibliografia

( FR ) Albert Messiah, Mécanique quantique, tome 1 , Berlino, De Gruyter, 1995, ISBN 978-31-12-32851-4 .
Paul Dirac , I principi della meccanica quantistica , Torino, Bollati Boringhieri, 1999, ISBN 978-88-33-95161-4 .
( EN ) John von Neumann , Mathematical foundations of Quantum Mechanics , Princeton, Princeton University Press, 2018, ISBN 978-06-91-17857-8 .
( EN ) Stephen Gustafson e Israel M. Sigal, Mathematical concepts of quantum mechanics , Berlino, Springer, 2020, ISBN 978-30-30-59561-6 .
( EN ) Franz Schwabl, Quantum mechanics , Berlino, Springer, 2007, ISBN 978-35-40-71932-8 .
( EN ) Franco Strocchi, An introduction to the mathematical structure of quantum mechanics, a short course for mathematicians , Singapore, World Scientific Publishing, 2008, ISBN 978-98-12-83522-2 .
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifsits , Meccanica Quantistica Teoria non relativistica, II Edizione , Roma, Editori riuniti, 1994.
L. Pauling ed EB Wilson Introduction To Quantum Mechanics With Applications To Chemistry (McGrawHill, New York, 1935)
S. Dushman The Elements of Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1938)
M. Planck, L. Silberstein e HT Clarke The origin and development of the quantum theory (Clarendon Press, Oxford, 1922)
F. Reiche, H. Hatfield, e L. Henry The quantum theory (EP Dutton & co., New York, 1922)
JF Frenkel Wave Mechanics: Advanced General Theory (Clarendon Press, Oxford, 1934)
NF Mott Elements of Wave Mechanics (Cambridge University Press, 1958)
Gian Carlo Ghirardi, Un'occhiata alle carte di Dio , Net, 1997.
Manjit Kumar, Quantum. Da Einstein a Bohr, la teoria dei quanti, una nuova idea della realtà , Milano, Mondadori, 2010, ISBN 978-88-04-52660-5 .
V. Moretti Teoria Spettrale e Meccanica Quantistica. Operatori in Spazi di Hilbert (Springer-Verlag, 2010)
A. Amadori, L. Lussardi, Meccanica Quantistica non Relativistica , edizioni Matematicamente.it, 2009, [1]
Werner Heisenberg , Fisica e filosofia , il Saggiatore, 2015, ISBN 978-88-42-82159-5 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikiquote contiene citazioni sulla meccanica quantistica
Wikibooks contiene testi o manuali sulla meccanica quantistica
Wikizionario contiene il lemma di dizionario « meccanica quantistica »
Wikiversità contiene risorse su meccanica quantistica
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla meccanica quantistica

Collegamenti esterni

Meccanica quantistica , su Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
( EN ) Meccanica quantistica , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Opere riguardanti Meccanica quantistica , su Open Library , Internet Archive .
Appunti sulla meccanica quantistica ( PDF ), su people.na.infn.it . URL consultato il 15 giugno 2011 (archiviato dall' url originale l'11 gennaio 2012) .
( EN ) Raccolta di simulazioni interattive sulla meccanica quantistica , su phys.educ.ksu.edu . URL consultato il 16 agosto 2005 (archiviato dall' url originale il 6 ottobre 2014) .
Sigfrido Boffi, Da Laplace a Heisenberg , su pv.infn.it , Università di Pavia .
Furio Ercolessi e Stefano de Gironcoli, Appunti di meccanica quantistica , su fisica.uniud.it , Università di Udine e SISSA (archiviato dall' url originale il 4 marzo 2016) .
E. Bodo, Applicazioni di meccanica quantistica ( PDF ), su w3.uniroma1.it , Sapienza Università di Roma (archiviato dall' url originale il 18 luglio 2013) .
I fondamenti della meccanica quantistica ( PDF ), su theory.fi.infn.it , Università di Firenze (archiviato dall' url originale il 6 agosto 2014) .
Appunti di Meccanica Quantistica non relativistica ( PDF ) ^{[ collegamento interrotto ]} , su dl.getdropbox.com .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 804 · LCCN ( EN ) sh85109469 · GND ( DE ) 4047989-4 · BNF ( FR ) cb11938463d (data) · BNE ( ES ) XX4576425 (data) · NDL ( EN , JA ) 00569870

Portale Quantistica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica

[planck_quantum-1] Max Planck, "Ueber die Elementarquanta der Materie und der Eletricität" , in Annalen der Physik , vol. 2, 1900, p. 564.

[feylect-2] Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics , vol. 3, Addison-Wesley, 1964, p. 1.

[einsteineuristico-3] A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148.

[4] Louis de Broglie, "Recherches sur la théorie des quanta" , 1924.

[5] Walter Greiner, "Quantum Mechanics: An Introduction" , Springer, 2001, p. 29, ISBN 3-540-67458-6 .

[6] W. Heisenberg, "Physikalische Prinzipien der Quantentheorie" , Hirzel, 1930.

[7] «Abbiamo qui un impressionante e generale esempio della caduta della meccanica classica - non solamente delle sue leggi del moto, ma un'inadeguatezza dei suoi concetti nel fornirci una descrizione degli eventi atomici» - PAM Dirac - op. cit.

[8] John Dalton's Atomic Model , su universetoday.com . URL consultato il 20 settembre 2012 .

[9] A BRIEF HISTORY OF THE DEVELOPMENT OF PERIODIC TABLE , su wou.edu . URL consultato il 20 settembre 2012 .

[10] The Difficulty of the Rutherford Model of the Nuclear Atom , su kutl.kyushu-u.ac.jp . URL consultato il 20 settembre 2012 (archiviato dall' url originale il 15 novembre 2012) .

[11] The Discovery of Electromagnetic Radiation , su juliantrubin.com .

[Hertz1887-12] Heinrich Hertz, Ueber den Einfluss des ultravioletten Lichtes auf die electrische Entladung , in Annalen der Physik , vol. 267, n. 8, 1887, pp. S. 983–1000, Bibcode : 1887AnP...267..983H , DOI : 10.1002/andp.18872670827 .

[13] ( EN ) The Nobel Prize in Physics 1921 - Albert Einstein , su nobelprize.org . URL consultato il 23 settembre 2012 .

[postulati-14] A proposito della legge di combinazione di Ritz che caratterizzava gli spettri atomici, PAM Dirac commenta: «Questa legge è del tutto incomprensibile dal punto di vista classico». - The principles of quantum mechanics - 4ª ed. Oxford Clarendon Press 1958 - Cap. 1 pag. 2

[15] Tomas Alberto Arias, Notes on Bohr-Sommerfeld Quantization and the Classical Limit , su people.ccmr.cornell.edu . URL consultato il 27 dicembre 2012 .

[16] Le traiettorie stazionarie $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ del modello di Bohr sono calcolate imponendo la condizione di quantizzazione:
$\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$
dove $n>0$ ${\displaystyle n>0}$ $n>0$ è un numero intero e $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ è la costante di Planck. Le variabili $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ , la quantità di moto , e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ , la posizione, sono le coordinate dello spazio delle fasi . Si postula infine che la traiettoria $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che soddisfa la condizione di quantizzazione sia stabile.

[17] ( EN ) The Nature of Matter , su library.thinkquest.org . URL consultato il 1º gennaio 2013 (archiviato dall' url originale l'8 maggio 2013) .

[18] Erwin Schrödinger, THE PRESENT SITUATION IN QUANTUM MECHANICS: A TRANSLATION OF SCHRÖDINGER'S "CAT PARADOX PAPER" , su tuhh.de , traduzione di John D. Trimmer, 1935. URL consultato il 1º novembre 2012 (archiviato dall' url originale il 4 dicembre 2012) .

[hidden-19] ( EN ) Decoherence and Hidden Variables , su scottaaronson.com . URL consultato il 3 novembre 2012 .

[20] Il primo lavoro pubblicato di Heisenberg sui suoi lavori sul principio di indeterminazione sulla rivista Zeitschrift für Physik fu: W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , in Z. Phys. , vol. 43, 3–4, 1927, pp. 172–198, Bibcode : 1927ZPhy...43..172H , DOI : 10.1007/BF01397280 .

[osservazione-21] «Dobbiamo assumere che c'è un limite alla precisione dei nostri poteri di osservazione e alla piccolezza del disturbo [che accompagna l'osservazione, NdT] - un limite che è inerente alla natura delle cose e non può essere superato da tecniche migliorate o dall'aumento dell'abilità da parte dell'osservatore» - PAM Dirac - op. cit.

[22] Hilgevoord, Jan and Uffink, Jos, The Uncertainty Principle , in The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta, 2012.

[23] ( DE ) W. Pauli, Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren , in Zeitschrift für Physik , vol. 31, 1925, pp. 765–783, DOI : 10.1007/BF02980631 .

[24] ( EN ) Daniel F. Styer, Miranda S. Balkin, Kathryn M. Becker, Matthew R. Burns, Christopher E. Dudley, Scott T. Forth, Jeremy S. Gaumer, Mark A. Kramer, David C. Oertel, Leonard H. Park, Marie T. Rinkoski, Clait T. Smith, and Timothy D. Wotherspoon,Nine formulations of quantum mechanics ^{[ collegamento interrotto ]} , in American Journal of Physics , vol. 70, 2002, p. 288.

[25] ( DE ) W. Heisenberg,Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. , in Zeitschrift für Physik , vol. 33, 1925, pp. 879–893.

[26] ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem I ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 79, 27 gennaio 1926, pp. 361-376 (archiviato dall' url originale il 23 marzo 2005) .

[27] ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem II ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 79, 23 febbraio 1926, pp. 489-527 (archiviato dall' url originale il 28 gennaio 2005) .

[28] ( DE ) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem IV , in Annalen der Physik , vol. 81, 21 giugno 1926, pp. 109-139.

[29] ( EN ) Quantum Mechanics , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .

[everett-30] ( EN ) Everett's Relative-State Formulation of Quantum Mechanics , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .

[31] ( EN ) Postulates of Quantum Mechanics , su vergil.chemistry.gatech.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .

[dirac-32] ( EN ) PAM Dirac, The Principles of Quantum Mechanic , 4ª ed., Oxford Science Publication, 1982, ISBN 0-19-852011-5 .

[33] ( EN ) Measurement in Quantum Theory , su plato.stanford.edu . URL consultato il 6 maggio 2012 .

[34] ( EN ) S. Twareque Ali, Miroslav Engliš, Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts ( abstract ), 29 maggio 2004.

[35] Cenni sulla meccanica quantistica di Feynman ( PDF ), su theory.fi.infn.it , 29 febbraio 2012 (archiviato dall' url originale il 6 agosto 2014) .

[36] A. Ranfagni, Trajectories and Rays: The Path-Summation in Quantum Mechanics and Optics , World Scientific Lecture Notes in Physics, 1991, p. 19, ISBN 978-9971-5-0781-7 .

[justin-37] Jean Zinn-Justin, Path integral , su scholarpedia.org , 3 marzo 2012.

[38] The Copenaghen Interpretation , su mist.npl.washington.edu , 18 febbraio 2012 (archiviato dall' url originale il 17 luglio 2012) .

[39] Come quotato in The philosophy of Niels Bohr di Aage Petersen, nel Bulletin of the Atomic Scientists Vol. 19, No. 7 (September 1963); The Genius of Science: A Portrait Gallery (2000) di Abraham Pais, p. 24, e Niels Bohr: Reflections on Subject and Object (2001) di Paul. McEvoy, p. 291

[origine-40] " Questa interpretazione non discende direttamente dall'equazione di Schrödinger [l'equazione fondamentale della meccanica ondulatoria, Ndt]. Come trattare con queste asserzioni [l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica, NdT] è un problema che riguarda la fondazione della meccanica quantistica. Voglio insistere ancora una volta che, comunque si interpreti l'origine delle regole della meccanica quantistica, funzionano e, in ultima analisi, questo è tutto ciò che conta», S. Gasiorowicz - Quantum Physics - 3 ed. - Wiley and Sons

[41] In un sondaggio condotto nel luglio del 1999 durante un congresso sulla fisica quantistica tenuto all' università di Cambridge è stato chiesto agli scienziati riuniti in quale interpretazione si riconoscevano. Su novanta fisici, solo quattro indicarono l' interpretazione di Copenaghen , trenta per l' interpretazione moderna a molti mondi di Everett , mentre la maggioranza (cinquanta scienziati) risposero “nessuna delle risposte elencate o indeciso”. Manjit Kumar, Quantum , Mondadori, 2017, pp. 346-347, ISBN 978-88-04-60893-6 .

[42] ( EN ) Hugh Everett, III, "Relative State" Formulation of Quantum Mechanics , in Rev. Mod. Phys. , vol. 29, n. 3, luglio 1957, p. 454.

[function_real-43] ( EN ) Does the quantum wave function represent reality? , su phys.org . URL consultato il 30 giugno 2013 .

[44] Schrödinger, Erwin (November 1935). "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics)". Naturwissenschaften. 23 (48): 807–812. .

[EPR-45] ( EN ) A. Einstein, B Podolsky e N Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? ( PDF ), in Physical Review , vol. 47, n. 10, 15 maggio 1935, pp. 777–780, Bibcode : 1935PhRv...47..777E , DOI : 10.1103/PhysRev.47.777 .

[46] CR Hagen, Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory , in Phys. Rev. D , vol. 5, 1972, pp. 377–388.

[47] Pair Production and Annihilation , su web.pdx.edu . URL consultato il 24 maggio 2012 .

[48] DL Andrews, DP Craig, T. Thirunamachandran, Molecular quantum electrodynamics in chemical physics , in International Reviews in Physical Chemistry , vol. 8, 1989, pp. 339-383.

[49] William Marciano, Heinz Pagels, Quantum chromodynamics , in Physics Reports , vol. 36, 1977, pp. 137-276, DOI : 10.1016/0370-1573(78)90208-9 .

[50] Brian Greene, The Elegant Universe , su nytimes.com . URL consultato il 24 maggio 2012 .

[51] Joseph Polchinski , What is String Theory? , 1994.

[52] ( EN ) Energy bands , su ecee.colorado.edu . URL consultato il 23 settembre 2012 .

[53] ( EN ) How does a transistor work? , su physlink.com .

[54] AMD spiega perché la APU Llano ha 1,17 miliardi di transistor , su tomshw.it . URL consultato il 23 settembre 2012 (archiviato dall' url originale il 15 agosto 2012) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

V · D · M Settori della fisica
Macroaree	Fisica applicata · Fisica sperimentale · Fisica teorica
Energia e moto	Meccanica classica · Meccanica razionale · Meccanica del continuo · Meccanica celeste · Meccanica statistica · Termodinamica · Fluidodinamica · Meccanica quantistica
Onde e campi	Gravitazione · Elettromagnetismo · Teoria quantistica dei campi · Relatività ( Relatività speciale · Relatività generale )
Scienze fisiche e matematiche	Fisica dell'acceleratore · Acustica · Astrofisica · Chimica fisica · Fisica computazionale · Fisica della materia condensata · Fisica dello stato solido · Fisica digitale · Fisica tecnica · Fisica matematica · Fisica nucleare · Ottica ( Ottica non lineare · Ottica quantistica ) · Fisica delle particelle · Fisica del plasma · Fisica dei polimeri · Fisica statistica
Fisica e biologia , geologia , economia	Biofisica ( Biomeccanica · Fisica medica · Neurofisica ) · Agrofisica · Fisica dell'atmosfera · Econofisica · Geofisica · Psicofisica

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico