Fluid ideal

Un fluid ideal este un fluid care are densitate constantă și coeficient de viscozitate zero, deci are drept lege constitutivă legea lui Pascal . Cea mai importantă consecință mecanică este că, dacă coeficientul de vâscozitate este zero, nu există tensiuni de forfecare într-un fluid ideal. Rețineți că ipoteza densității constante înseamnă conductivitate zero a căldurii și, prin urmare, reduce tratamentul termodinamic la un tratament pur mecanic.

Unele lichide obișnuite, inclusiv apa , au un coeficient de vâscozitate foarte scăzut și un modul de compresibilitate foarte ridicat. Acest lucru ne determină să le considerăm fluide incompresibile și fluide nevâscoase, adică fluide ideale.

Legea lui Pascal în formă analitică

Același subiect în detaliu: legea lui Pascal .

Într-un fluid ideal, eforturile sunt reduse doar la presiuni, adică la solicitări normale, ${\vec {\sigma }}_{n}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n}}$ , independent de orientare ${\widehat {n}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {n}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {n}}}$ a suprafeței la care se referă:

{\vec {\sigma }}_{n}=-p{\widehat {n}}

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n} = - p {\ widehat {n}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n} = - p {\ widehat {n}}}

De fapt, luând relația Cauchy pentru tensiunile normale într-o poziție P ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ :

{\vec {\sigma }}_{n}={\vec {\sigma }}_{x}\cos {\widehat {ni}}+{\vec {\sigma }}_{y}\cos {\widehat {nj}}+{\vec {\sigma }}_{z}\cos {\widehat {nk}}

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n} = {\ vec {\ sigma}} _ {x} \ cos {\ widehat {ni}} + {\ vec {\ sigma}} _ {y} \ cos {\ widehat {nj}} + {\ vec {\ sigma}} _ {z} \ cos {\ widehat {nk}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n} = {\ vec {\ sigma}} _ {x} \ cos {\ widehat {ni}} + {\ vec {\ sigma}} _ {y} \ cos {\ widehat {nj}} + {\ vec {\ sigma}} _ {z} \ cos {\ widehat {nk}}}

din legea lui Pascal avem egalitatea presiunilor de-a lungul axelor coordonate ale versoarelor normale i, j, k alese în mod arbitrar (adică tocmai independența presiunii față de poziție) și lipsa tensiunilor de forfecare: ${\vec {\sigma }}_{x}=(\sigma _{xx},0,0),{\vec {\sigma }}_{y}=(0,\sigma _{yy},0),{\vec {\sigma }}_{z}=(0,0,\sigma _{zz})$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {x} = (\ sigma _ {xx}, 0,0), {\ vec {\ sigma}} _ {y} = (0, \ sigma _ {yy }, 0), {\ vec {\ sigma}} _ {z} = (0,0, \ sigma _ {zz})}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {x} = (\ sigma _ {xx}, 0,0), {\ vec {\ sigma}} _ {y} = (0, \ sigma _ {yy }, 0), {\ vec {\ sigma}} _ {z} = (0,0, \ sigma _ {zz})}$ cu: $-p=\sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{zz}$ ${\ displaystyle -p = \ sigma _ {xx} = \ sigma _ {yy} = \ sigma _ {zz}}$ ${\ displaystyle -p = \ sigma _ {xx} = \ sigma _ {yy} = \ sigma _ {zz}}$

adică tensorul de tensiune este redus la următoarea formă, indiferent de poziția lui i, j, k:

\ [{\mathbf {T} }]=\left[{\begin{matrix}-p&0&0\\0&-p&0\\0&0&-p\\\end{matrix}}\right]\;\;

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] = \ left [{\ begin {matrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \\\ end { matrice}} \ dreapta] \; \;}

{\ displaystyle \ [{\ mathbf {T}}] = \ left [{\ begin {matrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \\\ end { matrice}} \ dreapta] \; \;}

Aceasta este forma analitică a legii lui Pascal sau definiția analitică a fluidului ideal.

Debit staționar

Prin flux constant ne referim la faptul că mișcarea și, în special, viteza particulelor sau a volumului infinitesimal al fluidului (înțeles ca un corp continuu și omogen) este independentă de timp. În acest caz, prin urmare, se verifică conservarea masei și din aceasta derivăm ecuația continuității .

Se dă un tub de curgere cu secțiuni $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ și $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ în cadrul căreia se află densitățile $\rho _{1}\ ,\ \rho _{2}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} \, \ \ rho _ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} \, \ \ rho _ {2}}$ iar vitezele sunt $v_{1}\ ,\ v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {1} \, \ v_ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {1} \, \ v_ {2}}$ , masa nu poate varia trecând prin tubul de curgere în fracțiunea de timp dt, adică:

dm_{1}=\rho _{1}|v_{1}|S_{1}dt=\rho _{2}|v_{2}|S_{2}dt=dm_{2}

{\ displaystyle dm_ {1} = \ rho _ {1} | v_ {1} | S_ {1} dt = \ rho _ {2} | v_ {2} | S_ {2} dt = dm_ {2}}

{\ displaystyle dm_ {1} = \ rho _ {1} | v_ {1} | S_ {1} dt = \ rho _ {2} | v_ {2} | S_ {2} dt = dm_ {2}}

unde este $dm_{i}$ ${\ displaystyle dm_ {i}}$ ${\ displaystyle dm_ {i}}$ reprezintă o „bucată infinitesimală” de masă, care poate fi integrată numai acolo unde secțiunea este cea respectivă $S_{i}$ ${\ displaystyle S_ {i}}$ $Da}$ .

Prin urmare, fiind $v_{1}\ ,\ v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {1} \, \ v_ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {1} \, \ v_ {2}}$ de acord:

\rho _{1}v_{1}S_{1}=\rho _{2}v_{2}S_{2}

{\ displaystyle \ rho _ {1} v_ {1} S_ {1} = \ rho _ {2} v_ {2} S_ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {1} v_ {1} S_ {1} = \ rho _ {2} v_ {2} S_ {2}}

care este tocmai ecuația continuității .

Dacă fluidul nu este doar staționar, ci și incompresibil, acesta este: $\rho _{1}=\rho _{2}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} = \ rho _ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} = \ rho _ {2}}$ asa de:

v_{1}S_{1}=v_{2}S_{2}

{\ displaystyle v_ {1} S_ {1} = v_ {2} S_ {2}}

{\ displaystyle v_ {1} S_ {1} = v_ {2} S_ {2}}

și cantitate $v\cdot S={\dot {V}}=cost$ ${\ displaystyle v \ cdot S = {\ dot {V}} = cost}$ ${\ displaystyle v \ cdot S = {\ dot {V}} = cost}$ se numește debit volumic care se măsoară în $\left[{\frac {m^{3}}{s}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {3}} {s}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {3}} {s}} \ right]}$ .

Este important să subliniem că această demonstrație este valabilă pentru tuburile de curgere care nu își variază volumul continuu, deși rezultatul poate fi extins și la acestea.

Dinamica fluidelor ideale

Considerăm un volum unitar de fluid ideal și aplicăm a doua lege a lui Newton . Volumul elementar este supus forțelor de volum și de suprafață (a se vedea deformările în fluide ), prin urmare:

{\vec {F}}^{V}+{\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{z}}{\partial z}}=\rho {\vec {a}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {z}} {\ partial z}} = \ rho {\ vec {a }}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {z}} {\ partial z}} = \ rho {\ vec {a }}}

unde s-a aplicat relația Cauchy . Pentru fluidele ideale, în ceea ce privește componentele, avem:

{\begin{cases}F_{x}^{V}-{\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho {\frac {dv_{x}}{dt}}\\F_{y}^{V}-{\frac {\partial p}{\partial y}}=\rho {\frac {dv_{y}}{dt}}\\F_{z}^{V}-{\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho {\frac {dv_{z}}{dt}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {x} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = \ rho {\ frac {dv_ {x}} {dt}} \\ F_ {y} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} = \ rho {\ frac {dv_ {y}} {dt}} \\ F_ {z} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho {\ frac {dv_ {z}} {dt}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {x} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = \ rho {\ frac {dv_ {x}} {dt}} \\ F_ {y} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} = \ rho {\ frac {dv_ {y}} {dt}} \\ F_ {z} ^ {V} - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho {\ frac {dv_ {z}} {dt}} \ end {cases}}}

Introducerea gradientului de presiune:

{\vec {F}}^{V}-{\vec {\nabla }}p=\rho {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} - {\ vec {\ nabla}} p = \ rho {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} - {\ vec {\ nabla}} p = \ rho {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}}}

care este ecuația dinamică a fluidelor ideale . Presiunea reprezintă o funcție scalară prin care se deduc forțele de suprafață care acționează asupra volumului unitar și se vede că sunt forțe conservatoare date de gradientul de presiune. Presiunea însăși sub această formă reprezintă energia potențială pe unitate de volum a forțelor conservatoare de suprafață.

Plecând de la ecuația dinamică a fluidelor ideale obținem ecuația Bernoulli și ecuația continuității și teorema lui Torricelli .

Aplicațiile ecuației Bernoulli sunt importante: studiul tubului Venturi și al tubului Pitot-Prandtl și efectul Magnus .

Statica fluidelor ideale

Condiția echilibrului hidrostatic este valabilă, identică cu cea care se aplică oricărui sistem material: rezultanta forțelor trebuie să fie zero pentru ca sistemul să fie în echilibru.

Aceasta înseamnă analitic că:

{\vec {F}}^{V}-{\vec {\nabla }}p=0

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} - {\ vec {\ nabla}} p = 0}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} - {\ vec {\ nabla}} p = 0}

acesta este

{\vec {F}}^{V}={\vec {\nabla }}p

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} = {\ vec {\ nabla}} p}

{\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {V} = {\ vec {\ nabla}} p}

sau sub formă scalară:

{\begin{cases}F_{x}^{V}={\frac {\partial p}{\partial x}}\\F_{y}^{V}={\frac {\partial p}{\partial y}}\\F_{z}^{V}={\frac {\partial p}{\partial z}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {x} ^ {V} = {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \\ F_ {y} ^ {V} = {\ frac {\ partial p } {\ partial y}} \\ F_ {z} ^ {V} = {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {x} ^ {V} = {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \\ F_ {y} ^ {V} = {\ frac {\ partial p } {\ partial y}} \\ F_ {z} ^ {V} = {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ end {cases}}}

Această ecuație ne spune că, în cazul static, deoarece forțele de volum sunt egale cu cele ale suprafeței, dacă forțele de volum sunt forțe conservatoare (ca de exemplu în cazul câmpului gravitațional), adică pot fi exprimate prin gradientul unei energii potențiale pe unitate de volum ${\vec {U}}^{V}$ ${\ displaystyle {\ vec {U}} ^ {V}}$ ${\ displaystyle {\ vec {U}} ^ {V}}$ , cu unități de măsură $\left[{\frac {J}{m^{3}}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {J} {m ^ {3}}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {J} {m ^ {3}}} \ right]}$ , într-un fluid ideal, presiunea, schimbată în semn, poate fi luată și ca energie potențială pe unitate de volum a forțelor de volum; introducerea funcției potențiale ${\vec {V}}^{V}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} ^ {V}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} ^ {V}}$ a forțelor de volum:

$-{\vec {\nabla }}U^{V}={\vec {\nabla }}p=-{\vec {\nabla }}V^{V}\rho$ ${\ displaystyle - {\ vec {\ nabla}} U ^ {V} = {\ vec {\ nabla}} p = - {\ vec {\ nabla}} V ^ {V} \ rho}$ ${\ displaystyle - {\ vec {\ nabla}} U ^ {V} = {\ vec {\ nabla}} p = - {\ vec {\ nabla}} V ^ {V} \ rho}$

Din ultima egalitate, considerând câmpul gravitațional ca fiind forța de volum, se poate trage cu ușurință legea lui Stevin pentru fluidele incompresibile și forța lui Arhimede.

Elemente conexe

Portalul chimiei

Portalul de fizică

V · D · M Stări ale materiei
Principal	Solid · Lichid · Aeriform · Plasmă · Condensat Bose-Einstein
Schimbări de stare	Fuziune · Solidificare · Cristalizare · Punct de topire · Fierbere · Evaporare · Condensare · Sublimare · îngheț
Amestecuri	Suspensie · Dispersie · Soluție · Ligă · Coloid · Aerosol · Ceață · Spray lichid · Fum · Particule · Pulbere · Spumă · Emulsie · Sol · Aerogel · Gel · spumă solidă · Amestec gazos
Alții	Gaz · abur · Fluid · Ideal gazelor · gazelor reale · fluidul supercritic · superfluid · supersolid · Supervetro · Condensat fermionice · degenerată Matter · ciudat Materia · plasmă quarc-gluon · cristale lichide · Ideal de lichid · Rydberg materie · polaron Rydberg · quark Matter · spin cuantic Lichid · Eccitonio · Exciton legat de foton · lanț de fuziune fost
Concepte	Punct triplu · Punct critic · Ecuația de stare · Curba de răcire · Faza · Solidus · Liquidus