Stokes curge

Un obiect care se mișcă printr-un gaz sau lichid experimentează o forță interioară opusă mișcării sale. Viteza limitativă este atinsă atunci când forța de tragere este egală ca intensitate, dar opusă în semn, cu forța care împinge obiectul. Este prezentată o sferă într-un flux Stokes, cu un număr Reynolds foarte mic.

În dinamica fluidelor fluxul Stokes (numit după George Stokes ), numit și flux de alunecare sau mișcare de alunecare , ^[1] este un tip de flux în care forțele inerționale advective sunt neglijabile în comparație cu forțele vâscoase , ^[2] care corespunde cantitativ un număr foarte mic de Reynolds ( $\mathrm {Re} \ll 1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$ ). Aceasta este o situație tipică de curgere în care mișcările fluidelor sunt foarte lente, vâscozitatea este foarte mare sau scările spațiale sunt foarte mici. Debitul debitului a fost analizat inițial în studiul lubrifierii . În natură, acest tip de flux apare de exemplu în înotul microorganismelor și spermatozoizilor, ^[3] sau în fluxurile de lavă . Din punct de vedere tehnologic, apare în vopsea , dispozitive MEMS și fluxul de polimeri vâscoși în general.

Ecuațiile de mișcare pentru fluxul Stokes, numite ecuațiile Stokes, sunt o liniarizare a ecuațiilor Navier-Stokes , deci pot fi rezolvate prin mai multe metode binecunoscute pentru ecuații diferențiale liniare. ^[4] Funcția verde primară a ecuației Stokes este Stokeslet , care corespunde cazului unei forțe punctuale singular într-un flux Stokes. Alte soluții fundamentale pot fi obținute din derivatele sale . ^[5] Stokeslet a fost derivat pentru prima dată de la premiul Nobel Hendrik Lorentz , în 1896, iar numele său a fost inventat de Hancock în 1953. Soluțiile fundamentale în formă închisă pentru fluxurile instabile generalizate de Stokes și Oseen, asociate cu timpul arbitrar -au fost derivate mișcări de translație și rotație dependente pentru fluidele newtoniene ^[6] și micropolare ^[7] .

Ecuațiile Stokes

Ecuația mișcării pentru fluxul Stokes poate fi obținută prin liniarizarea ecuațiilor Navier-Stokes în cazul staționar. Se presupune că forțele inerțiale sunt neglijabile în comparație cu forțele vâscoase, iar prin eliminarea termenilor inerțiali din echilibrul impuls în ecuațiile Navier-Stokes, acestea se reduc la echilibrul impuls în ecuațiile Stokes: ^[1]

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma + \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma + \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}

unde este $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este tensorul de tensiune (care conține tensiunile vâscoase și de presiune), ^[8] ^[9] e $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ o forță externă aplicată fluidului. Ecuațiile Stokes complete includ, de asemenea, o ecuație pentru conservarea masei , scrisă în mod obișnuit sub forma:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea fluidului e $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ viteza. Pentru a obține ecuațiile de mișcare pentru un flux incompresibil, presupunem că densitatea $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este constantă.

Mai mult, în unele cazuri, ecuațiile Stokes ar putea fi considerate ca fiind ne staționare, în care termenul de evoluție a timpului $\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}}$ se adaugă în partea stângă a ecuației de echilibru a impulsului. ^[1]

Proprietate

Ecuațiile Stokes reprezintă o simplificare considerabilă a ecuațiilor Navier-Stokes , în special în cazul newtonian incompresibil. ^[2] ^[4] ^[8] ^[9] Aceasta este aproximarea în ordinea întâi a ecuațiilor Navier-Stokes complete, valabile în limita $\mathrm {Re} \to 0.$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ to 0.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ to 0.}$

Instantaneitate: Un flux Stokes nu este dependent de timp, cu excepția condițiilor limită dependente de timp. Aceasta înseamnă că, având în vedere condițiile limită ale unui flux Stokes la un moment dat, soluția poate fi găsită fără a cunoaște fluxul în orice alt moment.

Reversibilitatea timpului: O consecință imediată a instantaneității, reversibilitatea timpului înseamnă că un flux Stokes inversat în timp rezolvă aceleași ecuații ca și fluxul Stokes original. Această proprietate poate fi uneori utilizată (împreună cu liniaritatea și simetria în condiții de graniță) pentru a obține rezultate pe un flux fără a-l rezolva în mod explicit. Reversibilitatea timpului are efectul fizic că este dificil să amestecați două fluide folosind într-un flux de alunecare.

Reversibilitatea temporală a fluxurilor Stokes: colorantul a fost injectat într-un fluid vâscos introdus între doi cilindri concentrici (panoul superior). Cilindrul central este apoi rotit pentru a întinde vopseaua într-o spirală, așa cum se vede de sus. Vopseaua pare să se fi amestecat cu fluidul văzut din lateral (panoul central). Rotația este apoi inversată, readucând cilindrul în poziția inițială. Vopseaua „nu se amestecă” (panoul de jos). Inversiunea nu este perfectă deoarece apare o anumită difuzie a colorantului. ^[10] ^[11]

Deși aceste proprietăți sunt verificate pentru fluxurile incompresibile Newtonian Stokes, natura neliniară și uneori dependentă de timp a stresului în fluidele non-newtoniene implică faptul că acestea nu sunt valabile în cazul mai general.

Paradoxul lui Stokes: O proprietate interesantă a fluxului Stokes este cunoscută sub numele de paradoxul Stokes: nu poate exista un flux Stokes al unui fluid în jurul unui disc bidimensional; sau, în mod echivalent, faptul că în trei dimensiuni nu există o soluție non-banală pentru ecuațiile Stokes în jurul unui cilindru infinit de lung. ^[12]

Demonstrație empirică a reversibilității temporale

Un flux Taylor-Couette poate prezenta un regim laminar în care cilindrii concentrici de fluid se deplasează unul peste celălalt într-o spirală aparentă. ^[13] Un fluid cu vâscozitate ridicată, cum ar fi siropul de porumb, umple spațiul dintre doi cilindri, cu regiunile colorate ale fluidului vizibile prin cilindrul exterior clar. Cilindrii sunt rotiți unul față de celălalt la viteză mică, care, împreună cu vâscozitatea ridicată a fluidului și grosimea mică a sistemului, corespund unui număr redus de Reynolds , astfel încât amestecul aparent al culorilor este efectiv laminar și, prin urmare, poate fi inversat aducându-l înapoi aproximativ la starea inițială. Aceasta este o demonstrație empirică a unei amestecări aparente a unui fluid, urmată de o „de-amestecare” obținută prin inversarea direcției de mișcare. ^[14] ^[15] ^[16]

Flux incompresibil de fluide newtoniene

În cazul obișnuit al unui fluid newtonian incompresibil, ecuațiile Stokes iau forma (în notație vectorială):

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mathbf {f} & = {\ boldsymbol {0}} \\ { \ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mathbf {f} & = {\ boldsymbol {0}} \\ { \ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \ end {align}}}

unde este $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ este viteza fluidului, ${\boldsymbol {\nabla }}p$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$ este gradientul de presiune , $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea dinamică, e $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ o forță externă aplicată. Ecuațiile rezultate sunt liniare în raport cu viteza și presiunea și astfel pot profita de un număr mare de metode pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare. ^[4]

Coordonatele carteziene

Exprimând vectorul vitezei ca $\mathbf {u} =(u,v,w)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u, v, w)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u, v, w)}$ și, de asemenea, forțarea externă $\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$ , putem scrie ecuația vectorului în mod explicit,

{\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} + f_ {x} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial y} } + f_ {y} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial z }} + f_ {z} & = 0 \\ {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} + {\ partial w \ over \ partial z} & = 0 \ end { aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} + f_ {x} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial y} } + f_ {y} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial z }} + f_ {z} & = 0 \\ {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} + {\ partial w \ over \ partial z} & = 0 \ end { aliniat}}}

Ajungem la aceste ecuații presupunând $\mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mu \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {\ mathsf {T} } \ right) -p \ mathbb {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mu \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {\ mathsf {T} } \ right) -p \ mathbb {I}}$ (adică relația constitutivă pentru un fluid newtonian) și luând în considerare densitatea $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ constant. ^[8]

Metode de rezoluție

Din funcția curentă

Ecuația pentru un flux incompresibil Newtonian Stokes poate fi rezolvată definind o funcție de curent în fluxuri bidimensionale sau tridimensionale cu simetrie axială

Tipul funcției	Geometrie	Ecuaţie	Comentarii
Funcția curentă , $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$	2D planar	$\nabla ^{4}\psi =0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ psi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ psi = 0}$ sau $\Delta ^{2}\psi =0$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ psi = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ psi = 0}$ ( ecuația biharmonică )	$\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ este operatorul laplacian în două dimensiuni
Stokes funcția curentă, $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$	3D sferic	$E^{2}\Psi =0,$ ${\ displaystyle E ^ {2} \ Psi = 0,}$ ${\ displaystyle E ^ {2} \ Psi = 0,}$ unde este $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$ ${\ displaystyle E = {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} + {\ sin {\ theta} \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left ({1 \ over \ sin {\ theta}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}$ ${\ displaystyle E = {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} + {\ sin {\ theta} \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left ({1 \ over \ sin {\ theta}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}$
	3D cilindric	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ ${\ displaystyle L _ {- 1} ^ {2} \ Psi = 0,}$ ${\ displaystyle L _ {- 1} ^ {2} \ Psi = 0,}$ unde este $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$ ${\ displaystyle L _ {- 1} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ rho ^ { 2}}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$ ${\ displaystyle L _ {- 1} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ rho ^ { 2}}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$	Pentru $L_{-1}$ ${\ displaystyle L _ {- 1}}$ ${\ displaystyle L _ {- 1}}$ vezi ^[17]

Din funcția lui Green: Stokeslet

Liniaritatea ecuațiilor Stokes în cazul unui fluid newtonian incompresibil implică existența unei funcții verzi , $\mathbb {J} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$ . Funcția lui Green se găsește prin rezolvarea ecuațiilor Stokes cu un termen de forțare asemănător unui punct care acționează la origine și condiții de graniță care dispar la infinit:

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{per}}\quad r\to \infty \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p & = - \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r}) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ | \ mathbf {u} |, p & \ to 0 \ quad {\ mbox {per}} \ quad r \ to \ infty \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p & = - \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r}) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ | \ mathbf {u} |, p & \ to 0 \ quad {\ mbox {per}} \ quad r \ to \ infty \ end {align}}}

unde este $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r})}$ este funcția delta Dirac și $\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ delta (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ delta (\ mathbf {r})}$ reprezintă o forță punctuală care acționează la origine. Soluția pentru presiune $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și viteză ${\textbf {u}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}}}$ , cu $|{\textbf {u}}|$ ${\ displaystyle | {\ textbf {u}} |}$ ${\ displaystyle | {\ textbf {u}} |}$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care tind spre zero până la infinit este dat de ^[1]

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r}), \ qquad p (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r}), \ qquad p (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}

unde este

\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)

{\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r}) = {1 \ peste 8 \ pi \ mu} \ left ({\ frac {\ mathbb {I}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r}) = {1 \ peste 8 \ pi \ mu} \ left ({\ frac {\ mathbb {I}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right)}

este un câmp tensorial de rang doi cunoscut sub numele de tensorul Oseen (de la Carl Wilhelm Oseen ).

Termenii Stokeslet și soluție cu forță punctuală sunt folosiți pentru a descrie $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$ . În mod similar cu încărcarea punctuală din electrostatice , Stokeslet este lipsit de forțare peste tot, cu excepția originii, unde conține o forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ .

Pentru o distribuție continuă a forței $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {r})}$ (deci o densitate a forței), soluția (întotdeauna tindând la zero la infinit) poate fi, prin urmare, construită prin suprapunere :

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ int \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r '} \ right) \ cdot \ mathbb {J} \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {r'}, \ qquad p (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ mathbf {f} \ left (\ mathbf { r '} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r'} \ right)} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r '}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ int \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r '} \ right) \ cdot \ mathbb {J} \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {r'}, \ qquad p (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ mathbf {f} \ left (\ mathbf { r '} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r'} \ right)} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r '}}

Această reprezentare integrală a vitezei poate fi văzută ca o reducere a dimensionalității problemei: de la ecuația diferențială parțială tridimensională la o ecuație bidimensională integrală pentru densitatea forței generice. ^[1]

Soluție Papkovich-Neuber

Soluția Papkovich-Neuber exprimă câmpurile de viteză și presiune ale unui flux incompresibil Newtonian Stokes în termeni de două potențiale armonice .

Prin metoda elementelor limită

Unele probleme, cum ar fi evoluția formei unei bule într-un flux Stokes, sunt adecvate pentru a fi rezolvate numeric cu metoda elementului de graniță. Această tehnică poate fi aplicată fluxurilor bidimensionale și tridimensionale.

Unele geometrii

Pârâul Hele-Shaw

Fluxul Hele-Shaw este un exemplu de geometrie pentru care forțele de inerție sunt neglijabile. Este definit de două plăci paralele dispuse foarte aproape una de alta, cu spațiul dintre plăci ocupat parțial de fluid și parțial de obstacole, având forma cilindrilor perpendiculari pe plăci. ^[8]

Teoria corpului conic

Teoria fluxului corpului conic al lui Stokes este o metodă simplă aproximativă pentru determinarea fluxului irotațional în jurul corpurilor a căror lungime este mare în raport cu lățimea lor. Baza metodei este de a alege o distribuție a singularității fluxului de-a lungul unei linii (deoarece corpul este subțire), astfel încât fluxul lor irotațional, în combinație cu un flux uniform, să satisfacă aproximativ condiția vitezei normale (la suprafața corpului) nimic. ^[8]

Coordonate sferice

Soluția generală a lui Lamb apare din faptul că presiunea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ satisface ecuația Laplace și, prin urmare, poate fi extins într-o serie de armonici sferice solide în coordonate sferice. În consecință, soluția la ecuațiile Stokes poate fi exprimată ca:

{\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq 1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} & = \ sum _ {n = - \ infty, n \ neq 1} ^ {n = \ infty} \ left [{\ frac {(n + 3) r ^ {2} \ nabla p_ {n}} {2 \ mu (n + 1) (2n + 3)}} - {\ frac {n \ mathbf {x} p_ {n}} {\ mu (n + 1) (2n + 3)}} \ right] + \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} [\ nabla \ Phi _ {n} + \ nabla \ times (\ mathbf {x} \ chi _ {n})] \\ p & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} p_ {n} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} & = \ sum _ {n = - \ infty, n \ neq 1} ^ {n = \ infty} \ left [{\ frac {(n + 3) r ^ {2} \ nabla p_ {n}} {2 \ mu (n + 1) (2n + 3)}} - {\ frac {n \ mathbf {x} p_ {n}} {\ mu (n + 1) (2n + 3)}} \ right] + \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} [\ nabla \ Phi _ {n} + \ nabla \ times (\ mathbf {x} \ chi _ {n})] \\ p & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} p_ {n} \ end {align}}}

unde este $p_{n},\Phi _{n},$ ${\ displaystyle p_ {n}, \ Phi _ {n},}$ ${\ displaystyle p_ {n}, \ Phi _ {n},}$ Și $\chi _{n}$ ${\ displaystyle \ chi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {n}}$ sunt armonici sferice solide de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

{\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} p_ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (a_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {a}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ Phi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (b_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {b}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ chi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (c_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {c}} _ {mn} \ sin m \ phi) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} p_ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (a_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {a}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ Phi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (b_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {b}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ chi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (c_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {c}} _ {mn} \ sin m \ phi) \ end {align}}}

și $P_{n}^{m}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {m}}$ ${\ displaystyle P_ {n} ^ {m}}$ sunt polinoamele Legendre asociate . Soluția lui Lamb poate fi utilizată pentru a descrie mișcarea unui fluid în interiorul sau în afara unei sfere. De exemplu, poate fi folosit pentru a descrie mișcarea fluidului în jurul unei particule sferice cu un debit de suprafață impus, un așa-numit squirmer sau pentru a descrie fluxul într-o picătură sferică de fluid. Pentru fluxurile interne, termenii cu $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ sunt eliminate, în timp ce pentru fluxurile externe termenii cu $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ sunt eliminate (convenția este adesea folosită $n\to -n-1$ ${\ displaystyle n \ to -n-1}$ ${\ displaystyle n \ to -n-1}$ , astfel încât fluxurile externe să evite indexarea cu numere negative). ^[1]

Teoreme

Soluția Stokes și teorema relativă a lui Helmholtz

Rezistența la tragere a unei sfere în mișcare, cunoscută și sub numele de soluția Stokes, este rezumată aici. Având în vedere o sferă de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , în mișcare la o viteză $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , într-un fluid Stokes cu vâscozitate dinamică $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , forța de tragere $F_{D}$ ${\ displaystyle F_ {D}}$ ${\ displaystyle F_ {D}}$ este dat de: ^[8]

F_{D}=6\pi \mu aU

{\ displaystyle F_ {D} = 6 \ pi \ mu aU}

{\ displaystyle F_ {D} = 6 \ pi \ mu aU}

Soluția lui Stokes disipează mai puțină energie decât orice alt câmp vector solenoidal cu aceleași viteze la limită: acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema minimă a disipării Helmholtz . ^[1]

Teorema reciprocă a lui Lorentz

Teorema reciprocă a lui Lorentz afirmă o relație între două fluxuri Stokes în aceeași regiune. Având în vedere regiunea plină de lichid $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ delimitat de suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , și presupunând că câmpurile de viteză $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ Și $\mathbf {u} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$ rezolvați ecuațiile Stokes din domeniu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , fiecare cu tensori de solicitare corespunzători $\mathbf {\sigma }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$ Și $\mathbf {\sigma } '$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} '}$ , atunci se menține următoarea egalitate:

\int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS

{\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} '\ cdot \ mathbf {n}) dS = \ int _ {S} \ mathbf {u}' \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {n}) dS}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} '\ cdot \ mathbf {n}) dS = \ int _ {S} \ mathbf {u}' \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {n}) dS}

Unde este $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ este vectorul unitar normal la suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Teorema reciprocă a lui Lorentz poate fi utilizată pentru a dovedi că fluxul Stokes „transmite” forța totală și cuplul nemodificat de la o suprafață internă închisă la o suprafață exterioară care se încadrează. ^[1] Teorema reciprocă Lorentz poate fi utilizată și pentru a lega viteza de înot a unui microorganism, cum ar fi o cianobacterie , la viteza de suprafață dată de deformările formei corpului prin cili sau flageli . ^[18]

Legile lui Faxén

Legile lui Faxén sunt relații directe care exprimă momente multipolare în ceea ce privește fluxul extern și derivatele sale. Dezvoltat pentru prima dată de Hilding Faxén pentru a calcula forța, $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ și cuplul, $\mathbf {T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ pe o sferă, au următoarea formă:

{\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} & = 6 \ pi \ mu a \ left (1 + {\ frac {a ^ {2}} {6}} \ nabla ^ {2} \ right) \ mathbf {v} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 \ pi \ mu a \ mathbf {U} \\\ mathbf {T} & = 8 \ pi \ mu a ^ {3} (\ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {\ omega}) | _ {x = 0} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} & = 6 \ pi \ mu a \ left (1 + {\ frac {a ^ {2}} {6}} \ nabla ^ {2} \ right) \ mathbf {v} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 \ pi \ mu a \ mathbf {U} \\\ mathbf {T} & = 8 \ pi \ mu a ^ {3} (\ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {\ omega}) | _ {x = 0} \ end {align}}}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea dinamică, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este raza particulelor, $\mathbf {v} ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ infty}}$ este fluxul extern, $\mathbf {U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$ ${\ mathbf {U}}$ este viteza particulei, $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty}}$ este viteza unghiulară a fluxului extern e $\mathbf {\omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$ este viteza unghiulară a particulei.

Legile lui Faxén pot fi generalizate pentru a descrie momentele pentru particulele de alte forme, cum ar fi elipsoidele, sferoidele și picăturile sferice. ^[1]

Notă

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Kim, S. & Karrila, SJ (2005) Microhidrodinamică: Principii și aplicații selectate , Dover. ISBN 0-486-44219-5 .
^ ^a ^b Kirby, BJ, Mecanica fluidelor micro- și nanoscală: transport în dispozitive microfluidice , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-11903-0 . Adus la 25 februarie 2021 (Arhivat din original la 28 aprilie 2019) .
^ Dusenbery, David B. (2009). Locuirea la Micro Scale . Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .
^ ^a ^b ^c Leal, LG , Fenomene avansate de transport: mecanica fluidelor și procese de transport convectiv , 2007.
^ Chwang, A. și Wu, T. (1974). "Hidromecanica fluxurilor cu număr redus de Reynolds. Partea 2. Metoda de singularitate pentru fluxurile Stokes" Depus la 7 martie 2012 în Internet Archive .. J. Fluid Mech. 62 (6), partea 4, 787-815.
^ Jian-Jun Shu și Chwang, AT, Soluții fundamentale generalizate pentru fluxuri vâscoase instabile , în Physical Review E , vol. 63, nr. 5, 2001, p. 051201, Bibcode : 2001PhRvE..63e1201S , DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.051201 , PMID 11414893 , arXiv : 1403.3247 .
^ Jian-Jun Shu și Lee, JS, Soluții fundamentale pentru fluidele micropolare , în Journal of Engineering Mathematics , vol. 61, nr. 1, 2008, pp. 69-79, Bibcode : 2008JEnMa..61 ... 69S , DOI : 10.1007 / s10665-007-9160-8 , arXiv : 1402.5023 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Batchelor, GK , Introducere în mecanica fluidelor , 2000, ISBN 978-0-521-66396-0 .
^ ^a ^b Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics , Springer. ISBN 90-01-37115-9 .
^ John P Heller, An Unmixing Demonstration , în American Journal of Physics , vol. 28, nr. 4, 1960, pp. 348-353, Bibcode : 1960AmJPh..28..348H , DOI : 10.1119 / 1.1935802 .
^ Reologie: teorie și aplicații. Volumul 4 , Eirich, Frederick R., New York, Academic Press, 1967, ISBN 9781483229416 ,OCLC 898101332 .
^ Horace Lamb, Hydrodynamics , ediția a șasea, New York, Dover Publications, 1945, pp. 602–604 .
^ C. David Andereck, SS Liu și Harry L. Swinney (1986). Regimuri de curgere într-un sistem circular Couette cu cilindri rotitori independent. Journal of Fluid Mechanics, 164, pp 155–183 doi: 10.1017 / S0022112086002513
^ Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale , pp. 46. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .
^ https://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50
^ http://panda.unm.edu/flash/viscosity.phtml
^ LE Payne și WH Pell, problema fluxului Stokes pentru o clasă de corpuri simetrice axial , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 7, nr. 4, 1960, pp. 529-549, Bibcode : 1960JFM ..... 7..529P , DOI : 10.1017 / S002211206000027X .
^ Howard A. Stone și Samuel, Aravinthan DT, Propulsion of Microorganisms by Surface Distorsions , în Physical Review Letters , 19, vol. 77, nr. 19, noiembrie 1996, pp. 4102-4104, Bibcode : 1996PhRvL..77.4102S , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.77.4102 , PMID 10062388 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Stokes Stream

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[kim2005-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Kim, S. & Karrila, SJ (2005) Microhidrodinamică: Principii și aplicații selectate , Dover. ISBN 0-486-44219-5 .

[Kirby-2] Kirby, BJ, Mecanica fluidelor micro- și nanoscală: transport în dispozitive microfluidice , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-11903-0 . Adus la 25 februarie 2021 (Arhivat din original la 28 aprilie 2019) .

[3] Dusenbery, David B. (2009). Locuirea la Micro Scale . Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .

[Leal-4] Leal, LG , Fenomene avansate de transport: mecanica fluidelor și procese de transport convectiv , 2007.

[Chwang-5] Chwang, A. și Wu, T. (1974). "Hidromecanica fluxurilor cu număr redus de Reynolds. Partea 2. Metoda de singularitate pentru fluxurile Stokes" Depus la 7 martie 2012 în Internet Archive .. J. Fluid Mech. 62 (6), partea 4, 787-815.

[6] Jian-Jun Shu și Chwang, AT, Soluții fundamentale generalizate pentru fluxuri vâscoase instabile , în Physical Review E , vol. 63, nr. 5, 2001, p. 051201, Bibcode : 2001PhRvE..63e1201S , DOI : 10.1103 / PhysRevE.63.051201 , PMID 11414893 , arXiv : 1403.3247 .

[7] Jian-Jun Shu și Lee, JS, Soluții fundamentale pentru fluidele micropolare , în Journal of Engineering Mathematics , vol. 61, nr. 1, 2008, pp. 69-79, Bibcode : 2008JEnMa..61 ... 69S , DOI : 10.1007 / s10665-007-9160-8 , arXiv : 1402.5023 .

[Batchelor-8] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Batchelor, GK , Introducere în mecanica fluidelor , 2000, ISBN 978-0-521-66396-0 .

[Happel-9] Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics , Springer. ISBN 90-01-37115-9 .

[10] John P Heller, An Unmixing Demonstration , în American Journal of Physics , vol. 28, nr. 4, 1960, pp. 348-353, Bibcode : 1960AmJPh..28..348H , DOI : 10.1119 / 1.1935802 .

[11] Reologie: teorie și aplicații. Volumul 4 , Eirich, Frederick R., New York, Academic Press, 1967, ISBN 9781483229416 ,OCLC 898101332 .

[12] Horace Lamb, Hydrodynamics , ediția a șasea, New York, Dover Publications, 1945, pp. 602–604 .

[13] C. David Andereck, SS Liu și Harry L. Swinney (1986). Regimuri de curgere într-un sistem circular Couette cu cilindri rotitori independent. Journal of Fluid Mechanics, 164, pp 155–183 doi: 10.1017 / S0022112086002513

[14] Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale , pp. 46. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .

[15] ttps://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50

[16] ttp://panda.unm.edu/flash/viscosity.phtml

[17] LE Payne și WH Pell, problema fluxului Stokes pentru o clasă de corpuri simetrice axial , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 7, nr. 4, 1960, pp. 529-549, Bibcode : 1960JFM ..... 7..529P , DOI : 10.1017 / S002211206000027X .

[Stone-18] Howard A. Stone și Samuel, Aravinthan DT, Propulsion of Microorganisms by Surface Distorsions , în Physical Review Letters , 19, vol. 77, nr. 19, noiembrie 1996, pp. 4102-4104, Bibcode : 1996PhRvL..77.4102S , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.77.4102 , PMID 10062388 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]