Flux aproape-unidimensional

Termenul de debit cvasi-unidimensional , sau debit cvasi-unidimensional , se referă la fluxul unui curent de fluid în care componentele de viteză normale la o direcție principală sunt neglijabile. Ipotezele de flux cvasidimensionale implică:

proprietăți de curgere constante pe fiecare secțiune normală pe axa canalului;
proprietățile fluxului în funcție de o singură variabilă spațială: abscisa de-a lungul axei conductei.

Deși aceste ipoteze nu sunt exact verificate, teoria care derivă din ele ne permite să obținem cu o bună aproximare valorile medii ale cantităților de interes pentru studiul debitelor în conducte cu variație limitată a secțiunii în raport cu lungimea lor, cu fricțiune și cu schimb de căldură cu exteriorul. Această teorie poate fi utilă pentru obținerea unui desen preliminar al prizelor de aer și al duzelor de evacuare .

Pentru a obține ecuațiile de flux cvasi-unidimensionale va fi suficient să simplificăm, conform ipotezelor introduse, ecuațiile Navier-Stokes , adică ecuațiile de conservare a masei , impulsului și energiei .

Ecuații de conservare pentru fluxuri cvasi-unidimensionale

Cantități de stagnare

Mărimile de stagnare sunt definite ca acele condiții care există în acel punct al curentului în care viteza fluidului a fost redusă la zero prin procese adiabatice și fără frecare, deci isentropă și reversibilă.

Cantitățile de stagnare rămân neschimbate de-a lungul întregului canal.

Cantități critice și limită

Cantitățile critice sunt acele cantități atinse în cazul în care numărul Mach este egal cu 1

Flux staționar izentropic cvasidimensional

În cazul unui flux staționar cvasi-unidimensional, unde variația în timp a mărimilor fizice este neglijabilă și izentropă ^[1], legea conservării masei poate fi scrisă:

{\dot {m}}=\rho uA=\mathrm {costante}

{\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho uA = \ mathrm {constant}}

{\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho uA = \ mathrm {constant}}

sau:

d\left(\rho uA\right)=0

{\ displaystyle d \ left (\ rho uA \ right) = 0}

{\ displaystyle d \ left (\ rho uA \ right) = 0}

unde cu m este indicată masa, cu ρ este indicată densitatea fluidului, cu u viteza sa (axială) și cu A secțiunea normală pe axa canalului. Efectuarea operației diferențiale:

d\left(\rho \right)uA+d\left(u\right)\rho A+d\left(A\right)u\rho =0

{\ displaystyle d \ left (\ rho \ right) uA + d \ left (u \ right) \ rho A + d \ left (A \ right) u \ rho = 0}

{\ displaystyle d \ left (\ rho \ right) uA + d \ left (u \ right) \ rho A + d \ left (A \ right) u \ rho = 0}

și împărțind la ρuA :

{\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {du}{u}}=-{\frac {dA}{A}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {\ rho}} + {\ frac {du} {u}} = - {\ frac {dA} {A}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {\ rho}} + {\ frac {du} {u}} = - {\ frac {dA} {A}}}

care este o expresie aritmetică convenabilă.

Pentru a scrie ecuația de conservare a impulsului , trebuie să luăm în considerare impulsul de intrare, adică masa inițială de ori viteza inițială:

mu=\rho u^{2}A

{\ displaystyle mu = \ rho u ^ {2} A}

{\ displaystyle mu = \ rho u ^ {2} A}

și impulsul care iese din sistemul considerat. Dacă evaluăm o porțiune dreaptă a debitului, va fi posibil să scriem ecuația în termeni diferențiali și creșterea vitezei va fi du :

m\left(u+du\right)=\rho uA\left(u+du\right)

{\ displaystyle m \ left (u + du \ right) = \ rho uA \ left (u + du \ right)}

{\ displaystyle m \ left (u + du \ right) = \ rho uA \ left (u + du \ right)}

Legea conservării impulsului afirmă că diferența dintre impulsul de ieșire și de intrare reprezintă suma forțelor externe, care sunt generate de forțele exercitate pe pereți și pe secțiunile de intrare și ieșire:

\sum F=pA-\left(p+dp\right)\left(A+dA\right)+\left(p+{\frac {dp}{2}}\right)dA-dF_{\mathrm {attrito} }

{\ displaystyle \ sum F = pA- \ left (p + dp \ right) \ left (A + dA \ right) + \ left (p + {\ frac {dp} {2}} \ right) dA-dF _ {\ mathrm {friction}}}

{\ displaystyle \ sum F = pA- \ left (p + dp \ right) \ left (A + dA \ right) + \ left (p + {\ frac {dp} {2}} \ right) dA-dF _ {\ mathrm {friction}}}

unde primii doi termeni reprezintă forțele de presiune care acționează asupra secțiunilor inițiale și finale ale secțiunii din dreapta , al treilea termen forțele datorate forțelor în direcția x pe pereți și, în cele din urmă, ultimul termen consideră forțele de frecare de pe pereți.

Adunând expresiile anterioare împreună și executând produsele, neglijând infinitesimalele de ordin superior, rămâne:

\rho uAdu=-Adp-dF_{\mathrm {attrito} }

{\ displaystyle \ rho uAdu = -Adp-dF _ {\ mathrm {friction}}}

{\ displaystyle \ rho uAdu = -Adp-dF _ {\ mathrm {friction}}}

și în cele din urmă, împărțind la ρAu ² , este posibil să scriem expresia anterioară ca o ecuație diferențială fracțională:

{\frac {du}{u}}+{\frac {dp}{\rho u^{2}}}=-{\frac {dF_{\mathrm {attrito} }}{\rho Au^{2}}}.

{\ displaystyle {\ frac {du} {u}} + {\ frac {dp} {\ rho u ^ {2}}} = - {\ frac {dF _ {\ mathrm {friction}}} {\ rho Au ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {du} {u}} + {\ frac {dp} {\ rho u ^ {2}}} = - {\ frac {dF _ {\ mathrm {friction}}} {\ rho Au ^ {2}}}.}

Prin indicarea perimetrului secțiunii conductei cu P , este posibil să se exprime forța datorată frecării ca:

dF_{\mathrm {attrito} }=\tau _{\mathrm {attrito} }P\,dx

{\ displaystyle dF _ {\ mathrm {friction}} = \ tau _ {\ mathrm {friction}} P \, dx}

{\ displaystyle dF _ {\ mathrm {friction}} = \ tau _ {\ mathrm {friction}} P \, dx}

unde τ reprezintă efortul de frecare:

\tau _{\mathrm {attrito} }=f{\frac {\rho u^{2}}{2}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {friction}} = f {\ frac {\ rho u ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {friction}} = f {\ frac {\ rho u ^ {2}} {2}}}

unde f ' indică numărul Fanning .

Rămâne adaptarea legii conservării energiei : diferența dintre energia de ieșire și cea de intrare, în unitatea de timp, în sistem, este egală cu suma muncii efectuate de forțele aplicate fluidului și căldura furnizată la fluid de către exterior. Dacă considerăm energia ca suma energiei interne și a energiei cinetice , următoarea formulare se obține în unitatea de timp:

{\dot {m}}\left(e_{2}+{\frac {u_{2}^{2}}{2}}\right)-{\dot {m}}\left(e_{1}+{\frac {u_{1}^{2}}{2}}\right)={\dot {\mathbf {L} }}+{\dot {\mathbf {Q} }}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (e_ {2} + {\ frac {u_ {2} ^ {2}} {2}} \ right) - {\ dot {m}} \ left (e_ {1} + {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {2}} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} + {\ dot {\ mathbf {Q}}}}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (e_ {2} + {\ frac {u_ {2} ^ {2}} {2}} \ right) - {\ dot {m}} \ left (e_ {1} + {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {2}} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} + {\ dot {\ mathbf {Q}}}}

unde indicele 1 indică cantitățile de intrare și cu indicele 2 cele de ieșire, cu și energia internă pe unitate de masă, cu L munca furnizată de flux și cu Q căldura absorbită de flux. Deoarece se ia în considerare viteza zero a fluidului pe pereții conductei (ipoteza aderenței), contribuțiile pereților la lucrare vor fi neglijate. Singurele contribuții ale lucrării vor fi, prin urmare, cele datorate forțelor de presiune pe secțiunea de intrare, pe secțiunea de ieșire și orice lucrare asigurată de un organ mecanic (cum ar fi palele unui rotor ):

{\dot {\mathbf {L} }}=p_{1}A_{1}u_{1}-p_{2}A_{2}u_{2}+{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {meccanico} }

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {L}}} = p_ {1} A_ {1} u_ {1} -p_ {2} A_ {2} u_ {2} + {\ dot {\ mathbf {L} }} _ {\ mathrm {Mechanical}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {L}}} = p_ {1} A_ {1} u_ {1} -p_ {2} A_ {2} u_ {2} + {\ dot {\ mathbf {L} }} _ {\ mathrm {Mechanical}}}

apoi substituind și amintind expresia fluxului de masă :

{\dot {m}}=\rho uA

{\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho uA}

{\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho uA}

poate fi rescris ca:

{\dot {m}}\left(e_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{2}}\right)-{\dot {m}}\left(e_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {u_{1}^{2}}{2}}\right)={\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {meccanico} }+{\dot {\mathbf {Q} }}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (e_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}} + {\ frac {u_ {2} ^ {2}} {2}} \ right) - {\ dot {m}} \ left (e_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} + {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {2}} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {Mechanical}} + {\ dot {\ mathbf {Q}}}}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (e_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}} + {\ frac {u_ {2} ^ {2}} {2}} \ right) - {\ dot {m}} \ left (e_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} + {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {2}} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {Mechanical}} + {\ dot {\ mathbf {Q}}}}

și amintind definiția entalpiei h și a entalpiei totale h ₀ :

h_{0}=h+{\frac {u^{2}}{2}}=e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}}

{\ displaystyle h_ {0} = h + {\ frac {u ^ {2}} {2}} = e + {\ frac {p} {\ rho}} + {\ frac {u ^ {2}} { 2}}}

{\ displaystyle h_ {0} = h + {\ frac {u ^ {2}} {2}} = e + {\ frac {p} {\ rho}} + {\ frac {u ^ {2}} { 2}}}

ecuația energetică este rescrisă

{\dot {m}}\left(h_{02}-h_{02}\right)={\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {meccanico} }+{\dot {\mathbf {Q} }}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (h_ {02} -h_ {02} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {Mechanical}} + {\ dot { \ mathbf {Q}}}}

{\ displaystyle {\ dot {m}} \ left (h_ {02} -h_ {02} \ right) = {\ dot {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {Mechanical}} + {\ dot { \ mathbf {Q}}}}

și, în cele din urmă, pentru a trece la forma diferențială, va fi posibil să neglijăm contribuția unui organ mecanic extern:

dh_{0}=\partial Q.

{\ displaystyle dh_ {0} = \ partial Q.}

{\ displaystyle dh_ {0} = \ partial Q.}

Fluxul lui Fanno

Același subiect în detaliu: Fluxul lui Fanno .

Fluxul Fanno este un flux adiabatic staționar într-o conductă cu secțiune constantă, unde sunt luate în considerare efectele fricțiunii asupra pereților. Numele pârâului se datorează omului de știință Gino Girolamo Fanno .

Fluxul Rayleigh

Același subiect în detaliu: fluxul Rayleigh .

Debitul Rayleigh este un debit cu schimb de căldură cu exteriorul conductelor cu secțiune constantă, unde fricțiunea este neglijată.

Notă

^ Fluxul izentropic este un flux care are entropie constantă pe secțiunea normală pe axa de mișcare.

Elemente conexe

linkuri externe

www.ingegneriaaerospaziale.net pe ingegneriaaerospaziale.net.
Note despre cursul de dinamică a gazelor prof. Michele Napolitano (Politehnica din Bari) , pe climeg.poliba.it . Accesat la 14 septembrie 2008 (arhivat din original la 19 octombrie 2008) .

Portalul aviației

Portalul de fizică

Portal de inginerie

[1] Fluxul izentropic este un flux care are entropie constantă pe secțiunea normală pe axa de mișcare.

[1],