Bazele matematicii
Prin fundamentele matematicii înțelegem studiul fundamentelor logice și filozofice ale matematicii . [1]
Context istoric
Spre sfârșitul secolului al XIX - lea și începutul secolului al XX-lea, unii matematicieni, printre care Gottlob Frege , David Hilbert , Bertrand Russell și Alfred North Whitehead , au subliniat că toată matematica dezvoltată până atunci se bazează pe concepte primitive date de la sine, cum ar fi, de exemplu, Elementele lui Euclid , care se bazează pe axiome și postulate considerate evidente.
Astfel, a apărut o situație cunoscută ca o criză a bazelor matematicii . A apărut o dezbatere, care a avut loc în principal în primii treizeci de ani ai secolului XX, cu care s-a încercat definirea unei teorii axiomatice coerente , bazată pe fundamentele logice .
Pe de altă parte, savanții nu au ajuns la un acord cu privire la care ar trebui să fie baza filosofică și sistemul formal pe care să se sprijine întreaga structură a matematicii. Au fost dezvoltate mai multe curente de gândire, care pot fi rezumate în cele ce urmează.
Logicism
Logicismul a fost propus de Gottlob Frege și Bertrand Russell , deși Leibniz a încercat deja să stabilească un sistem formal bazat pe logica matematică . Potrivit susținătorilor acestui curent, matematica are două caracteristici: generalitatea conținutului , adică cazuri particulare sunt excluse, și deductibilitatea afirmațiilor, adică inferențele care structurează teoremele matematice sunt implicații formale (ele nu definesc propozițiile ei înșiși, dar nevoia conexiunii lor). Rezultă că este posibil să se reducă toate teoriile matematice la fundamentele logice, deoarece legile logicii sunt legile „adevăratului”. De exemplu, definiția logică a numărului , departe de a fi reductibilă la operația concretă a numerotării obiectelor, constă în trimiterea la egalitatea numerică a două clase (două clase au același număr dacă este posibil să se stabilească un one-to- o corespondență între elementele lor).
Cu toate acestea, încă de la început, logicismul a întâmpinat dificultăți reale, întrucât era legat ontologic de relațiile dintre clase. De fapt, se știe că teoria claselor duce la paradoxuri logice , care au dus la necesitatea clarificării axiomelor.
Formalismul
Formalismul , propus mai întâi de David Hilbert , susține că matematica trebuie considerată o construcție a minții umane. Sarcina matematicienilor este de a deduce teoreme din axiome care nu trebuie să fie adevărate sau false. Valabilitatea rezultatelor nu se mai bazează pe structura afirmațiilor și nici pe natura lor. Adevărul teoriilor matematice se reduce la coerența lor internă, adică la non-contradicția propozițiilor.
Dezbaterea asupra concepției formaliste a fost relansată de teorema incompletitudinii lui Gödel , care afirmă că fiecare sistem formal, coerent și recursiv referitor la aritmetică conține cel puțin o propoziție care este atât nedemonstrabilă, cât și nerefutabilă; cu toate acestea, această propoziție este „adevărată” în sensul intuitiv al termenului, deoarece formalizează de fapt afirmația că teoria este coerentă, ceea ce se presupunea inițial.
Intuitionismul
Intuitionismul , propus de olandezul Jan Brouwer , susține că fundamentele matematicii sunt în esență intuitive. Fără intuiție, logica s-ar dovedi sterilă. Această gândire duce la consecințe importante. Școala intuiționistă, de exemplu, nu acceptă principiul terțului exclus , adică dubla negație nu poate fi eliminată, ceea ce face în schimb școala logică clasică. O propunere „nu nu p ” nu poate fi considerată echivalentă cu „ p ”. Rezultă că o astfel de egalitate nu poate fi utilizată într-o teoremă. Potrivit școlii intuiționiste, pe de altă parte, putem spune „ q implică r ”, în sensul că pornind de la o dovadă a lui q putem construi o dovadă a lui r , în timp ce o dovadă a „nu p ” nu ne permite pentru a construi o dovadă a „ p ”.
Brower a conceput intuiționismul ca un contrast puternic cu formalismul lui Hilbert și, de asemenea, a salutat cu scepticism o teorie formalistă ulterioară propusă de Arend Heyting .
Mai târziu, unii matematicieni, inclusiv Brouwer însuși, au propus o concepție a matematicii numită constructivism , conform căreia o entitate matematică poate fi acceptată ca fiind adevărată numai dacă poate fi construită .
Notă
Bibliografie
- Evert Willem Beth, Fundamentele logice ale matematicii , Feltrinelli, 1963
- Stefano Donati, Fundamentele matematicii în logism ale lui Bertrand Russell , Ateneul Florenței, 2003
- William S. Hatcher , Fundamentals of Mathematics , Boringhieri, 1973
- Frank P. Ramsey , Bazele matematicii , Feltrinelli, 1964
Elemente conexe
linkuri externe
- Criza bazelor matematicii de Giuseppe Di Saverio
- ( EN ) Un secol de controversă asupra fundamentelor matematicii , pe cs.auckland.ac.nz . Adus la 9 octombrie 2014 (arhivat din original la 9 octombrie 2014) .
- ( RO ) Logică și matematică , pe personal.psu.edu .
| Controlul autorității | NDL ( EN , JA ) 00571525 |
|---|
