Formă biliniară

În matematică , mai exact în algebra liniară , o formă biliniară este o hartă biliniară cu valori într-un câmp . Este o funcție definită pe produsul cartezian din două spații vectoriale care este liniară în ambele componente.

Definiție

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ spații vectoriale pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ produsul lor cartezian . O formă biliniară pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o hartă

\phi :V\times W\to K

{\ displaystyle \ phi: V \ times W \ to K}

\ phi: V \ times W \ to K

care asociază fiecărei perechi de elemente $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ Și $\mathbf {w} \in W$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în W}$ ${\ mathbf w} \ în W$ urcare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) \ în K}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) \ în K$ și este liniar pe ambele componente, adică: ^[1]

\phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {w }) + \ phi (\ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {w}) \ qquad \ forall \ \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2} \ in V \ quad \ forall \ \ mathbf {w} \ în W}

\ phi ({\ mathbf {v}} _ {1} + {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {w}}) = \ phi ({\ mathbf {v}} _ {1} , {\ mathbf {w}}) + \ phi ({\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {w}}) \ qquad \ forall \ {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ în V \ quad \ forall \ {\ mathbf {w}} \ în W

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2})\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W\quad \forall \ \mathbf {v} \in V

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w} _ {1} + \ mathbf {w} _ {2}) = \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w} _ {1 }) + \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w} _ {2}) \ qquad \ forall \ \ mathbf {w} _ {1}, \ mathbf {w} _ {2} \ in W \ quad \ forall \ \ mathbf {v} \ în V}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w} _ {1} + {\ mathbf w} _ {2}) = \ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w} _ {1}) + \ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w} _ {2}) \ qquad \ forall \ {\ mathbf {w}} _ {1}, {\ mathbf {w}} _ {2} \ în W \ quad \ forall \ {\ mathbf {v}} \ în V

\phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W\quad \forall \ a\in K

{\ displaystyle \ phi (a \ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {v}, a \ mathbf {w}) = a \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf { w}) \ qquad \ forall \ \ mathbf {v} \ in V \ quad \ forall \ \ mathbf {w} \ in W \ quad \ forall \ a \ in K}

\ phi (a {\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = \ phi ({\ mathbf v}, a {\ mathbf w}) = a \ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) \ qquad \ forall \ {\ mathbf {v}} \ in V \ quad \ forall \ {\ mathbf {w}} \ in W \ quad \ forall \ a \ in K

Având în vedere unul dintre cele două argumente, funcția este liniară față de celălalt.

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ coincide, se spune că forma este biliniară $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (sau în sus $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ). ^[2]

Reprezentarea în coordonate

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiune finită n , orice formă biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi reprezentat ca o matrice pătrată cu n rânduri. Ca și în cazul aplicațiilor liniare , trebuie aleasă o bază pentru a face acest lucru $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n} \}}$ $\ {{\ mathbf v} _ {1}, \ dots, {\ mathbf v} _ {n} \}$ pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , deoarece matricea rezultată depinde de baza aleasă.

Matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este definit pentru componente prin:

b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})

{\ displaystyle b_ {ij} = \ phi (\ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {j})}

b _ {{ij}} = \ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {j})

Acțiunea formei biliniare asupra a doi vectori $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se obține în felul următor, prinmultiplicarea între matrice :

\phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {u}, \ mathbf {w}) = \ mathbf {\ mathbf {u}} ^ {T} \ mathbf {B \ mathbf {w}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} b_ {ij} u_ {i} w_ {j}}

\ phi ({\ mathbf u}, {\ mathbf w}) = {\ mathbf {{\ mathbf u}}} ^ {T} {\ mathbf {B {\ mathbf w}}} = \ sum _ {{i , j = 1}} ^ {{n}} b _ {{ij}} u_ {i} w_ {j}

unde este $u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ Și $w_{j}$ ${\ displaystyle w_ {j}}$ $w_ {j}$ sunt coordonatele $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ decât baza.

Relația cu spațiul dual

Orice formă biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ definește o pereche de hărți liniare din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în spațiul său dual $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ . Acestea sunt definite după cum urmează:

\phi _{1}:V\to V^{*}\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )

{\ displaystyle \ phi _ {1}: V \ to V ^ {*} \ qquad \ phi _ {1} (\ mathbf {v}) (\ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}

\ phi _ {1}: V \ to V ^ {*} \ qquad \ phi _ {1} ({\ mathbf {v}}) ({\ mathbf {w}}) = \ phi ({\ mathbf {v }}, {\ mathbf {w}})

\phi _{2}:V\to V^{*}\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )

{\ displaystyle \ phi _ {2}: V \ to V ^ {*} \ qquad \ phi _ {2} (\ mathbf {v}) (\ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {v})}

\ phi _ {2}: V \ to V ^ {*} \ qquad \ phi _ {2} ({\ mathbf {v}}) ({\ mathbf {w}}) = \ phi ({\ mathbf {w }}, {\ mathbf {v}})

Cu alte cuvinte, $\phi _{1}(\mathbf {v} )$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} (\ mathbf {v})}$ $\ phi _ {1} ({\ mathbf {v}})$ este elementul $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ care trimite $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ în $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ .

Pentru a indica poziția argumentului în harta liniară rezultată, se folosește notația:

\phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot )

{\ displaystyle \ phi _ {1} (\ mathbf {v}) = \ phi (\ mathbf {v}, \ cdot)}

\ phi _ {1} ({\ mathbf {v}}) = \ phi ({\ mathbf {v}}, \ cdot)

\phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} )

{\ displaystyle \ phi _ {2} (\ mathbf {v}) = \ phi (\ cdot, \ mathbf {v})}

\ phi _ {2} ({\ mathbf {v}}) = \ phi (\ cdot, {\ mathbf {v}})

Orice hartă liniară $T:V\to V^{*}$ ${\ displaystyle T: V \ to V ^ {*}}$ $T: V \ to V ^ {*}$ în mod similar definește o funcție biliniară:

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )\

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = T (\ mathbf {v}) (\ mathbf {w}) \}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = T ({\ mathbf v}) ({\ mathbf w}) \

Forme simetrice și antisimetrice

O formă biliniară $\phi :V\times V\to K$ ${\ displaystyle \ phi: V \ times V \ to K}$ $\ phi: V \ times V \ to K$ se spune că este simetric dacă: ^[3]

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {v}) \}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = \ phi ({\ mathbf w}, {\ mathbf v}) \

pentru fiecare $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ Și $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . În schimb, se numește antisimetric sau alternativ dacă:

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = - \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {v}) \}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = - \ phi ({\ mathbf w}, {\ mathbf v}) \

.

O formă biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este simetric dacă și numai dacă matricea asociată $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (față de orice bază) este simetrică și este antisimetrică dacă și numai dacă matricea asociată este antisimetrică .

Dacă forma biliniară este simetrică, cele două hărți $\phi _{1}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}}$ $\ phi _ {1}$ Și $\phi _{2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {2}}$ $\ phi _ {2}$ definite mai sus coincid.

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu are caracteristica 2, atunci o caracterizare echivalentă a unei forme antisimetrice este:

\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) = 0}

\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) = 0

pentru fiecare $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ . În caz contrar, condiția anterioară este suficientă doar.

Produs scalar

Același subiect în detaliu: produs Dot .

O formă biliniară simetrică este adesea numită produs scalar . ^[3] Alți autori definesc în schimb produsul punct ca o formă bilineară simetrică cu valori în câmp $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ mathbb {R}}$ de numere reale care este pozitiv definit , adică cu $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {v})> 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf v})> 0$ pentru fiecare $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ non-zero, e $\phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {0}, \ mathbf {0}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf 0}, {\ mathbf 0}) = 0$ .

Formă degenerată

O formă biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definit pe un spațiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiune finită este degenerată dacă matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ care îl reprezintă în raport cu o bază are determinant nul. În caz contrar, se spune că este nedegenerat . Definiția nu depinde de baza aleasă pentru a reprezenta forma ca matrice.

Următoarele fapte sunt echivalente:

Forma biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este degenerat.
Există un vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ nu nul astfel încât $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = 0$ pentru fiecare $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ .
Există un vector $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ nu nul astfel încât $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = 0$ pentru fiecare $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ .

Exemple

Produsul scalar canonic dintre vectori ai planului sau spațiului euclidian este o formă biliniară simetrică.
Este $C[0,1]$ ${\ displaystyle C [0,1]}$ $C [0,1]$ spațiul vectorial al funcțiilor continue pe interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , la valori reale . Un exemplu de formă bilineară simetrică definită pe $C[0,1]$ ${\ displaystyle C [0,1]}$ $C [0,1]$ este dat de:

\phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx

{\ displaystyle \ phi (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx}

\ phi (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx

Notă

^ S. Lang , pagina 182 .
^ S. Lang , pagina 183 .
^ ^a ^b S. Lang , p . 185 .

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse sub formă biliniară
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în formă biliniară

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 182 .

[2] S. Lang , pagina 183 .

[simm-3] S. Lang , p . 185 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema