Forma canonică Iordania

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - "descompunerea Iordaniei" se referă aici. Dacă sunteți în căutarea descompunerii unei măsuri semnate , consultați Teorema descompunerii lui Hahn .
Exemplu de matrice canonică Jordan. Blocurile evidențiate în gri se numesc blocuri Jordan .

În matematică , mai exact în algebra liniară , forma canonică Jordan a unei matrice pătrate este o matrice triunghiulară J similară cu A care are o structură cât mai apropiată de o matrice diagonală . Matricea este diagonală dacă și numai dacă este diagonalizabil , altfel este împărțit în blocuri numite blocuri Jordan . [1]

Forma canonică caracterizează în mod unic clasa de similaritate a unei matrice. Cu alte cuvinte, două matrice sunt similare dacă și numai dacă au aceeași formă Jordan (cu excepția cazului în permutarea blocurilor).

Numele se datorează matematicianului francez Camille Jordan care a lucrat la matrice diagonalizabile.

Definiție

Un bloc de ordine Jordan este o matrice triunghiulară superioară cu rânduri compuse după cum urmează:

unde fiecare element al diagonalei este egal cu și în fiecare poziție găsim un 1. Polinomul său caracteristic este și, prin urmare, are ca singura valoare proprie cu multiplicitate algebrică . Pe de altă parte, spațiul egal raportat la Și:

având, deci, dimensiunea 1. Din teorema diagonalizabilității rezultă că dacă Blocul lui Jordan nu este diagonalizabil.

O matrice canonică Jordan sau matricea Jordan este o matrice bloc de tipul:

unde este este un bloc propriu Jordan . Fiecare bloc Jordan contribuie cu un spațiu spațial unidimensional în raport cu .

Multiplicitatea geometrică a , definit ca dimensiunea spațiului propriu, este egal cu numărul de blocuri cu valoare proprie . Pe de altă parte, multiplicitatea algebrică a , definit ca multiplicitatea rădăcinii în polinomul caracteristic al , este egal cu suma ordinelor tuturor blocurilor cu valoare proprie .

În acest context, teorema diagonalizabilității afirmă, prin urmare, că este diagonalizabil dacă și numai dacă multiplicitățile algebrice și geometrice coincid sau dacă și numai dacă blocurile au toate un ordin egal cu 1: cu alte cuvinte, poate fi diagonalizată dacă și numai dacă este deja diagonală.

Teorema lui Jordan

Se spune că o matrice pătrată cu elemente într-un câmp are „toate valorile proprii din câmp” dacă suma multiplicităților algebrice ale valorilor proprii este egală cu numărul de rânduri de . Acest lucru este echivalent cu a spune că polinomul său caracteristic are „toate rădăcinile în câmp”, adică se rupe ca produs al polinoamelor de gradul I. Totuși, acest lucru este întotdeauna adevărat este închis algebric , de exemplu dacă este câmpul numerelor complexe .

Teorema lui Jordan afirmă că fiecare matrice are o „formă canonică Jordan” și că două matrice sunt similare dacă și numai dacă au aceeași formă canonică:

  • Este o matrice pătrată cu elemente în având toate valorile proprii din domeniu. Atunci este similar cu o matrice Jordan.
  • Două matrice Jordan Și sunt similare dacă și numai dacă sunt obținute una de la alta prin blocuri permutante.

Exemple

Vrem să calculăm forma canonică Jordan a matricei

Polinomul său caracteristic este , prin urmare, valorile sale proprii sunt 4, 4, 2 și 1. Amintiți-vă că, dacă indicați cu Și multiplicitățile algebrice și geometrice ale unei valori proprii , următoarele inegalități sunt întotdeauna valabile:

Deci, în acest caz, multiplicitățile algebrice și geometrice ale valorilor proprii 2 și 1 sunt toate 1, iar singura cantitate de găsit este multiplicitatea geometrică a 4, care poate fi 1 sau 2. Multiplicitatea geometrică a unei valori proprii indică numărul de blocuri din Iordania prezente în raport cu acea valoare proprie. Noi vedem asta:

Prin urmare, rezultă că nu este diagonalizabilă, iar valoarea proprie 4 are un singur bloc Jordan. Datele deținute sunt suficiente pentru a determina matricea Jordan, care este următoarea:

Polinom minim

Polinomul minim a unei matrice este calculabil din forma sa de Iordan . De fapt, se descompune ca:

unde este sunt valorile proprii (distincte, adică listate fără multiplicitate) ale , Și este ordinea celui mai mare bloc Jordan dintre toate cele referitoare la valoarea proprie .

De exemplu, următoarea matrice:

are ca polinom caracteristic e ca un polinom minim.

Folosind teorema lui Jordan și descompunerea polinomului minim afirmat, avem cele două matrice

au aceleași polinoame caracteristice (și, prin urmare, același determinant , aceeași urmă și aceleași valori proprii ), aceleași polinoame minime, dar nu sunt similare.

Notă

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, forma canonică a Iordaniei , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică