Forma canonică Iordania
În matematică , mai exact în algebra liniară , forma canonică Jordan a unei matrice pătrate este o matrice triunghiulară J similară cu A care are o structură cât mai apropiată de o matrice diagonală . Matricea este diagonală dacă și numai dacă este diagonalizabil , altfel este împărțit în blocuri numite blocuri Jordan . [1]
Forma canonică caracterizează în mod unic clasa de similaritate a unei matrice. Cu alte cuvinte, două matrice sunt similare dacă și numai dacă au aceeași formă Jordan (cu excepția cazului în permutarea blocurilor).
Numele se datorează matematicianului francez Camille Jordan care a lucrat la matrice diagonalizabile.
Definiție
Un bloc de ordine Jordan este o matrice triunghiulară superioară cu rânduri compuse după cum urmează:
unde fiecare element al diagonalei este egal cu și în fiecare poziție găsim un 1. Polinomul său caracteristic este și, prin urmare, are ca singura valoare proprie cu multiplicitate algebrică . Pe de altă parte, spațiul egal raportat la Și:
având, deci, dimensiunea 1. Din teorema diagonalizabilității rezultă că dacă Blocul lui Jordan nu este diagonalizabil.
O matrice canonică Jordan sau matricea Jordan este o matrice bloc de tipul:
unde este este un bloc propriu Jordan . Fiecare bloc Jordan contribuie cu un spațiu spațial unidimensional în raport cu .
Multiplicitatea geometrică a , definit ca dimensiunea spațiului propriu, este egal cu numărul de blocuri cu valoare proprie . Pe de altă parte, multiplicitatea algebrică a , definit ca multiplicitatea rădăcinii în polinomul caracteristic al , este egal cu suma ordinelor tuturor blocurilor cu valoare proprie .
În acest context, teorema diagonalizabilității afirmă, prin urmare, că este diagonalizabil dacă și numai dacă multiplicitățile algebrice și geometrice coincid sau dacă și numai dacă blocurile au toate un ordin egal cu 1: cu alte cuvinte, poate fi diagonalizată dacă și numai dacă este deja diagonală.
Teorema lui Jordan
Se spune că o matrice pătrată cu elemente într-un câmp are „toate valorile proprii din câmp” dacă suma multiplicităților algebrice ale valorilor proprii este egală cu numărul de rânduri de . Acest lucru este echivalent cu a spune că polinomul său caracteristic are „toate rădăcinile în câmp”, adică se rupe ca produs al polinoamelor de gradul I. Totuși, acest lucru este întotdeauna adevărat este închis algebric , de exemplu dacă este câmpul numerelor complexe .
Teorema lui Jordan afirmă că fiecare matrice are o „formă canonică Jordan” și că două matrice sunt similare dacă și numai dacă au aceeași formă canonică:
- Este o matrice pătrată cu elemente în având toate valorile proprii din domeniu. Atunci este similar cu o matrice Jordan.
- Două matrice Jordan Și sunt similare dacă și numai dacă sunt obținute una de la alta prin blocuri permutante.
Exemple
Vrem să calculăm forma canonică Jordan a matricei
Polinomul său caracteristic este , prin urmare, valorile sale proprii sunt 4, 4, 2 și 1. Amintiți-vă că, dacă indicați cu Și multiplicitățile algebrice și geometrice ale unei valori proprii , următoarele inegalități sunt întotdeauna valabile:
Deci, în acest caz, multiplicitățile algebrice și geometrice ale valorilor proprii 2 și 1 sunt toate 1, iar singura cantitate de găsit este multiplicitatea geometrică a 4, care poate fi 1 sau 2. Multiplicitatea geometrică a unei valori proprii indică numărul de blocuri din Iordania prezente în raport cu acea valoare proprie. Noi vedem asta:
Prin urmare, rezultă că nu este diagonalizabilă, iar valoarea proprie 4 are un singur bloc Jordan. Datele deținute sunt suficiente pentru a determina matricea Jordan, care este următoarea:
Polinom minim
Polinomul minim a unei matrice este calculabil din forma sa de Iordan . De fapt, se descompune ca:
unde este sunt valorile proprii (distincte, adică listate fără multiplicitate) ale , Și este ordinea celui mai mare bloc Jordan dintre toate cele referitoare la valoarea proprie .
De exemplu, următoarea matrice:
are ca polinom caracteristic e ca un polinom minim.
Folosind teorema lui Jordan și descompunerea polinomului minim afirmat, avem cele două matrice
- au aceleași polinoame caracteristice (și, prin urmare, același determinant , aceeași urmă și aceleași valori proprii ), aceleași polinoame minime, dar nu sunt similare.
Notă
- ^ (EN) Eric W. Weisstein, forma canonică a Iordaniei , în MathWorld , Wolfram Research.
Bibliografie
- ( EN ) Nelson Dunford și Jacob T. Schwartz, Operatori lineari, Partea 1: Teorie generală , știință , 1958, ISBN 0-471-60848-3 .
- ( EN ) Daniel T. Finkbeiner II,Introducere în matrice și transformări liniare , Freeman, 1978.
- Letterio Gatto, O introducere prietenoasă la forma canonică a Iordaniei , CLUT, 1998, ISBN 88-7992-139-8 .
- ( EN ) Gene H. Golub și Charles F. Van Loan, Matrix Computations , ediția a III-a, Johns Hopkins University Press, 1996.
- ( EN ) Gene H. Golub și JH Wilkinson, Eigensystems Ill-Conditioned and the Computation of the Jordan Canonical Form , în SIAM Review , vol. 18, nr. 4, 1976, pp. 578-619, DOI : 10.1137 / 1018113 .
- ( EN ) Igor 'R. Šafarevič și Alexey O. Remizov, Algebra liniară și geometrie , Springer, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9 .
Elemente conexe
- Vector propriu și valoare proprie
- Descompunerea unei matrice
- Diagonalizabilitate
- Matricea diagonală
- Matricea pătrată
- Matricea triunghiulară
- Polinom caracteristic
- Polinom minim
- Asemănare între matrice