Forma quadratică

În matematică o formă pătratică este un polinom omogen de gradul 2 într-un număr de variabile. De exemplu, distanța dintre două puncte într-un spațiu euclidian tridimensional se obține din rădăcina pătrată a unei forme pătratice în 6 variabile, cele trei coordonate carteziene ortogonale ale fiecăruia dintre cele două puncte.

Exemple de forme pătratice în una, două și trei variabile sunt date de:

F(x)=ax^{2}

{\ displaystyle F (x) = ax ^ {2}}

F (x) = ax ^ {2}

F(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy

{\ displaystyle F (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cxy}

F (x, y) = ax ^ {2} + cu ^ {2} + cxy

F(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz

{\ displaystyle F (x, y, z) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz}

F (x, y, z) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz

Observați că funcțiile pătratice nu sunt, în general, forme pătratice, deoarece nu sunt polinoame omogene în variabile (cu excepția cazurilor speciale în care coeficienții termenilor de gradul 1 și 0 sunt nuli).

Definiție

O formă pătratică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -air pe un spatiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe teren $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ este un polinom omogen de gradul II în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile:

q(\mathbf {v} )=q(v_{1},\dots ,v_{n})=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}v_{i}v_{j},

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = q (v_ {1}, \ dots, v_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} v_ {i} v_ {j},}

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = q (v_ {1}, \ dots, v_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} a_ {ij} v_ {i} v_ {j},}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este dimensiunea spațiului vectorial, adică $n=\dim _{\mathbb {K} }V$ ${\ displaystyle n = \ dim _ {\ mathbb {K}} V}$ $n = \ dim _ {{{\ mathbb {K}}}} V$ , subiectul $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ ${\ mathbf {v}} \ în V$ este un vector de componente $v_{1},\dots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ dots, v_ {n}$ ei $a_{ij}\in \mathbb {K}$ ${\ displaystyle a_ {ij} \ in \ mathbb {K}}$ $a _ {{ij}} \ in {\ mathbb {K}}$ se numesc coeficienți ai formei pătratice, care identifică o matrice simetrică $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Prin urmare, forma pătratică poate fi exprimată și sub forma:

q(\mathbf {v} )=\mathbf {v} ^{T}A\mathbf {v}

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = \ mathbf {v} ^ {T} A \ mathbf {v}}

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = \ mathbf {v} ^ {T} A \ mathbf {v}}

Formă cuadratică asociată cu o formă biliniară

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe teren $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ , este $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ o formă biliniară pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Este definită forma pătratică asociată cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ cererea: ^[1]

q:V\longrightarrow \mathbb {K}

{\ displaystyle q: V \ longrightarrow \ mathbb {K}}

q: V \ longrightarrow {\ mathbb {K}}

decât la orice vector de spațiu vectorial $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ asociați numărul:

q(\mathbf {v} )=b(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = b (\ mathbf {v}, \ mathbf {v})}

q ({\ mathbf v}) = b ({\ mathbf v}, {\ mathbf v})

S-a remediat o bază a spațiului, dacă $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este vectorul de coordonate al $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ matricea reprezentativă a formei pătratice, avem:

q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}

{\ displaystyle q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}}

q ({\ mathbf x}) = {\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}

Proprietate

Forma pătratică astfel definită verifică următoarea proprietate, numită proprietate de polarizare :

{\frac {1}{2}}\left(q(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-q(\mathbf {v} )-q(\mathbf {w} )\right)={\frac {1}{2}}(b(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+b(\mathbf {w} ,\mathbf {v} )+b(\mathbf {w} ,\mathbf {w} )-b(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )-b(\mathbf {w} ,\mathbf {w} ))=

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (q (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -q (\ mathbf {v}) -q (\ mathbf {w}) \ right ) = {\ frac {1} {2}} (b (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) + b (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) + b (\ mathbf {w} , \ mathbf {v}) + b (\ mathbf {w}, \ mathbf {w}) -b (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) -b (\ mathbf {w}, \ mathbf {w })) =}

{\ frac {1} {2}} \ left (q ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) - q ({\ mathbf v}) - q ({\ mathbf w}) \ right) = { \ frac {1} {2}} (b ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) + b ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) + b ({\ mathbf w}, {\ mathbf v}) + b ({\ mathbf w}, {\ mathbf w}) - b ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) - b ({\ mathbf w}, {\ mathbf w})) =

={\frac {1}{2}}(b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+b(\mathbf {w} ,\mathbf {v} ))=f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )

{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (b (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) + b (\ mathbf {w}, \ mathbf {v})) = f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (b (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) + b (\ mathbf {w}, \ mathbf {v})) = f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}

pentru $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ în V}$ ${\ mathbf v}, {\ mathbf w} \ în V$ .

După cum se poate observa, forma biliniară $f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ obținută prin aplicarea formulei de mai sus este simetrică prin construcție. Acest fapt determină unii autori să definească formele pătratice într-un mod mai puțin general, cerând ca forma de pornire $b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $b ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ este simetric. Cu toate acestea, se poate observa că, dată fiind o formă generică $b(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $b ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ și simetricul său asociat $f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ , ambele forme biliniare generează aceeași formă pătratică. Non-biunivocitatea relației dintre formele bilinare și pătratice este un fapt general: este de fapt evident că, luând o formă biliniară simetrică și adăugându-i o altă formă biliniară antisimetrică, rezultatul este din nou o formă biliniară și că această formă induce încă o dată aceeași formă pătratică.

Mai mult, cerând ca forma biliniară asociată să fie simetrică, relația dintre formele pătratice și formele biliniare devine biunivocă: de fapt, presupusă $f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ Și $f'(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle f '(\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}$ $f '({\ mathbf v}, {\ mathbf w})$ două forme biliniare simetrice distincte care ambele induc:

q(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=f'(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )

{\ displaystyle q (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) = f '(\ mathbf {v}, \ mathbf {v})}

q ({\ mathbf v}) = f ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) = f '({\ mathbf v}, {\ mathbf v})

trecând prin formula de polarizare (și omițând pașii de dragul conciziei) vom avea:

f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )={\frac {1}{2}}\left(q(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-q(\mathbf {v} )-q(\mathbf {w} )\right)=f'(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )

{\ displaystyle f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = {\ frac {1} {2}} \ left (q (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -q (\ mathbf {v}) -q (\ mathbf {w}) \ right) = f '(\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}

f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = {\ frac {1} {2}} \ left (q ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) - q ({\ mathbf v} ) -q ({\ mathbf w}) \ right) = f '({\ mathbf v}, {\ mathbf w})

Forma pătratică (așa cum sugerează numele) nu este liniară, de fapt din definiția folosind forme biliniare obținem:

q(\lambda \mathbf {v} )=f(\lambda \mathbf {v} ,\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{2}f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=\lambda ^{2}q(\mathbf {v} )

{\ displaystyle q (\ lambda \ mathbf {v}) = f (\ lambda \ mathbf {v}, \ lambda \ mathbf {v}) = \ lambda ^ {2} f (\ mathbf {v}, \ mathbf { v}) = \ lambda ^ {2} q (\ mathbf {v})}

q (\ lambda {\ mathbf v}) = f (\ lambda {\ mathbf v}, \ lambda {\ mathbf v}) = \ lambda ^ {2} f ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) = \ lambda ^ {2} q ({\ mathbf v})

în timp ce din aplicarea proprietății de polarizare obținem:

q(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=

{\ displaystyle q (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) = f (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}, \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) = f (\ mathbf { v}, \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) + f (\ mathbf {w}, \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) =}

q ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) = f ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}, {\ mathbf v} + {\ mathbf w}) = f ({\ mathbf v}, {\ mathbf v} + {\ mathbf w}) + f ({\ mathbf w}, {\ mathbf v} + {\ mathbf w}) =

=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {w} )=q(\mathbf {v} )+2f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+q(\mathbf {w} )

{\ displaystyle = f (\ mathbf {v}, \ mathbf {v}) + f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) + f (\ mathbf {w}, \ mathbf {v}) + f (\ mathbf {w}, \ mathbf {w}) = q (\ mathbf {v}) + 2f (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) + q (\ mathbf {w})}

= f ({\ mathbf v}, {\ mathbf v}) + f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) + f ({\ mathbf w}, {\ mathbf v}) + f ({\ mathbf w}, {\ mathbf w}) = q ({\ mathbf v}) + 2f ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) + q ({\ mathbf w})

Dacă luăm în considerare un set de vectori pe plan cartezian, nu este dificil, folosind formula de mai sus, să arătăm că o formă pătratică generică ia forma:

F(x,y)=ax^{2}+by^{2}+2cxy\

{\ displaystyle F (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2} + 2cxy \}

F (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2} + 2cxy \

vedem că poate fi exprimat ca:

q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}

{\ displaystyle q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}}

q ({\ mathbf x}) = {\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}

cu:

\mathbf {x} =\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]\qquad M=\left[{\begin{matrix}a&c\\c&b\end{matrix}}\right]

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left [{\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right] \ qquad M = \ left [{\ begin {matrix} a & c \\ c & b \ end {matrix}} \ right]}

{\ mathbf {x}} = \ left [{\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right] \ qquad M = \ left [{\ begin {matrix} a & c \\ c & b \ end {matrix}} \ right]

Această observație se generalizează ușor la formele din n variabile și la matricile simetrice n × n . Poate fi folosit pentru a arăta că teoria formelor pătratice coincide, așa cum sa menționat mai sus, cu cea a formelor simetrice biliniare. Acest lucru este permis de faptul că schimbarea notațiilor care leagă cele două noțiuni, cu o singură excepție, nu pune nicio dificultate: este doar o chestiune de înjumătățire a coeficienților binomilor referitori la două variabile diferite. Acest lucru se poate face pentru fiecare câmp, cu singura excepție fiind câmpurile caracteristicii 2. De exemplu, tratarea formelor pătratice reale și tratarea formelor biliniare simetrice (construite folosind matrici simetrice) corespunde examinării aceluiași obiect din două puncte de vedere.

O neînțelegere obișnuită

Proprietatea:

q(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{2}q(\mathbf {v} )

{\ displaystyle q (\ lambda \ mathbf {v}) = \ lambda ^ {2} q (\ mathbf {v})}

q (\ lambda {\ mathbf v}) = \ lambda ^ {2} q ({\ mathbf v})

În sine nu este suficient să se asigure că, prin aplicarea formulei de polarizare, funcția care va fi obținută este o formă biliniară. Cu alte cuvinte, nu toate funcțiile care verifică condiția anterioară sunt forme pătratice, adică condiția este necesară, dar nu suficientă.

Un simplu contraexemplu poate fi căutat și găsit în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ unde, după introducerea izomorfismului evident între coordonatele carteziene și coordonatele polare , avem următoarea funcție:

q'(v)=r^{2}\sin(\theta )

{\ displaystyle q '(v) = r ^ {2} \ sin (\ theta)}

q '(v) = r ^ {2} \ sin (\ theta)

verifică ipoteza de pornire, dar că ipoteticul:

f'(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )={\frac {1}{2}}\left(q'(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-q'(\mathbf {v} )-q'(\mathbf {w} )\right)

{\ displaystyle f '(\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = {\ frac {1} {2}} \ left (q' (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -q ' (\ mathbf {v}) -q '(\ mathbf {w}) \ right)}

f '({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = {\ frac {1} {2}} \ left (q' ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) - q '({\ mathbf v}) - q '({\ mathbf w}) \ dreapta)

nu este o formă biliniară, pentru a o demonstra este suficient să găsiți un contraexemplu.

O metodă simplă este de a evalua următoarea egalitate, care ar trebui să fie neapărat adevărată în cazul formelor biliniare , indiferent dacă sunt verificate sau nu. Numerele au fost alese ad hoc pentru a facilita conturile, întrucât constituie un triplu pitagoric .

4=(20-16)=(5^{2}(4/5)-3^{2}(0)-4^{2}(1))=f'(\mathbf {3} e_{1},\mathbf {4} e_{2}){\overset {\underset {\mathrm {?} }{}}{=}}f'(\mathbf {4} e_{1},\mathbf {3} e_{2})=

{\ displaystyle 4 = (20-16) = (5 ^ {2} (4/5) -3 ^ {2} (0) -4 ^ {2} (1)) = f '(\ mathbf {3} e_ {1}, \ mathbf {4} e_ {2}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {?}} {}} {=}} f '(\ mathbf {4} e_ {1}, \ mathbf {3} și_ {2}) =}

4 = (20-16) = (5 ^ {2} (4/5) -3 ^ {2} (0) -4 ^ {2} (1)) = f '({\ mathbf 3} e_ {1 }, {\ mathbf 4} e_ {2}) {\ overset {{\ underset {{\ mathrm {?}}} {}}} {=}} f '({\ mathbf 4} e_ {1}, { \ mathbf 3} e_ {2}) =

=(5^{2}(3/5)-4^{2}(0)-3^{2}(1))=(15-9)=6

{\ displaystyle = (5 ^ {2} (3/5) -4 ^ {2} (0) -3 ^ {2} (1)) = (15-9) = 6}

= (5 ^ {2} (3/5) -4 ^ {2} (0) -3 ^ {2} (1)) = (15-9) = 6

După cum se poate observa, biliniaritatea nu este respectată.

Formă pătratică peste un modul sau spațiu vectorial

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un modul peste un inel comutativ $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . În special, afectează cazul în care $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial peste un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

O astfel de funcție $Q:V\to F$ ${\ displaystyle Q: V \ to F}$ $Î: V \ la F.$ se numește formă pătratică deasupra $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de sine:

$Q(a\mathbf {u} )=a^{2}Q(\mathbf {u} )\qquad \forall a\in F\quad \forall \mathbf {u} \in V$ ${\ displaystyle Q (a \ mathbf {u}) = a ^ {2} Q (\ mathbf {u}) \ qquad \ forall a \ in F \ quad \ forall \ mathbf {u} \ in V}$ $Q (a {\ mathbf u}) = a ^ {2} Q ({\ mathbf u}) \ qquad \ forall a \ in F \ quad \ forall {\ mathbf u} \ in V$
Aplicația:

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} )

{\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = Q (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) -Q (\ mathbf {u}) -Q (\ mathbf {v}) }

B ({\ mathbf u}, {\ mathbf v}) = Q ({\ mathbf u} + {\ mathbf v}) - Q ({\ mathbf u}) - Q ({\ mathbf v})

este oformă biliniară simetrică pe

V.

{\ displaystyle V}

V.

.

$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se numește formă biliniară asociată sau polară și că aceasta (datorită discrepanțelor stilistice dintre autori) diferă de cea prezentată anterior de un factor ${1 \over 2}$ ${\ displaystyle {1 \ over 2}}$ ${1 \ peste 2}$ . De asemenea, rețineți că pentru fiecare vector $\mathbf {u} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ în V}$ ${\ mathbf u} \ în V$ este valabil:

2Q(\mathbf {u} )=B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )

{\ displaystyle 2Q (\ mathbf {u}) = B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u})}

2Q ({\ mathbf u}) = B ({\ mathbf u}, {\ mathbf u})

și în consecință dacă $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ este inversabil la $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (deci pentru orice eventualitate $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ atât un câmp trebuie să aibă alte caracteristici decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ) putem deriva forma pătratică din forma simetrică biliniară $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu expresia:

Q(\mathbf {u} )={1 \over 2}B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )

{\ displaystyle Q (\ mathbf {u}) = {1 \ peste 2} B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u})}

Q ({\ mathbf u}) = {1 \ peste 2} B ({\ mathbf u}, {\ mathbf u})

Cand $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ este inversabilă, această expresie evidențiază o corespondență unu-la-unu între formele pătratice de pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și forme biliniare simetrice pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este orice formă bilineară simetrică, atunci $B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )$ ${\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {u})}$ $B ({\ mathbf u}, {\ mathbf u})$ este întotdeauna o formă pătratică. Acest fapt este uneori folosit pentru definirea unei forme pătratice, dar dacă $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ nu este inversabilă această definiție este insuficientă, deoarece nu toate formele pătratice pot fi obținute cu această construcție.

Formele pătratice de deasupra inelului numerelor întregi se numesc forme pătratice întregi sau rețele întregi . Ei joacă roluri importante în teoria numerelor și topologie .

Doi transportatori $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numesc ortogonale pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ de sine:

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0

{\ displaystyle B (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = 0}

B ({\ mathbf u}, {\ mathbf v}) = 0

Nucleul formei biliniare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este ansamblul elementelor din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care sunt ortogonale tuturor elementelor din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , în timp ce miezul formei pătratice $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ constă din toate elementele $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ a nucleului de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru care $Q(\mathbf {u} )=0$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {u}) = 0}$ $Q ({\ mathbf u}) = 0$ . Dacă și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este inversabil $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ și forma sa biliniară asociată $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au același nucleu.

Forma biliniară $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se spune că este o formă biliniară nesingulară dacă nucleul său este redus la. Forma pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ se numește formă pătratică nesingulară dacă nucleul său este constituit de singura.

Se numește grup ortogonal al unei forme pătratice nesingulare $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ grupul de automorfisme ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ care păstrează forma $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este liber de rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , se poate scrie o formă biliniară $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ca matrice simetrică ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat B}$ relativ la vreo bază $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i} \}}$ $\ {{\ mathbf e} _ {i} \}$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Componentele acestei matrice ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat B}$ sunt date de:

{\hat {B}}_{ij}=B(e_{i},e_{j})

{\ displaystyle {\ hat {B}} _ {ij} = B (e_ {i}, e_ {j})}

{\ hat B} _ {{ij}} = B (e_ {i}, e_ {j})

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este inversabilă, forma pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ se obține din:

2Q(u)=\mathbf {u} ^{T}B\mathbf {u} =\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}u^{i}u^{j}

{\ displaystyle 2Q (u) = \ mathbf {u} ^ {T} B \ mathbf {u} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} u ^ {i} u ^ { j}}

2Q (u) = {\ mathbf {u}} ^ {T} B {\ mathbf {u}} = \ sum _ {{i, j = 1}} ^ {{n}} B _ {{ij}} u ^ {i} u ^ {j}

unde $u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ sunt componentele $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ pe această bază.

Alte două proprietăți ale formelor pătratice sunt următoarele.

$Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ respectă legea paralelogramului :

Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)

{\ displaystyle Q (u + v) + Q (uv) = 2Q (u) + 2Q (v)}

Q (u + v) + Q (u-v) = 2Q (u) + 2Q (v)

Purtători $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ sunt ortogonali cu privire la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă și numai dacă:

Q(u+v)=Q(u)+Q(v)

{\ displaystyle Q (u + v) = Q (u) + Q (v)}

Q (u + v) = Q (u) + Q (v)

Caracterul definiției unei forme pătratice

Luați în considerare o formă pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ definit pe un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Se spune că este pozitiv definit dacă pentru fiecare vector $v\not =0$ ${\ displaystyle v \ not = 0}$ $v \ not = 0$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ da ai $Q(v)>0$ ${\ displaystyle Q (v)> 0}$ $Q (v)> 0$ . Pe de altă parte, spunem negativ definit dacă pentru fiecare vector $v\not =0$ ${\ displaystyle v \ not = 0}$ $v \ not = 0$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ da ai $Q(v)<0$ ${\ displaystyle Q (v) <0}$ $Q (v) <0$ . Când în inegalitățile anterioare inegalitățile înguste sunt înlocuite respectiv cu $\geq$ ${\ displaystyle \ geq}$ $\ geq$ si cu $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ , definim forma pătratică semidefinită pozitivă și respectiv forma pătratică semidefinită negativă .

Criterii de clasificare

În general, o formă pătratică poate fi:

Definit ca pozitiv dacă $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}> 0}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}> 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq 0}$ ${\ mathbf x} \ neq 0$ .
Definit ca negativ dacă $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} <0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x} <0}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x} <0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq 0}$ ${\ mathbf x} \ neq 0$ .
Semidefinită pozitivă dacă $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} \geq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x} \ geq 0}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x} \ geq 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq 0}$ ${\ mathbf x} \ neq 0$ .
Semidefinit negativ dacă $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} \leq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x} \ leq 0}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x} \ leq 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq 0}$ ${\ mathbf x} \ neq 0$ .
Nedefinit pentru orice alt caz.

Pentru a identifica semnul unei forme pătratice, pot fi utilizate următoarele două teoreme.

Prima teoremă

Este $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}$ o formă pătratică cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ matricea de ordine simetrică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de:

Forma pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt mai mari de 0.
Forma pătratică este negativă definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt mai mici de 0.
Forma pătratică este semidefinită pozitivă, dar nu pozitivă definită, dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt mai mari decât 0 și există cel puțin unul egal cu 0.
Forma pătratică este semidefinită negativă, dar nu negativă definită, dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt mai mici de 0 și există cel puțin unul egal cu 0.

A doua teoremă

Este $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}$ o formă pătratică cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ matricea de ordine simetrică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de:

Forma pătratică este definită pozitiv dacă și numai dacă toți minorii dominanți majori au determinant mai mare de 0.
Forma pătratică este definitiv negativă dacă și numai dacă minorii principali dominanți de ordin par au determinant pozitiv, iar cei de ordin impar au determinant negativ.
Forma pătratică este semidefinită pozitivă dacă și numai dacă toți minorii majori au determinant mai mare sau egal cu 0.
Forma pătratică este semidefinită negativă dacă și numai dacă minorii principali de ordin par au determinant mai mare sau egal cu zero, cei de ordin impar au o valoare mai mică sau egală cu zero.
În toate celelalte cazuri este nedefinit.

Altă metodă

Deoarece căutarea valorilor proprii nu este „simplă” în general, metoda de reducere cu mișcări gaussiene, care păstrează determinantul, este la fel de valabilă (adăugați la mai multe rânduri din alte rânduri, mutați rândurile de un număr par de ori etc.) ..) pentru a duce înapoi la o formă triunghiulară superioară cu zerouri sub diagonală. Produsul elementelor diagonalei este determinantul, atunci, dacă toate elementele sunt mai mari (sau mai mici) decât zero, atunci forma pătratică asociată este definitiv pozitivă (respectiv negativă); dacă sunt mai mari sau egale (respectiv mai mici sau egale) cu zero, este semidefinit pozitiv (resp. semidefinit negativ); nedefinit dacă unele elemente de-a lungul diagonalei sunt pozitive și altele negative. Evident, toate acestea sunt valabile dacă matricea de pornire este simetrică, dacă nu este, luați partea sa simetrică și continuați.

Forme izotrope (sau degenerate) și anizotrope

O formă pătratică $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ pe spațiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numește formă pătratică izotropă (sau formă pătratică degenerată ) când se află $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se găsește un vector diferit de zero $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ astfel încât $Q(v)=0$ ${\ displaystyle Q (v) = 0}$ $Q (v) = 0$ . Altfel vorbim de formă pătratică anizotropă (sau formă pătratică nedegenerată) .

Notă

^ S. Lang , pagina 189 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) JWS Cassels, Rational Quadratic Forms , London Mathematical Society Monographs, vol. 13, Academic Press, 1978, ISBN 0-12-163260-1 , Zbl 0395.10029 .
( EN ) Yoshiyuki Kitaoka, Aritmetica formelor pătratice , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 106, Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-40475-4 , Zbl 0785.11021 .
( EN ) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields , Studii postuniversitare în matematică, vol. 67, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023 .
( EN ) J. Milnor și D. Husemoller, Symmetric Bilinear Forms , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-06009-X , Zbl 0292.10016 .
( EN ) OT O'Meara, Introducere în formele pătratice , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 117, Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-66564-1 , Zbl 0259.10018 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere sub formă pătratică

linkuri externe

( EN ) AV Malyshev, Forma cvadratică , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AV Malyshev, Binary quadratic form , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 67334 · LCCN (EN) sh85050828 · GND (DE) 4128297-8 · BNF (FR) cb11935832h (data) · NDL (EN, JA) 00.568.586

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 189 .

[1]