Forma sesquiliniară

În matematică și fizică , o formă sesquiliniară peste un spațiu vectorial complex este o funcție care asociază un număr complex fiecărei perechi de vectori din spațiu și care este antiliniară într-un argument și liniară în celălalt. În special, convenția utilizată de obicei în matematică este că este liniară în primul argument și antiliniară în al doilea, în timp ce în fizică se întâmplă opusul (liniar în al doilea argument, antiliniar în primul), în conformitate cu bra-ket notație introdusă de Paul Dirac în formalismul mecanicii cuantice .

Deoarece o aplicație antiliniară este uneori numită semiliniară, denumirea sesquilineară provine din prefixul latin sesqui- care înseamnă „unul și jumătate”, în armonie cu termenul de formă biliniară , o funcție cu două argumente care este liniară în ambele. Mai mult decât atât, diverși autori care studiază implicit doar spații vectoriale complexe folosesc termenul „biliniar” în loc de „sesquiliniar” pentru concizie.

O formă sesquiliniară simetrică se numește formă hermitiană și este similară unei forme biliniare simetrice în cazul real. ^[1] O formă Hermitiană pozitivă definită se mai numește și produs interior sau produs Hermitian . Dacă luăm în considerare domeniul real, acest produs este produsul dot . ^[2]

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial complex . O formă sesquiliniară pe teren $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ este o hartă:

\phi :V\times V\to \mathbb {C}

{\ displaystyle \ phi: V \ times V \ to \ mathbb {C}}

\ phi: V \ times V \ to {\ mathbb {C}}

care asociază fiecărei perechi de elemente $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ Și $\mathbf {w} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în V}$ $\ mathbf w \ în V$ urcare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) \ în \ mathbb {C}}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) \ în {\ mathbb {C}}$ .

Este o aplicație liniară pe o componentă și anti- liniară pe cealaltă, adică:

$\phi (\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} +\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {w} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}, \ mathbf {z} + \ mathbf {w}) = \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) + \ phi ( \ mathbf {x}, \ mathbf {w}) + \ phi (\ mathbf {y}, \ mathbf {z}) + \ phi (\ mathbf {y}, \ mathbf {w})}$ $\ phi ({\ mathbf x} + {\ mathbf y}, {\ mathbf z} + {\ mathbf w}) = \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf z}) + \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf w}) + \ phi ({\ mathbf y}, {\ mathbf z}) + \ phi ({\ mathbf y}, {\ mathbf w})$
$\phi (a\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ ${\ displaystyle \ phi (a \ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = a \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}$ $\ phi (a {\ mathbf x}, {\ mathbf y}) = a \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y})$
$\phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, a \ mathbf {y}) = {\ bar {a}} \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}$ $\ phi ({\ mathbf x}, a {\ mathbf y}) = {\ bar {a}} \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y})$

cu $a\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {C}}$ $a \ in {\ mathbb {C}}$ Și $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ,\mathbf {w} \in \mathbb {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z}, \ mathbf {w} \ in \ mathbb {V}}$ ${\ mathbf x}, {\ mathbf y}, {\ mathbf z}, {\ mathbf w} \ în {\ mathbb {V}}$ .

Cu alte cuvinte, pentru fiecare $\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ mathbf z}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ fix, aplicații

\mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )\qquad \ \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )

{\ displaystyle \ mathbf {w} \ mapsto \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) \ qquad \ \ mathbf {w} \ mapsto \ phi (\ mathbf {z}, \ mathbf {w}) }

{\ mathbf w} \ mapsto \ phi ({\ mathbf w}, {\ mathbf z}) \ qquad \ {\ mathbf w} \ mapsto \ phi ({\ mathbf z}, {\ mathbf w})

sunt liniare și, respectiv, antiliniare.

Forma hermitiana

Același subiect în detaliu: Operator autoadjunct .

Având în vedere orice formă sesquiliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , este întotdeauna posibilă asocierea unei a doua forme sesquiliniare $\phi ^{\dagger }$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger}}$ $\ phi ^ {\ dagger}$ despre care se spune că se obține prin transpunere conjugată :

\phi ^{\dagger }(\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}

{\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = {\ overline {\ phi (\ mathbf {z}, \ mathbf {w})}}}

\ phi ^ {\ dagger} ({\ mathbf w}, {\ mathbf z}) = \ overline {\ phi ({\ mathbf z}, {\ mathbf w})}

și avem:

(\phi ^{\dagger })^{\dagger }=\phi

{\ displaystyle (\ phi ^ {\ dagger}) ^ {\ dagger} = \ phi}

(\ phi ^ {\ dagger}) ^ {\ dagger} = \ phi

O formă hermitiană este o formă sesquiliniară $\phi :V\times V\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ phi: V \ times V \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ phi: V \ times V \ to \ mathbb {C}}$ astfel încât: ^[3]

\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = {\ overline {\ phi (\ mathbf {z}, \ mathbf {w})}}}

\ phi ({\ mathbf w}, {\ mathbf z}) = \ overline {\ phi ({\ mathbf z}, {\ mathbf w})}

Forma hermitiană standard pe spațiu $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ este definit după cum urmează:

\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=\sum _{i=1}^{n}{\overline {z}}_{i}w_{i}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {z}} _ {i} w_ {i}}

\ phi ({\ mathbf w}, {\ mathbf z}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ overline {z} _ {i} w_ {i}

Astfel de forme sunt echivalentul complex al formelor biliniare simetrice și antisimetrice. În mod similar cu ceea ce se întâmplă în cazul real, fiecare formă sesquiliniară poate fi scrisă ca suma unui hermitian și a unui anti-hermitian:

\phi ={1 \over 2}(\phi +\phi ^{\dagger })+{1 \over 2}(\phi -\phi ^{\dagger })

{\ displaystyle \ phi = {1 \ over 2} (\ phi + \ phi ^ {\ dagger}) + {1 \ over 2} (\ phi - \ phi ^ {\ dagger})}

\ phi = {1 \ over 2} (\ phi + \ phi ^ {\ dagger}) + {1 \ over 2} (\ phi - \ phi ^ {\ dagger})

Produs intern

Același subiect în detaliu: spațiul prehilbertian .

Produsul interior, numit și produsul Hermitian , este o formă Hermitian pozitivă definită , adică astfel încât: ^[2]

\phi (0,0)=0\qquad \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {z} )>0

{\ displaystyle \ phi (0,0) = 0 \ qquad \ phi (\ mathbf {z}, \ mathbf {z})> 0}

\ phi (0,0) = 0 \ qquad \ phi ({\ mathbf z}, {\ mathbf z})> 0

de sine $\mathbf {z} \neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ neq 0}$ ${\ mathbf z} \ neq 0$ . Un produs Hermitian este adesea indicat cu $\langle ,\rangle$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle}$ $\ langle, \ rangle$ , iar un spațiu vectorial complex cu un produs hermitian este numit spațiu prehilbertian .

Produsul interior este în general definit pe câmpul complex și, dacă este luat în considerare câmpul real, acest produs se numește produs scalar .

Formă anti-hermitiană

O formă anti-hermitiană este o formă sesquiliniară $\varepsilon :V\times V\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ varepsilon: V \ times V \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon: V \ times V \ to \ mathbb {C}}$ astfel încât:

\varepsilon (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=-{\overline {\varepsilon (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}}

{\ displaystyle \ varepsilon (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = - {\ overline {\ varepsilon (\ mathbf {z}, \ mathbf {w})}}}

\ varepsilon ({\ mathbf w}, {\ mathbf z}) = - \ overline {\ varepsilon ({\ mathbf z}, {\ mathbf w})}

adică:

\varepsilon =-\varepsilon ^{\dagger }

{\ displaystyle \ varepsilon = - \ varepsilon ^ {\ dagger}}

\ varepsilon = - \ varepsilon ^ {\ dagger}

Fiecare formă anti-hermitiană poate fi exprimată ca:

\varepsilon =i\cdot \phi

{\ displaystyle \ varepsilon = i \ cdot \ phi}

\ varepsilon = i \ cdot \ phi

unde i este unitatea imaginară e $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o formă hermitiană.

În mod similar cu cazul anterior, în dimensiunea finită o formă anti-hermitiană poate fi reprezentată printr-o matrice anti-hermitiană . Forma pătratică asociată cu o formă anti-hermitiană are doar valori imaginare .

Matricea asociată

să presupunem că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ au dimensiuni finite. Este

B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})

{\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}

B = ({\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n})

o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Orice formă hermitiană $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este reprezentată de o matrice hermitiană $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ definit ca

H_{i,j}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})\

{\ displaystyle H_ {i, j} = \ phi (\ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {j}) \}

H _ {{i, j}} = \ phi ({\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {j}) \

iar relația merită

\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )=[\mathbf {w} ]_{B}^{t}H{\overline {[\mathbf {z} ]_{B}}}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = [\ mathbf {w}] _ {B} ^ {t} H {\ overline {[\ mathbf {z}] _ {B} }}}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {w}, \ mathbf {z}) = [\ mathbf {w}] _ {B} ^ {t} H {\ overline {[\ mathbf {z}] _ {B} }}}

unde este $[\mathbf {v} ]_{B}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {B}}$ $[{\ mathbf v}] _ {B}$ este vectorul din $C^{n}$ ${\ displaystyle C ^ {n}}$ $C ^ n$ a coordonatelor din $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ în comparație cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Pe de altă parte, fiecare matrice hermitiană definește un produs hermitian. Ca și în cazul aplicațiilor liniare , această corespondență între forme și matrice depinde puternic de alegerea bazei $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Forma quadratică

La o formă hermitiană este posibil să se asocieze o formă pătratică definită ca:

Q(z)=\phi (z,z)\

{\ displaystyle Q (z) = \ phi (z, z) \}

Q (z) = \ phi (z, z) \

Această formă are toate valorile reale: o formă sesquiliniară este hermitiană dacă și numai dacă forma pătratică asociată cu aceasta are doar valori reale.

Notă

^ S. Lang , p . 197 .
^ ^a ^b Hoffman, Kunze , p . 271 .
^ S. Lang , pagina 158 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
KW Gruenberg & AJ Weir (1977) Geometry Linear , §5.8 Forme sesquiliniare, pp 120-44, Springer, ISBN 0-387-90227-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AL Onishchik, formă sesquilineară , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , p . 197 .

[inner-2] Hoffman, Kunze , p . 271 .

[3] S. Lang , pagina 158 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema