Formalism post-newtonian parametrizat

Formalismul post-newtonian este un instrument de calcul care exprimă ecuațiile gravitaționale (neliniare) ale lui Einstein în termeni de abateri de ordin inferior față de teoria lui Newton, permițând aproximări utilizabile în cazul câmpurilor slabe. (Termenii de ordin superior pot fi adăugați pentru a crește precizia, dar pentru câmpurile puternice este de obicei preferabil să se rezolve ecuațiile complete numeric.)

Formalismul parametrizat post-newtonian (sau, dacă adjectivele sunt confuze, formalismul post-newtonian parametrizat ) sau formalismul PPN este o versiune a acestei formulări care stabilește în detaliu parametrii în care teoria gravitațională generală poate diferi de gravitația newtoniană. Poate fi folosit ca instrument de comparare a teoriilor clasice ale gravitației în cea mai importantă limită pentru experimentele gravitaționale de zi cu zi: limita în care câmpul gravitațional este slab și generat de obiecte care se mișcă lent în raport cu viteza luminii . Formalismul PPN este valabil pentru teoriile metrice ale gravitației în care toate corpurile satisfac principiul echivalenței lui Einstein (PEE). Astfel, în teorii nu ia în considerare variațiile vitezei luminii, deoarece variațiile vitezei luminii nu fac parte din PEE, iar formalismul PPN nu este direct relevant pentru teoriile cu o metrică nesimetrică deoarece se presupune că metrica este simetrică.

Istorie

Primele parametrizări ale aproximării post-newtoniene au fost realizate de Arthur Stanley Eddington (1922). Cu toate acestea, ele au fost abordate doar cu câmpul gravitațional în vid în afara unui corp sferic izolat. Ken Nordtvedt (1968, 1969) le-a integrat prin includerea a 7 parametri. Clifford Martin Will (1971) a introdus o descriere a materiei corpurilor cerești aflate sub tensiune continuă.

Versiunile descrise aici se bazează pe Wei-Tou Ni (1972), Will și Nordtvedt (1972), Charles W. Misner și colab. (1973) (vezi Gravitation ) și Will (1981, 1993) și au 10 parametri.

Notare beta-delta

Zece parametri post-newtonieni caracterizează complet comportamentul câmpului slab al teoriei. Formalismul a fost un instrument valoros în testele relativității generale . În adnotarea lui Will (1971), Ni (1972), Misner și colab. (1973) au următoarele valori:

$\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$	Câtă curbură de spațiu $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ se produce pe unitate de masă în repaus?
$\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	Câtă neliniaritate există în legea suprapunerii pentru gravitație $g_{00}$ ${\ displaystyle g_ {00}}$ ${\ displaystyle g_ {00}}$ ?
$\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$	Câtă greutate este produsă pe unitate de energie cinetică $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ rho _ {0} v ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ rho _ {0} v ^ {2}}$ ?
$\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$	Câtă greutate este produsă pe unitate de energie potențială gravitațională $\rho _{0}/U$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} / U}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} / U}$ ?
$\beta _{3}$ ${\ displaystyle \ beta _ {3}}$ $\ beta _ {3}$	Câtă greutate este produsă pe unitate de energie internă $\rho _{0}\Pi$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} \ Pi}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} \ Pi}$ ?
$\beta _{4}$ ${\ displaystyle \ beta _ {4}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {4}}$	Câtă greutate se produce pe unitate de presiune $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ?
$\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$	Diferența dintre energia cinetică radială și transversală în gravitație
$\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$	Diferența dintre tensiunea radială și transversală în gravitație
$\Delta _{1}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}}$	Cât de mult se trage sistemele inerțiale ( cadre ) $g_{0j}$ ${\ displaystyle g_ {0j}}$ ${\ displaystyle g_ {0j}}$ se produce pe unitate de moment $\rho _{0}v$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} v}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0} v}$ ?
$\Delta _{2}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {2}}$	Diferența dintre impulsul radial și cel transversal în tragerea sistemelor inerțiale ( cadre )

$g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ este tensorul metric simetric 4 cu 4 și indicii $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ variază de la 1 la 3.

În teoria lui Einstein, valorile acestor parametri sunt alese (1) pentru a se potrivi legii gravitației lui Newton în limita de viteză și masă aproape zero, (2) pentru a asigura conservarea energiei, a masei, a impulsului și a momentului unghiular și ( 3) pentru a face ecuațiile independente de sistemul de referință. În această notație, relativitatea generală are parametri PPN $\gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1$ ${\ displaystyle \ gamma = \ beta = \ beta _ {1} = \ beta _ {2} = \ beta _ {3} = \ beta _ {4} = \ Delta _ {1} = \ Delta _ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ beta = \ beta _ {1} = \ beta _ {2} = \ beta _ {3} = \ beta _ {4} = \ Delta _ {1} = \ Delta _ {2} = 1}$ Și $\zeta =\eta =0$ ${\ displaystyle \ zeta = \ eta = 0}$ ${\ displaystyle \ zeta = \ eta = 0}$

Notare alfa-zeta

În notația mai recentă de Will & Nordtvedt (1972) și Will (1981, 1993, 2006) se folosește un set diferit de zece parametri PPN.

\gamma =\gamma

{\ displaystyle \ gamma = \ gamma}

{\ displaystyle \ gamma = \ gamma}

\beta =\beta

{\ displaystyle \ beta = \ beta}

{\ displaystyle \ beta = \ beta}

\alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = 7 \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} -4 \ gamma -4}

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = 7 \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} -4 \ gamma -4}

\alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1

{\ displaystyle \ alpha _ {2} = \ Delta _ {2} + \ zeta -1}

{\ displaystyle \ alpha _ {2} = \ Delta _ {2} + \ zeta -1}

\alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta

{\ displaystyle \ alpha _ {3} = 4 \ beta _ {1} -2 \ gamma -2- \ zeta}

{\ displaystyle \ alpha _ {3} = 4 \ beta _ {1} -2 \ gamma -2- \ zeta}

\zeta _{1}=\zeta

{\ displaystyle \ zeta _ {1} = \ zeta}

{\ displaystyle \ zeta _ {1} = \ zeta}

\zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1

{\ displaystyle \ zeta _ {2} = 2 \ beta +2 \ beta _ {2} -3 \ gamma -1}

{\ displaystyle \ zeta _ {2} = 2 \ beta +2 \ beta _ {2} -3 \ gamma -1}

\zeta _{3}=\beta _{3}-1

{\ displaystyle \ zeta _ {3} = \ beta _ {3} -1}

{\ displaystyle \ zeta _ {3} = \ beta _ {3} -1}

\zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma

{\ displaystyle \ zeta _ {4} = \ beta _ {4} - \ gamma}

{\ displaystyle \ zeta _ {4} = \ beta _ {4} - \ gamma}

\xi

{\ displaystyle \ xi}

\ xi

este calculat de

3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}

{\ displaystyle 3 \ eta = 12 \ beta -3 \ gamma -9 + 10 \ xi -3 \ alpha _ {1} +2 \ alpha _ {2} -2 \ zeta _ {1} - \ zeta _ {2 }}

{\ displaystyle 3 \ eta = 12 \ beta -3 \ gamma -9 + 10 \ xi -3 \ alpha _ {1} +2 \ alpha _ {2} -2 \ zeta _ {1} - \ zeta _ {2 }}

Semnificația acestora este că $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ , $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ Și $\alpha _{3}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ ele măsoară întinderea efectelor sistemului ales ( cadru ). $\zeta _{1}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$ , $\zeta _{2}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ , $\zeta _{3}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ , $\zeta _{4}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ Și $\alpha _{3}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ ei măsoară incapacitatea de a stoca energia, impulsul și impulsul unghiular.

În această notație, relativitatea generală are parametri PPN

\gamma =\beta =1

{\ displaystyle \ gamma = \ beta = 1}

{\ displaystyle \ gamma = \ beta = 1}

și

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ alpha _ {3} = \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} = \ zeta _ {3} = \ zeta _ {4 } = \ xi = 0}

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ alpha _ {3} = \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} = \ zeta _ {3} = \ zeta _ {4 } = \ xi = 0}

Relația matematică dintre potențialul metric, metric și parametrii PPN pentru această notație este:

{\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{i}w^{i}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} g_ {00} = - 1 + 2U-2 \ beta U ^ {2} -2 \ xi \ Phi _ {W} + (2 \ gamma +2+ \ alpha _ {3 } + \ zeta _ {1} -2 \ xi) \ Phi _ {1} +2 (3 \ gamma -2 \ beta +1+ \ zeta _ {2} + \ xi) \ Phi _ {2} \\ \ +2 (1+ \ zeta _ {3}) \ Phi _ {3} +2 (3 \ gamma +3 \ zeta _ {4} -2 \ xi) \ Phi _ {4} (\ zeta _ {1 } -2 \ xi) A - (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) w ^ {i} w ^ {i} U \\\ - \ alpha _ {2 } w ^ {i} w ^ {j} U_ {ij} + (2 \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) w ^ {i} V_ {i} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} g_ {00} = - 1 + 2U-2 \ beta U ^ {2} -2 \ xi \ Phi _ {W} + (2 \ gamma +2+ \ alpha _ {3 } + \ zeta _ {1} -2 \ xi) \ Phi _ {1} +2 (3 \ gamma -2 \ beta +1+ \ zeta _ {2} + \ xi) \ Phi _ {2} \\ \ +2 (1+ \ zeta _ {3}) \ Phi _ {3} +2 (3 \ gamma +3 \ zeta _ {4} -2 \ xi) \ Phi _ {4} (\ zeta _ {1 } -2 \ xi) A - (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) w ^ {i} w ^ {i} U \\\ - \ alpha _ {2 } w ^ {i} w ^ {j} U_ {ij} + (2 \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) w ^ {i} V_ {i} \ end {matrix}}}

g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}\;

{\ displaystyle g_ {0i} = - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (4 \ gamma +3+ \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} + \ zeta _ {1} -2 \ eta) V_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ alpha _ {2} - \ zeta _ {1} +2 \ xi) W_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (\ alpha _ {1} -2 \ alpha _ {2}) w ^ {i} U- \ alpha _ {2} w ^ {j} U_ {ij} \;}

{\ displaystyle g_ {0i} = - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (4 \ gamma +3+ \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} + \ zeta _ {1} -2 \ eta) V_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ alpha _ {2} - \ zeta _ {1} +2 \ xi) W_ {i} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} (\ alpha _ {1} -2 \ alpha _ {2}) w ^ {i} U- \ alpha _ {2} w ^ {j} U_ {ij} \;}

g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}\;

{\ displaystyle g_ {ij} = (1 + 2 \ gamma U) \ delta _ {ij} \;}

{\ displaystyle g_ {ij} = (1 + 2 \ gamma U) \ delta _ {ij} \;}

unde sunt însumați indicii repetați. $w^{i}$ ${\ displaystyle w ^ {i}}$ ${\ displaystyle w ^ {i}}$ este un vector viteză. $\delta _{ij}=1$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij} = 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij} = 1}$ dacă și numai dacă $i=j$ ${\ displaystyle i = j}$ ${\ displaystyle i = j}$ .

Există zece potențiale metrice, $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , $U_{ij}$ ${\ displaystyle U_ {ij}}$ ${\ displaystyle U_ {ij}}$ , $\Phi _{W}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {W}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {W}}$ , $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $\Phi _{1}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {1}}$ $\ Phi _ {1}$ , $\Phi _{2}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {2}}$ , $\Phi _{3}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3}}$ , $\Phi _{4}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {4}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {4}}$ , $V_{i}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ $Tu$ Și $W_{i}$ ${\ displaystyle W_ {i}}$ $W_ {i}$ , câte unul pentru fiecare parametru PPN pentru a asigura o singură soluție. 10 ecuații liniare în 10 necunoscute sunt rezolvate prin inversarea unei matrice 10 cu 10. Aceste potențiale metrice au forme precum:

U=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'

{\ displaystyle U = \ int {\ rho _ {0} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}

{\ displaystyle U = \ int {\ rho _ {0} \ over | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '|} d ^ {3} x'}

care este pur și simplu un alt mod de a scrie potențialul newtonian gravitațional.

O listă completă a valorilor potențiale poate fi găsită în Misner și colab. (1973), Will (1981, 1993, 2006) și în alte părți.

Cum se aplică PPN

Exemple ale procesului de aplicare a formalismului PPN la teoriile gravitaționale alternative pot fi găsite în Will (1981, 1993). Acesta implică nouă etape:

Pasul 1: Identificați variabilele, care pot include: (a) variabile dinamice gravitaționale precum metrici $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ , câmpul scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , câmpul vector $K_{\mu }$ ${\ displaystyle K _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu}}$ , câmpul tensorial $B_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu}}$ si asa mai departe; (b) principalele variabile geometrice, cum ar fi o metrică plan subiacentă $\eta _{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ $\ age _ {\ mu \ nu}$ , funcția timpului cosmic $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , si asa mai departe; (c) materie și câmpuri variabile fără gravitație.

Pasul 2: Stabiliți condițiile limită cosmologice. Să presupunem că o cosmologie izotropă omogenă, cu coordonate izotrope în cadrul restului universului. O soluție cosmologică completă poate fi sau nu necesară. Apelați rezultatele $g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)} = \ operatorname {diag} (-c_ {0}, c_ {1}, c_ {1}, c_ {1})}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)} = \ operatorname {diag} (-c_ {0}, c_ {1}, c_ {1}, c_ {1})}$ , $\phi _{0}$ ${\ displaystyle \ phi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {0}}$ , $K_{\mu }^{(0)}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ , $B_{\mu \nu }^{(0)}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ .

Pasul 3: Obțineți variabile noi de la $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu \ nu} -g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu \ nu} -g _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ , cu $\phi -\phi _{0}$ ${\ displaystyle \ phi - \ phi _ {0}}$ ${\ displaystyle \ phi - \ phi _ {0}}$ , $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} -K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu} -K _ {\ mu} ^ {(0)}}$ sau $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} -B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} -B _ {\ mu \ nu} ^ {(0)}}$ daca este necesar.

Pasul 4: Înlocuiți aceste forme în ecuațiile de câmp, păstrând doar acei termeni necesari pentru a obține o soluție finală coerentă pentru $h_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$ . Înlocuiți tensorul perfect al tensiunii fluidului cu surse de materie.

Pasul 5: Rezolvați pentru $h_{00}$ ${\ displaystyle h_ {00}}$ ${\ displaystyle h_ {00}}$ în $O(2)$ ${\ displaystyle O (2)}$ ${\ displaystyle O (2)}$ . Presupunând că aceasta tinde să se îndepărteze de sistem, se obține forma $h_{00}=2\alpha U$ ${\ displaystyle h_ {00} = 2 \ alpha U}$ ${\ displaystyle h_ {00} = 2 \ alpha U}$ unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este potențialul gravitațional newtonian e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ poate fi o funcție complicată care include „constanta” gravitațională $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Metrica newtoniană are forma $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ ${\ displaystyle g_ {00} = - c_ {0} +2 \ alpha U}$ ${\ displaystyle g_ {00} = - c_ {0} +2 \ alpha U}$ , $g_{0j}=0$ ${\ displaystyle g_ {0j} = 0}$ ${\ displaystyle g_ {0j} = 0}$ , $g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}$ ${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} c_ {1}}$ ${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} c_ {1}}$ . Lucrul în unități în care „constanta” gravitațională măsurată astăzi departe de materia gravitativă este unitatea astfel fixată $G_{\text{oggi}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$ ${\ displaystyle G _ {\ text {today}} = \ alpha / c_ {0} c_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle G _ {\ text {today}} = \ alpha / c_ {0} c_ {1} = 1}$ .

Pasul 6: din versiunile liniarizate ale ecuațiilor de câmp rezolvați pentru $h_{ij}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$ în $O(2)$ ${\ displaystyle O (2)}$ ${\ displaystyle O (2)}$ Și $h_{0j}$ ${\ displaystyle h_ {0j}}$ ${\ displaystyle h_ {0j}}$ în $O(3)$ ${\ displaystyle O (3)}$ ${\ displaystyle O (3)}$ .

Pasul 7: Rezolvați pentru $h_{00}$ ${\ displaystyle h_ {00}}$ ${\ displaystyle h_ {00}}$ în $O(4)$ ${\ displaystyle O (4)}$ ${\ displaystyle O (4)}$ . Acesta este pasul cel mai confuz, care implică toate neliniaritățile din ecuațiile de câmp. Tensorul de tensiune energetică trebuie, de asemenea, dezvoltat într-o ordine suficientă.

Pasul 8: Convertiți local coordonatele cvasicarteze și standardizați indicatorul PPN.

Pasul 9: Compararea rezultatului pentru $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ cu ecuațiile prezentate în PPN-uri cu parametri alfa-zeta , citiți valorile parametrului PPN.

Comparația teoriilor gravitaționale

Un tabel care compară parametrii PPN pentru cele 23 de teorii gravitaționale poate fi găsit în parametrii PPN pentru un câmp de teorii .

Cele mai multe teorii ale valorilor gravitaționale pot fi incluse în categorii. Teoriile scalare ale gravitației includ în mod constant teorii plane și teorii stratificate cu secțiuni ortogonale spațiu-timp.

În teoriile planului conform, cum ar fi teoria gravitației a lui Nordström , metrica este dată de $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f {\ boldsymbol {\ eta}}}$ iar pentru această metrică $\gamma =-1$ ${\ displaystyle \ gamma = -1}$ ${\ displaystyle \ gamma = -1}$ , care nu este de acord violent cu observațiile.

În teoriile stratificate, cum ar fi teoriile gravitaționale ale lui Yilmaz , metrica este dată de $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f_ {1} \ mathbf {d} t \ otimes \ mathbf {d} t + f_ {2} {\ boldsymbol {\ eta}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} = f_ {1} \ mathbf {d} t \ otimes \ mathbf {d} t + f_ {2} {\ boldsymbol {\ eta}}}$ iar pentru această metrică $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} = - 4 (\ gamma +1)}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} = - 4 (\ gamma +1)}$ , care, de asemenea, nu este de acord violent cu observațiile.

O altă clasă de teorii sunt teoriile cvasi-liniare, cum ar fi teoria gravitațională a lui Whitehead . Pentru acestea $\xi =\beta$ ${\ displaystyle \ xi = \ beta}$ ${\ displaystyle \ xi = \ beta}$ . Mărimile relative ale armonicilor mareelor terestre depind de $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ Și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ , iar măsurătorile arată că teoriile cvasi-liniare nu sunt de acord cu observațiile mareelor terestre.

O altă clasă de teorii metrice este teoria bimetrică . Pentru toate acestea $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ este diferit de zero. Din precesiunea rotației solare știm că $\alpha _{2}<4\times 10^{-7}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} <4 \ times 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} <4 \ times 10 ^ {- 7}}$ , și care exclude efectiv teoriile bimetrice.

O altă clasă de teorii metrice sunt teoriile tensor-scalare , cum ar fi teoria Brans-Dicke . Pentru toate acestea, $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ . Limita de $\gamma -1<2,3\times 10^{-5}$ ${\ displaystyle \ gamma -1 <2,3 \ times 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle \ gamma -1 <2,3 \ times 10 ^ {- 5}}$ înseamnă că $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ar trebui să fie foarte mare, astfel încât aceste teorii fac din ce în ce mai puțin probabil îmbunătățirea preciziei experimentale.

Clasa principală finală a teoriilor metrice sunt teoriile vector-tensorale. Pentru toate acestea, „constanta” gravitațională variază în funcție de timp și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ este diferit de zero. Experimentele Lunar Laser Ranging forțează strict variația „constantei” gravitaționale cu timpul și $\alpha _{2}<4\times 10^{-7}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} <4 \ times 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} <4 \ times 10 ^ {- 7}}$ , deci chiar aceste teorii par improbabile.

Există unele teorii metrice gravitaționale care nu se încadrează în categoriile enumerate mai sus, dar implică probleme identice.

Precizia testelor experimentale

Limite pentru parametrii PPN - Will (2006)

Parametru	Limita	Efecte	Experiment
$\gamma -1$ ${\ displaystyle \ gamma -1}$ ${\ displaystyle \ gamma -1}$	$2{,}3\times 10^{-5}$ ${\ displaystyle 2 {,} de 3 \ ori 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle 2 {,} de 3 \ ori 10 ^ {- 5}}$	Întârziere, devierea luminii	Preluarea lui Cassini
$\beta -1$ ${\ displaystyle \ beta -1}$ ${\ displaystyle \ beta -1}$	$2{,}3\times 10^{-4}$ ${\ displaystyle 2 {,} de 3 \ ori 10 ^ {- 4}}$ ${\ displaystyle 2 {,} de 3 \ ori 10 ^ {- 4}}$	Efect Nordtvedt, schimbare periheliu	Efect Nordtvedt
$\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$	$0{,}001$ ${\ displaystyle 0 {,} 001}$ ${\ displaystyle 0 {,} 001}$	Mareele terestre	Date gravimetrice
$\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$	$10^{-4}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 4}}$ $10 ^ {- 4}$	Polarizarea orbitală	Alinierea laserului lunar
$\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$	$4\times 10^{-7}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 7}}$	Precesiune de rotație	Alinierea axei solare cu ecliptica
$\alpha _{3}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$	$4\times 10^{-20}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 20}}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 20}}$	Auto-accelerare	Statistici de spin-down Pulsar
$\zeta _{1}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}}$	$0{,}02$ ${\ displaystyle 0 {,} 02}$ ${\ displaystyle 0 {,} 02}$	-	Limite PPN combinate
$\zeta _{2}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {2}}$	$4\times 10^{-5}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 5}}$ †	Accelerarea pulsarului binar	PSR 1913 + 16
$\zeta _{3}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$	$10^{-8}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 8}}$ $10 ^ {{- 8}}$	A treia lege a lui Newton	Accelerația lunară
$\zeta _{4}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {4}}$	$0{,}006$ ${\ displaystyle 0 {,} 006}$ ${\ displaystyle 0 {,} 006}$ ‡	-	Experimentul Kreuzer

† Will, CM, se păstrează momentul? Un test în sistemul binar PSR 1913 + 16 , Astrophysical Journal, Partea 2 - Litere, vol. 393, nr. 2, iulie 1992, pp. L59-L61. ( ISSN 0004-637X ( WC · ACNP ))

‡ Bazat pe $6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}$ ${\ displaystyle 6 \ zeta _ {4} = 3 \ alpha _ {3} +2 \ zeta _ {1} -3 \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle 6 \ zeta _ {4} = 3 \ alpha _ {3} +2 \ zeta _ {1} -3 \ zeta _ {3}}$ de Will (1976, 2006). Este teoretic posibil ca un model de gravitație alternativ să ocolească această graniță, caz în care granița este $|\zeta _{4}|<0,4$ ${\ displaystyle | \ zeta _ {4} | <0.4}$ ${\ displaystyle | \ zeta _ {4} | <0.4}$ din Ni (1972).

Bibliografie

(EN) Eddington, AS (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
( EN ) Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA (1973) Gravitation, WH Freeman and Co.
( EN ) Nordtvedt Jr, K. (1968) Principiul echivalenței corpurilor masive II: Teorie, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
( EN ) Nordtvedt Jr, K. (1969) Principiul echivalenței corpurilor masive, inclusiv energia de rotație și presiunea radiației, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
( EN ) Will, CM (1971) Cadrele teoretice pentru testarea gravitației relativiste II: hidrodinamica post-newtoniană parametrizată și efectul Nordtvedt, Astrophys. J. 163, 611-628.
( EN ) Will, CM (1976) Masa activă în gravitația relativistă: Interpretarea teoretică a experimentului Kreuzer, Astrophys. J., 204, 224-234.
(EN) Will, CM (1981, 1993) Teorie și experiment în fizica gravitațională, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6 .
( EN ) Will, CM, (2006) Confruntarea dintre relativitatea generală și experiment, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
(EN) Will, CM și Nordtvedt Jr., K (1972) Legi de conservare și cadre preferate în gravitația relativistă, The Astrophysical Journal 177, 757.

Elemente conexe

Parametrii PPN pentru un domeniu de teorii
Gravitația liniarizată
Dovezi ale relativității generale
Parametrul Peskin-Takeuchi este la fel ca PPN, dar pentru teoria electrolitului în loc de gravitație

linkuri externe

( EN ) Formalism post-newtonian parametrizat , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

V · D · M Relativitatea generală
Ecuații de câmp ale lui Einstein · Formulare matematică · Resurse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T _ {\ mu \ nu}$
Concepte fundamentale	Relativitate specială · Principiul echivalenței · Linia universului · Geometria Riemann
Fenomene	Problema Kepler · Obiective · Waves · -cadru glisarea · efect geodezic · Event Horizon · Singularity · Black Hole
Ecuații	Gravitatea liniarizată · Formalism post-newtonian · Ecuații de câmp ale lui Einstein · Ecuații Friedmann · Formalism ADM · BSSN formalism
Teorii avansate	Kaluza - Klein · Gravitația cuantică
Soluții	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Oamenii de știință	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking