Forma diferențială
În geometria diferențială și calculul diferențial multivariat , o formă diferențială este un obiect particular care extinde noțiunea de funcție multivariată.
Pe o - varietate diferențiată , de exemplu una deschisă a spațiului euclidian , o formă diferențială are o dimensiune mai mic sau egal cu . Din acest motiv, este, de asemenea, denumit pe scurt -form . In caz , forma este o funcție obișnuită. În general, proprietatea care caracterizează este posibilitatea realizării integralei din pe orice obiect geometric , de dimensiuni similare , de una generică - varietate diferențiată . Rezultatul acestei integrări este indicat cu
Prin urmare, o formă 1 este integrabilă pe o curbă , o formă 2 pe o suprafață și așa mai departe.
Formele 1 au o importanță fundamentală în multe domenii ale analizei matematice și, în special, în analiza complexă .
Definiție
Noțiunea de formă diferențială poate fi introdusă în moduri diferite.
În multe contexte, pentru a utiliza forme diferențiale este suficient să ne bazăm pe o definiție similară cu cea a unui polinom : o formă diferențială este pur și simplu o scriere formală de un anumit tip. Prin urmare, definim operații precum cea de sumă, produs și integrală pe un set adecvat.
Cu toate acestea, formele diferențiale pot fi definite mai intrinsec folosind algebra liniară și conceptele de tensor și pachet tangent . În acest fel, formularele sunt definite în contexte mai largi: de exemplu, domeniul lor nu este neapărat un deschis al , dar orice varietate diferențiată .
Definiția ca scris formal
Este o deschidere de . Este un număr întreg cu
A - forma diferențială este un script ca: [1]
unde este
este o funcție diferențiată și:
se numește produs cu pană sau produs extern , care nu trebuie confundat cu produsul vector , care este uneori indicat cu același simbol ca produsul cu pană și numit și produs extern, dar care nu se bucură de aceleași proprietăți. În special, produsul cu pană este asociativ, produsul vector nu. Uneori, din motive de scurtă durată, simbolurile sunt omise.
Exemple
Un formular 0 este pur și simplu o funcție diferențiată definită pe .
Un formular 1 în este scris ca
unde sunt funcții diferențiate adecvate. De exemplu, următoarele scripturi sunt 1-forme definite mai sus .
unde în primul exemplu, coeficienții sunt funcții constante.
O formă 2 în este scris ca
De exemplu, următorul script este un format în 2 :
În general unul -grupati-va este întotdeauna scris folosind un singur addendum
unde este este o funcție diferențiată.
Definiția ca tensor
A - forma este o secțiune netedă a -algebra externă a mănunchiului cotangent al unui soi diferențiat :
Cu alte cuvinte, pentru fiecare punct din se dă o funcție multiliniară antisimetrică
unde este este spațiul tangent la în . Functia variază ușor (adică poate fi diferențiat de un număr infinit de ori) ca valoare a . Echivalent, este un câmp tensor care se asociază fiecărui punct din un tensor antisimetric de tip .
De exemplu, o formă 1 este un câmp tensor de tip , adică o secțiune a mănunchiului cotangent .
Deschis spațiului euclidian
De sine este un set deschis de , în fiecare punct spațiul tangent este identificat cu . Baza canonică pentru induce astfel o bază pentru spațiul vectorial de tipul
unde elementul reprezintă o anumită funcție antisimetrică multiliniară. De aici și elementul este descrisă în mod unic ca o combinație liniară de elemente ale acestei baze
prin intermediul coeficienților
care variază ușor în ceea ce privește . Prin urmare, definiția introdusă aici coincide cu cea formală descrisă mai sus.
De exemplu, dacă asa de
este spațiul dual al funcționalităților liniare pe Și este baza duală a bazei canonice . O formă 1 se asociază cu fiecare punct o funcționalitate liniară .
Carduri
De sine este orice varietate, fixată pe o carte în jurul unui punct , fiecare -formă este reprezentat ca mai sus. Reprezentarea depinde evident de cartea aleasă.
Operații algebrice
Suma și produsul la scară
Două -se pot adăuga forme, dând naștere unuia nou -formă. A -forma poate fi, de asemenea, înmulțită cu un scalar. Cu aceste operații setul de - Forme pe o deschidere formează un spațiu vectorial .
Produs extern
Produsul extern
de o -formă și unul -formă e o -formă. Operațiunea produsului este definită prin efectuarea produsului utilizând relațiile obișnuite dintre sumă și produs prezent într-un inel , cum ar fi proprietatea distributivă a produsului cu suma și proprietatea asociativă a produsului extern. Prin definiție, însă, produsul extern nu este comutativ, ci anticommutativ ; adică se menține următoarea relație:
Proprietatea anticomutativă implică faptul că
Coeficienții cu toate acestea se schimbă între ei și cu i . De exemplu, dacă
sunt o formă 1 și o formă 2 în sus , produsul lor extern este
Există o versiune externă a produsului pentru orice eventualitate Și sunt definite ca tensori. Această definiție exploatează produsul tensor , dar nu este echivalent cu acesta. De exemplu, pentru orice eventualitate Și sunt două forme 1, este definit în felul următor
În general, definiția este puțin mai complicată:
Proprietate
Produsul cu pană este asociativ : din acest motiv parantezele pot fi omise în scris.
Produsul este distributiv în raport cu suma (atât dreapta, cât și stânga):
Anticomutativitatea utilizată în definiție se extinde la produsul oricărei două forme de tip Și , cu un semn care depinde totuși de produs :
Derivată a unei forme diferențiale
Derivatul lui a -form este una -formă. Aceasta se numește uneori derivată diferențială sau externă . Derivatul extern de o - forma diferențială
si -formă [2]
Proprietate
Derivata externă a unei forme 0, adică a unei funcții diferențiabile , coincide cu diferențialul funcției.
Derivarea externă este o operație liniară. Cu alte cuvinte,
unde totuși sunt scalari și nu funcții. În comparație cu produsul extern, acesta se comportă după cum urmează:
În cele din urmă, poate cea mai importantă proprietate a derivării este următoarea
care rezultă din teorema lui Schwarz .
Formulare închise și exacte
O formă diferențială este închis dacă derivatul său extern este nul:
De exemplu, orice formă având coeficienți constanți este închisă.
A -formă este exact dacă există unul -formă astfel încât
Formă se numește primitivă a .
Formele diferențiale închise și formele diferențiale exacte se află respectiv în nucleu și în imaginea derivatei externe.
Atâta timp cât , fiecare formă exactă este închisă. Pe de altă parte, există forme închise care nu sunt exacte: existența acestor forme depinde puternic de topologia deschisului de definitie. În acest sens, lema lui Poincaré stabilește că dacă este deschis și contractable submulțime apoi fiecare închisă și netedă formă P- diferențială definită pe este o formă diferențială exactă pentru orice număr întreg .
Forme liniare
O formă diferențială 1
este închis dacă și numai dacă se menține egalitatea
pentru fiecare .
Forme liniare și domenii conectate pur și simplu
Condiția de închidere este de tip local (unele egalități trebuie verificate punctual), în timp ce condiția de exactitate este de tip global (existența unei primitive definite pe toate deschise ). Diferența dintre cele două condiții depinde de diferențele dintre proprietățile locale și globale ale deschisului , adică prin topologia sa.
De sine este pur și simplu conectat , apoi fiecare formă închisă 1 este exactă. Acest lucru se întâmplă de exemplu dacă este partea interioară a unui disc sau a unui ansamblu convex sau înstelat mai general din . În acest caz, proprietățile topologice globale nu sunt foarte diferite de cele locale.
Pe de altă parte, următoarea formă
definite în planul deschis
este închis, dar nu exact. Deschiderea nu este pur și simplu conectat: are o „gaură”, iar grupul său fundamental este . Această formă este cunoscută sub numele de „vortex”, datorită formei particulare asumate de vectorii câmpului vectorial asociat.
Forme liniare și analize complexe
Formele 1 din plan sunt un instrument fundamental de analiză complexă . După identificare cu planul complex , este posibil să se definească o formă 1 complexă
plecând de la orice funcție
definit pe un deschis a planului complex. Cu toate acestea, este o formă obișnuită cu 1, având funcții complexe, mai degrabă decât reale, ca coeficienți. Acest instrument este util pentru următorul fapt: dacă este o funcție holomorfă pe un set deschis a avionului, apoi forma se dovedește a fi închis. În plus este exact cu primitiv dacă și numai dacă este de asemenea holomorf cu derivat complex egal cu .
În acest context este mai ușor să construim o formă închisă, dar nu exactă. Formă
definite în aer liber
este închis (pentru că este holomorf) dar nu exact: funcția de fapt, nu admite o primitivă asupra tuturor , dar numai în oricare dintre subseturile sale conectate simplu. Cu alte cuvinte, candidatul complex , natural al logaritmului ca primitiv al lui , poate fi definit doar local (sau global ca o funcție polidrom ): aceasta la rândul său poate fi urmărită înapoi la faptul că funcția exponențială complexă nu este injectivă.
Următoarele egalități sunt valabile
care arată că exemplul dat mai sus de formă închisă dar nu exactă este (dacă nu este un semn) partea imaginară a .
Integrarea unei forme diferențiale
Cea mai importantă proprietate care caracterizează o -form este faptul că poate fi integrat pe orice subfold diferențiat in marime a deschisului pe care este definit. Integrala din este indicat cu simbolul
iar rezultatul acestei operații este un număr real.
De sine , forma este o funcție, este o uniune de puncte și integrala lui pe este pur și simplu suma valorilor presupus asupra punctelor.
În general, forma este de tipul
De sine are o parametrizare de tip
cu variabilă într-un domeniu din , integralul este definit ca [1]
unde este
este determinantul Jacobianului . Cu această definiție, rezultatul integralei nu depinde de parametrizarea aleasă, cu excepția semnului. Pentru a obține un semn unic, trebuie fixată o orientare și ia în considerare doar parametrizările care păstrează orientarea.
Dacă sub-soiul este orientabil, dar nu are parametrizări globale (de exemplu, un tor în ), integralul pe este definită ca suma integralelor peste parametrizările locale disjuncte (menținând orientarea) pe care le acoperă cu excepția cazului în care un set de măsuri zero.
Proprietăți de bază
Se aplică următoarele proprietăți. La fel ca toate integralele, integralul pe două obiecte disjuncte este suma integralelor pe fiecare:
Integrala este, de asemenea, liniară (coeficienții sunt constante):
Semnalul se modifică integral dacă orientarea colectorului este modificată: [3]
Teorema lui Stokes
Teorema lui Stokes exprimă o relație fundamentală între derivarea externă și integrare. De sine e o forma cu suport compact pe o varietate cu margine compactă , raportul merită
Teorema lui Stokes implică următorul fapt: integrala a - forma exactă pe un colector închis este nulă. În acest caz, de fapt, marginea nu există și, prin urmare, al doilea termen este zero.
Integrală de linie
O formă 1 poate fi integrat pe orice submanifold orientat de dimensiunea 1, adică o curbă . Integrala din lung poate fi calculat cu următoarea formulă:
și nu depinde de parametrizarea particulară a curbei (schimbă semnul dacă parametrizarea schimbă orientarea). În cazul în care este deschis este cuprins în plan , forma este de tipul
iar integralul se calculează după cum urmează:
Integrala de linie este un instrument strâns legat de noțiunile de formă închisă și exactă. De fapt, se aplică următoarele fapte.
- De sine este exactă, integralul lui pe orice curbă închisă este nulă. Aceasta rezultă din teorema lui Stokes .
- În consecință, dacă este exactă, integralul pe o curbă neînchisă depinde doar de extremele sale.
De exemplu, funcția pe nu este exact, deoarece
pentru fiecare curbă având indice de înfășurare 1 cu originea.
Notă
Bibliografie
- Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
Elemente conexe
- Derivat
- Grâu integral
- Curba (matematică)
- Integrală de linie
- Algebra Grassmann
- Varietate (geometrie)
- 1-formular
- Forma volumului
Alte proiecte
- Wikționarul conține dicționarul lema « formular »
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 34083 · LCCN ( EN ) sh85037916 · BNF ( FR ) cb122737106 (data) · NDL ( EN , JA ) 00560655 |
---|