Formula hipsometrică

În hidrostatică și meteorologie , formula hipsometrică permite calcularea presiunii atmosferice (sau a unui fluid generic) în funcție de altitudine; în plus, permite stabilirea distanței dintre două suprafețe izobarice cunoscute.

Derivare

Pentru a obține formula, luați în considerare legea lui Stevin , care afirmă că presiunea exercitată de o coloană de înălțime h a unui fluid cu densitate constantă $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este proporțional cu înălțimea, conform formulei

P=\rho gh

{\ displaystyle P = \ rho gh}

{\ displaystyle P = \ rho gh}

unde g este accelerația gravitației .

Dacă luăm în considerare densitatea constantă a aerului (model de atmosferă omogenă), diferența de presiune între două altitudini $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este pur și simplu

P-P_{0}=\rho g\left(z-z_{0}\right)

{\ displaystyle P-P_ {0} = \ rho g \ left (z-z_ {0} \ right)}

{\ displaystyle P-P_ {0} = \ rho g \ left (z-z_ {0} \ right)}

care este formula hipsometrică pentru acest model simplu.

Într-un model mai realist, în care densitatea nu este constantă, dar variază în funcție de altitudine, formula anterioară se menține sub formă diferențială :

dP=\rho gdz

{\ displaystyle dP = \ rho gdz}

{\ displaystyle dP = \ rho gdz}

Tendința densității poate fi obținută din legea gazului ideal :

PV=RT

{\ displaystyle PV = RT}

{\ displaystyle PV = RT}

Volumul poate fi scris ca o funcție a densității ca

V={\frac {m}{\rho }}

{\ displaystyle V = {\ frac {m} {\ rho}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {m} {\ rho}}}

substituind această expresie în ecuația gazului ideal se găsește

P{\frac {m}{\rho }}=RT\Rightarrow \rho ={\frac {Pm}{RT}}

{\ displaystyle P {\ frac {m} {\ rho}} = RT \ Rightarrow \ rho = {\ frac {Pm} {RT}}}

{\ displaystyle P {\ frac {m} {\ rho}} = RT \ Rightarrow \ rho = {\ frac {Pm} {RT}}}

.

Se obține substituirea acestei expresii în formula diferențială anterioară

dP=-{\frac {Pm}{RT}}gdz

{\ displaystyle dP = - {\ frac {Pm} {RT}} gdz}

{\ displaystyle dP = - {\ frac {Pm} {RT}} gdz}

asa de

{\frac {dP}{P}}=-{\frac {mg}{RT}}dz

{\ displaystyle {\ frac {dP} {P}} = - {\ frac {mg} {RT}} dz}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {P}} = - {\ frac {mg} {RT}} dz}

Obținem astfel o ecuație diferențială de prim ordin în variabila z ; această ecuație poate fi rezolvată în diferite modele de atmosferă, în special temperatura poate fi considerată constantă cu altitudinea sau gradientul termic poate fi considerat constant în direcția verticală.

În primul caz (modelul atmosferei izoterme) pentru a rezolva ecuația este suficient să se integreze cei doi membri ai ecuației între valorile presiunii $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ , și acțiunile $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$