Formula Heron

În geometrie , formula lui Heron afirmă că aria unui triunghi ale cărui laturi au lungimi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este dat de:

A={\sqrt {p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}},

{\ displaystyle A = {\ sqrt {p \ cdot (pa) \ cdot (pb) \ cdot (pc)}},}

{\ displaystyle A = {\ sqrt {p \ cdot (p-a) \ cdot (p-b) \ cdot (p-c)}},}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este jumătatea perimetrului:

p={\frac {a+b+c}{2}}.

{\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

{\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

Formula Heron poate fi scrisă și în forma echivalentă:

A={\ {\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}\  \over 4}.

{\ displaystyle A = {\ {\ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc) \,}} \ peste 4}.}

{\ displaystyle A = {\ {\ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) \,}} \ \ peste 4}.}

Istorie

Formula este atribuită Eroului Alexandriei , care a trăit în primul secol , deoarece o dovadă a acesteia poate fi găsită în cartea sa Metrics . Conform mărturiei lui al-Biruni , însă, formula ar trebui atribuită lui Arhimede . ^[1]

Există o formulă echivalentă cu cea a Hero:

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} c ^ {2} - \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \ right) ^ {2}}}}

A = {\ frac 1 {2}} {\ sqrt {a ^ {2} c ^ {2} - \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \ right) ^ {2}}}

a\geq b\geq c.

{\ displaystyle a \ geq b \ geq c.}

{\ displaystyle a \ geq b \ geq c.}

A fost descoperit în China , indiferent de descoperirile lui Hero. A fost publicat în Shushu Jiuzhang ( Tratat de matematică în nouă secțiuni ), scris de Qin Jiushao și publicat în 1257 .

Demonstrație

Următoarea este o dovadă modernă, care folosește algebră și trigonometrie și, prin urmare, este destul de diferită de cea oferită de Heron. Lasa-i sa fie $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ laturile triunghiului e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ colțurile opuse lor. Avem:

\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}},

{\ displaystyle \ cos (C) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}},}

{\ displaystyle \ cos (C) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}},}

după teorema lui Carnot . Cu unele calcule algebrice obținem:

\sin(C)={\sqrt {1-\cos ^{2}(C)}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.

{\ displaystyle \ sin (C) = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (C)}} = {\ frac {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2 } + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} {2ab}}.}

{\ displaystyle \ sin (C) = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (C)}} = {\ frac {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2 } + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} {2ab}}.}

Înălțimea unui triunghi față de bază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ are lungimea egală cu $b\sin(C)$ ${\ displaystyle b \ sin (C)}$ ${\ displaystyle b \ sin (C)}$ , din care rezultă:

S={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altezza}})=

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} ({\ mbox {base}}) ({\ mbox {height}}) =}

S = {\ frac {1} {2}} ({\ mbox {base}}) ({\ mbox {height}}) =

\qquad ={\frac {1}{2}}ab\sin(C)=

{\ displaystyle \ qquad = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (C) =}

\ qquad = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (C) =

\qquad ={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}=

{\ displaystyle \ qquad = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} =}

\ qquad = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2 }}} =

\qquad ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.

{\ displaystyle \ qquad = {\ sqrt {p \ left (pa \ right) \ left (pb \ right) \ left (pc \ right)}}.}

\ qquad = {\ sqrt {p \ left (p-a \ right) \ left (p-b \ right) \ left (p-c \ right)}}.

Calculele algebrice simple ale ultimului pas au fost omise.

Dovadă prin teorema lui Pitagora

Înălțimea h a triunghiului împarte baza c în d + ( c - d ).

Dovada originală a lui Heron folosea patrulaterele ciclice , în timp ce alte argumente fac apel la trigonometrie (ca mai sus) sau la cercul triunghiului ^[2] . Următoarea dovadă readuce formula lui Heron direct în teorema lui Pitagora , folosind doar instrumente elementare.

Consultați figura opusă. Formula Heron poate lua, de asemenea, următoarea formă:

4A^{2}=4p(p-a)(p-b)(p-c),

{\ displaystyle 4A ^ {2} = 4p (pa) (pb) (pc),}

{\ displaystyle 4A ^ {2} = 4p (p-a) (p-b) (p-c),}

pur și simplu prin pătrarea ambelor părți și apoi înmulțirea cu $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ .

Acum se observă că indicând cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ baza e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înălțimea triunghiului, primul membru al expresiei precedente poate fi scris ca $(ch)^{2}$ ${\ displaystyle (ch) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (ch) ^ {2}}$ , sau, de asemenea

c^{2}(b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2},

{\ displaystyle c ^ {2} (b ^ {2} -d ^ {2}) = (cb) ^ {2} - (cd) ^ {2},}

{\ displaystyle c ^ {2} (b ^ {2} -d ^ {2}) = (cb) ^ {2} - (cd) ^ {2},}

deoarece conform teoremei lui Pitagora avem: $b^{2}-d^{2}=h^{2}$ ${\ displaystyle b ^ {2} -d ^ {2} = h ^ {2}}$ ${\ displaystyle b ^ {2} -d ^ {2} = h ^ {2}}$

în dreapta, formula Heron este redusă, prin intermediul identității $(s+q)^{2}-(s-q)^{2}=4sq$ ${\ displaystyle (s + q) ^ {2} - (sq) ^ {2} = 4sq}$ ${\ displaystyle (s + q) ^ {2} - (s-q) ^ {2} = 4sq}$ , la

(p(p-a)+(p-b)(p-c))^{2}-(p(p-a)-(p-b)(p-c))^{2}.

{\ displaystyle (p (pa) + (pb) (pc)) ^ {2} - (p (pa) - (pb) (pc)) ^ {2}.}

{\ displaystyle (p (p-a) + (p-b) (p-c)) ^ {2} - (p (p-a) - (p-b) (p-c)) ^ {2}.}

Prin urmare, este suficient să arătăm că

cb=p(p-a)+(p-b)(p-c),

{\ displaystyle cb = p (pa) + (pb) (pc),}

{\ displaystyle cb = p (p-a) + (p-b) (p-c),}

este asta

cd=p(p-a)-(p-b)(p-c).

{\ displaystyle cd = p (pa) - (pb) (pc).}

{\ displaystyle cd = p (p-a) - (p-b) (p-c).}

Primul se obține imediat prin substituire $(a+b+c)/2$ ${\ displaystyle (a + b + c) / 2}$ ${\ displaystyle (a + b + c) / 2}$ in loc de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și simplificatoare. Făcând acest lucru în cel de-al doilea, veți obține $(b^{2}+c^{2}-a^{2})/2$ ${\ displaystyle (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) / 2}$ ; dacă înlocuim și noi $b^{2}$ ${\ displaystyle b ^ {2}}$ $b ^ 2$ cu $d^{2}+h^{2}$ ${\ displaystyle d ^ {2} + h ^ {2}}$ ${\ displaystyle d ^ {2} + h ^ {2}}$ Și $a^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2}}$ $a ^ 2$ cu $(c-d)^{2}+h^{2}$ ${\ displaystyle (cd) ^ {2} + h ^ {2}}$ ${\ displaystyle (c-d) ^ {2} + h ^ {2}}$ , ambele de la Pitagora, simplificându-l se obține în cele din urmă $c d$ ${\ displaystyle cd}$ $CD$ așa cum a solicitat.

Stabilitate numerică

Pentru triunghiurile cu un unghi foarte mic, formula lui Heron descrisă mai sus este instabilă numeric dacă se utilizează aritmetica în virgulă mobilă pentru calcul. O alternativă stabilă ^[3] necesită aranjarea laturilor în așa fel încât $a\geq b\geq c$ ${\ displaystyle a \ geq b \ geq c}$ ${\ displaystyle a \ geq b \ geq c}$ iar calculul

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + (b + c)) (c- (ab)) (c + (ab)) (a + (bc))} }.}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + (b + c)) (c- (ab)) (c + (ab)) (a + (bc))} }.}

Parantezele din această formulă sunt necesare pentru a evita instabilitatea numerică în evaluare.

Dovadă alternativă

Este $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ un triunghi, pentru comoditate $a=AB$ ${\ displaystyle a = AB}$ ${\ displaystyle a = AB}$ , $b=BC$ ${\ displaystyle b = BC}$ ${\ displaystyle b = BC}$ Și $c=AC$ ${\ displaystyle c = AC}$ ${\ displaystyle c = AC}$ . Aranjați triunghiul pe un plan cartezian în așa fel încât să aveți $A=(0,0)$ ${\ displaystyle A = (0,0)}$ ${\ displaystyle A = (0,0)}$ , $B=(a,0)$ ${\ displaystyle B = (a, 0)}$ ${\ displaystyle B = (a, 0)}$ Și $C=(x,y)$ ${\ displaystyle C = (x, y)}$ ${\ displaystyle C = (x, y)}$ . Prin urmare

c={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

{\ displaystyle c = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

{\ displaystyle c = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

Și

b={\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}.

{\ displaystyle b = {\ sqrt {(xa) ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ displaystyle b = {\ sqrt {(x-a) ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Rezolvând acest sistem, se obțin coordonatele punctului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ca eu sunt

\left({\frac {(a^{2}-b^{2}+c^{2})}{2a}},{\frac {\sqrt {(4a^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2})}}{2a}}\right).

{\ displaystyle \ left ({\ frac {(a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2})} {2a}}, {\ frac {\ sqrt {(4a ^ {2} c ^ {2} - (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2})}} {2a}} \ right).}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {(a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2})} {2a}}, {\ frac {\ sqrt {(4a ^ {2} c ^ {2} - (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2})}} {2a}} \ right).}

Din formula de bază a calculului suprafeței pe care o avem ${\frac {\sqrt {4a^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {4a ^ {2} c ^ {2} - (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}}} {4}} }$ ${\ frac {{\ sqrt {4a ^ {2} c ^ {2} - (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}}}} {4}}$ care după unele simplificări vor fi ${\frac {\sqrt {(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {(b + ca) (a + bc) (a-b + c) (a + b + c)}} {4}}}$ ${\ frac {{\ sqrt {(b + c-a) (a + b-c) (a-b + c) (a + b + c)}} {4}}$ .

Generalizări

Formula Heron este un caz special al formulei lui Brahmagupta pentru aria unui patrulater ciclic și ambele sunt cazuri speciale ale formulei lui Bretschneider pentru aria unui patrulater generic. Formula Heron poate fi obținută din formula lui Brahmagupta sau formula lui Bretschneider prin plasarea unei părți a patrulaterului egală cu zero.

Formula Heron este, de asemenea, un caz special al formulei pentru calcularea ariei trapezului pe baza laturilor sale. În acest caz, formula Heron poate fi obținută prin stabilirea bazei minore a trapezului egală cu zero.

Exprimarea formulei lui Heron cu un determinant în ceea ce privește pătratele distanțelor dintre trei vârfuri atribuite ilustrează asemănarea sa cu formula lui Tartaglia pentru volumul unui 3-simplex .

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ begin {vmatrix} 0 & a ^ {2} & b ^ {2} & 1 \\ a ^ {2} & 0 & c ^ {2} & 1 \\ b ^ {2} & c ^ {2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \ end {vmatrix}}}}

S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {{\ begin {vmatrix} 0 & a ^ {2} & b ^ {2} & 1 \\ a ^ {2} & 0 & c ^ { 2} & 1 \\ b ^ {2} & c ^ {2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \ end {vmatrix}}}}

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Formula Heron , în MathWorld Wolfram Research.
^ Copie arhivată ( TXT ), la math.dartmouth.edu . Adus pe 21 ianuarie 2011 (arhivat din original la 27 martie 2019) .
^ W. Kahan Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Formula Heron

linkuri externe

O dovadă a teoremei pitagoreice din formula lui Heron pe tăietură
Applet interactiv și calculator de zonă folosind Formula Heron , pe mathopenref.com . Adus pe 21 ianuarie 2011 (arhivat din original la 16 septembrie 2018) .
Discuție JH Conway despre Formula Heron ( TXT ), pe math.dartmouth.edu . Adus pe 21 ianuarie 2011 (arhivat din original la 27 martie 2019) .
Simplificarea lui Kevin Brown a argumentului pitagoric al lui Heron , pe mathpages.com .
O dovadă geometrică a formulei Heron , la jwilson.coe.uga.edu . Adus pe 21 ianuarie 2011 (arhivat din original la 8 septembrie 2018) .
O dovadă algebrică a Formulei Heron , pe jwilson.coe.uga.edu .
Dovadă algebrică a formulei lui Heron

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Formula Heron , în MathWorld Wolfram Research.

[2] Copie arhivată ( TXT ), la math.dartmouth.edu . Adus pe 21 ianuarie 2011 (arhivat din original la 27 martie 2019) .

[3] W. Kahan Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle

[1]

[2]

[3]