Formula lui Euler

Interpretarea geometrică a formulei lui Euler pe planul complex .

În matematică , formula lui Euler este o formulă din domeniul analizei complexe care arată o relație profundă între funcțiile trigonometrice și funcția exponențială complexă . Identitatea lui Euler este un caz special al formulei lui Euler.

Formula lui Euler, numită după matematicianul Leonhard Euler , a fost încercată pentru prima dată de Roger Cotes în 1714 și apoi redescoperită și renumită de Euler în 1748 . Niciunul dintre ei nu a văzut interpretarea geometrică a formulei: viziunea numerelor complexe ca puncte în plan a venit doar aproximativ 50 de ani mai târziu, datorită lui Caspar Wessel , Argand și Gauss .

Cea mai răspândită dovadă se bazează pe expansiunea funcției exponențiale din seria Taylor .

Formula

Formula lui Euler afirmă că, pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem: ^[1]

e^{ix}=\cos x+i\sin x

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}

și ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x

unde e este baza logaritmilor naturali , i este unitatea imaginară, iar sinusul și cosinusul sunt funcții trigonometrice .

Este o relație utilizată pentru a reprezenta numere complexe în coordonate polare și care permite definirea logaritmului pentru argumente complexe. Reprezentarea funcției e ^ix în planul complex este un cerc unitar și x este unghiul pe care îl formează un segment care leagă originea de un punct al cercului unitar cu axa reală pozitivă, măsurată în sens invers acelor de ceasornic și în radiani.

Folosind proprietățile exponențialei:

e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}\qquad (e^{a})^{b}=e^{ab},

{\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} \ cdot e ^ {b} \ qquad (e ^ {a}) ^ {b} = e ^ {ab},}

e ^ {{a + b}} = e ^ {a} \ cdot e ^ {{b}} \ qquad (e ^ {a}) ^ {b} = e ^ {{ab}},

valabil pentru toate numerele complexe a și b , putem obține cu ușurință din ele multe identități trigonometrice și formula lui Moivre .

Formula lui Euler ne permite, de asemenea, să interpretăm funcțiile sinus și cosinus ca variante simple ale funcției exponențiale: ^[2]

\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}=\cosh(ix),

{\ displaystyle \ cos x = {e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ over 2} = \ cosh (ix),}

{\ displaystyle \ cos x = {e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ over 2} = \ cosh (ix),}

\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}={1 \over i}\sinh(ix)={-i}\sinh(ix){.}

{\ displaystyle \ sin x = {e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ over 2i} = {1 \ over i} \ sinh (ix) = {- i} \ sinh (ix) {.}}

{\ displaystyle \ sin x = {e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ over 2i} = {1 \ over i} \ sinh (ix) = {- i} \ sinh (ix) {.}}

Aceste formule pot fi folosite și ca definiție a funcțiilor trigonometrice pentru argumente complexe $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și să raporteze funcțiile hiperbolice cu funcțiile trigonometrice uzuale.

Cele două ecuații pot fi găsite prin adăugarea sau scăderea următoarelor formule Euler:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x,

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x

{\ displaystyle e ^ {- ix} = \ cos (-x) + i \ sin (-x) = \ cos xi \ sin x}

e ^ {- ix} = \ cos (-x) + i \ sin (-x) = \ cos x - i \ sin x

unde x este faza , atunci rezolvarea ecuațiilor obținute atât față de sinus, cât și față de cosinus.

Identitatea lui Euler

Același subiect în detaliu: identitatea lui Euler .

Formula lui Euler dă naștere unei identități considerate a fi printre cele mai fascinante din matematică, cunoscută sub numele de identitatea lui Euler , care se raportează între ele cinci simboluri care stau la baza analizei matematice: e , i , π , 1 și 0:

e^{i\pi }+1=0{.}

{\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0 {.}}

și ^ {i \ pi} + 1 = 0 {.}

De fapt, fiind după formula lui Euler: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}$ $și ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x$

Doar setați x = π și apoi: $e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi}$

Dar: $cos\pi =-1$ ${\ displaystyle cos \ pi = -1}$ ${\ displaystyle cos \ pi = -1}$ Și $sin\pi =0$ ${\ displaystyle sin \ pi = 0}$ ${\ displaystyle sin \ pi = 0}$

Prin urmare: $e^{i\pi }=-1+0$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1 + 0}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1 + 0}$

Care a rescris: $e^{i\pi }+1=0{.}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0 {.}}$ $și ^ {i \ pi} + 1 = 0 {.}$

Demonstrații

Există mai multe moduri de a demonstra formula lui Euler.

Funcții analitice

Animația demonstrației prin dezvoltarea seriei Taylor.

O idee a unei astfel de egalități poate fi obținută utilizând expansiunea în serie a funcțiilor analitice sinus cosinus și exponențial. Funcțiile complexe e ^z , cos ( z ) și sin ( z ) sunt definite în setul de numere complexe ca limită a următoarelor serii de puteri:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots

{\ displaystyle e ^ {z} = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + \ cdots}

e ^ {z} = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + \ cdots

\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots

{\ displaystyle \ cos z = 1 - {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {4}} {4!}} - {\ frac {z ^ {6} } {6!}} + \ Cdots}

\ cos z = 1 - {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {4}} {4!}} - {\ frac {z ^ {6}} {6 !}} + \ cdots

\sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots

{\ displaystyle \ sin z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + {\ frac {z ^ {5}} {5!}} - {\ frac {z ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}

\ sin z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + {\ frac {z ^ {5}} {5!}} - {\ frac {z ^ {7}} {7 !}} + \ cdots

Pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ reale, acestea coincid cu extinderea obișnuită a seriei Taylor a funcțiilor reale relative ale unei variabile reale.

Prin înlocuire $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu $the X$ ${\ displaystyle ix}$ $ix$ obținem, prin rearanjarea seriei (care se justifică fiind convergența absolută):

e^{ix}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots

{\ displaystyle e ^ {ix} = 1 + ix + {\ frac {(ix) ^ {2}} {2!}} + {\ frac {(ix) ^ {3}} {3!}} + { \ frac {(ix) ^ {4}} {4!}} + {\ frac {(ix) ^ {5}} {5!}} + {\ frac {(ix) ^ {6}} {6! }} + {\ frac {(ix) ^ {7}} {7!}} + {\ frac {(ix) ^ {8}} {8!}} + \ cdots}

e ^ {{ix}} = 1 + ix + {\ frac {(ix) ^ {2}} {2!}} + {\ frac {(ix) ^ {3}} {3!}} + {\ frac {(ix) ^ {4}} {4!}} + {\ frac {(ix) ^ {5}} {5!}} + {\ frac {(ix) ^ {6}} {6!} } + {\ frac {(ix) ^ {7}} {7!}} + {\ frac {(ix) ^ {8}} {8!}} + \ cdots

=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots

{\ displaystyle = 1 + ix - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} - {\ frac {ix ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {ix ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} - {\ frac {ix ^ {7}} {7 !}} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} + \ cdots}

= 1 + ix - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} - {\ frac {ix ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {4! }} + {\ frac {ix ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} - {\ frac {ix ^ {7}} {7!}} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} + \ cdots

=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)

{\ displaystyle = \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + {\ Frac {x ^ {8}} {8!}} + \ Cdots \ right) + i \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ cdots \ right)}

= \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 !}} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} + \ cdots \ right) + i \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ cdots \ right)

=\cos(x)+i\sin(x){.}

{\ displaystyle = \ cos (x) + i \ sin (x) {.}}

= \ cos (x) + i \ sin (x) {.}

Prin alegere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ identitatea este obținută așa cum a fost descoperită inițial de Euler.

Analize

Pentru $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ , exponențialul $e^{z}$ ${\ displaystyle e ^ {z}}$ $și ^ z$ poate fi definit ca limita secvenței:

e^{z}=\lim \limits _{n\to +\infty }\left({1+{\frac {z}{n}}}\right)^{n}.

{\ displaystyle e ^ {z} = \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({1 + {\ frac {z} {n}}} \ right) ^ {n}.}

și ^ {z} = \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({1 + {\ frac {z} {n}}} \ right) ^ {n}.

Pentru $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ $z = x + iy$ rezultă:

\lim \limits _{n\to +\infty }\left({1+{\frac {x+iy}{n}}}\right)^{n}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right).

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({1 + {\ frac {x + iy} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x} \ left (\ cos y + i \ sin y \ right).}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({1 + {\ frac {{x + iy}} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x} \ stânga (\ cos y + i \ sin y \ right).

De fapt, să ne întrebăm:

e^{z}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right).

{\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {x} \ left (\ cos y + i \ sin y \ right).}

e ^ {z} = e ^ {x} \ left (\ cos y + i \ sin y \ right).

Succesiunea în formă trigonometrică se obține prin stabilirea:

\left({1+{\frac {x+iy}{n}}}\right)^{n}=\left[{\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)+i{\frac {y}{n}}}\right]^{n},

{\ displaystyle \ left ({1 + {\ frac {x + iy} {n}}} \ right) ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}} } \ right) + i {\ frac {y} {n}}} \ right] ^ {n},}

\ left ({1 + {\ frac {{x + iy}} {n}}} \ right) ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) + i {\ frac {y} {n}}} \ right] ^ {n},

și apoi calculând modulul $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și subiectul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ a termenului între paranteze drepte:

R={\sqrt {\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{n}}\right)^{2}}};

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {n}} \ right) ^ {2}}};}

R = {\ sqrt {\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({{\ frac {y} {n}}} \ right) ^ {2}}};

\varphi =\arctan {\frac {\frac {y}{n}}{1+{\frac {x}{n}}}}=\arctan {\frac {y}{n+x}}

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {\ frac {y} {n}} {1 + {\ frac {x} {n}}}} = \ arctan {\ frac {y} {n + x} }}

\ varphi = \ arctan {\ frac {{{\ frac {y} {n}}}} {{1 + {\ frac {x} {n}}}}} = \ arctan {\ frac {y} {{ n + x}}}

Folosind formula lui de Moivre putem deci scrie:

\left({1+{\frac {z}{n}}}\right)^{n}=\left[{\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{n}}\right)^{2}}\right]^{\frac {n}{2}}\cdot \left[{\cos \left({n\cdot \arctan {\frac {y}{n+x}}}\right)+i\sin \left({n\cdot \arctan {\frac {y}{n+x}}}\right)}\right]=

{\ displaystyle \ left ({1 + {\ frac {z} {n}}} \ right) ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ dreapta) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {n}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {\ frac {n} {2}} \ cdot \ left [{\ cos \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} {n + x}}} \ right) + i \ sin \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} {n + x}} } \ right)} \ right] =}

\ left ({1 + {\ frac {z} {n}}} \ right) ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({{\ frac {y} {n}}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {{{\ frac {n} {2}}}} \ cdot \ left [ {\ cos \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} {{n + x}}}} \ right) + i \ sin \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} { {n + x}}}} \ right)} \ right] =

=R^{n}\left[{\cos \left({n\varphi }\right)+i\sin \left({n\varphi }\right)}\right]

{\ displaystyle = R ^ {n} \ left [{\ cos \ left ({n \ varphi} \ right) + i \ sin \ left ({n \ varphi} \ right)} \ right]}

= R ^ {n} \ left [{\ cos \ left ({n \ varphi} \ right) + i \ sin \ left ({n \ varphi} \ right)} \ right]

Pentru a calcula limita modulului și argumentului pentru $n\to +\infty$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ $n \ to + \ infty$ , se știe că:

R^{n}=\left[{\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{n}}\right)^{2}}\right]^{\frac {n}{2}}=\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{n}\cdot \left[{1+\left({\frac {y}{n+x}}\right)^{2}}\right]^{\frac {n}{2}}

{\ displaystyle R ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {n} } \ right) ^ {2}} \ right] ^ {\ frac {n} {2}} = \ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {n} \ cdot \ left [{1+ \ left ({\ frac {y} {n + x}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {\ frac {n} {2}}}

R ^ {n} = \ left [{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({{\ frac {y} {n}}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {{{\ frac {n} {2}}}} = \ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {n } \ cdot \ left [{1+ \ left ({{\ frac {y} {{n + x}}}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {{{\ frac {n} {2 }}}}

În plus:

\lim \limits _{n\to +\infty }\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{n}=e^{x},

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x},}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x},

și a fi:

\left[{1+\left({\frac {y}{n+x}}\right)^{2}}\right]^{\frac {n}{2}}=\left\{{\left[{1+\left({\frac {y}{n+x}}\right)^{2}}\right]^{\left({\frac {n+x}{y}}\right)^{2}}}\right\}^{\frac {ny^{2}}{2\left({n+x}\right)^{2}}}

{\ displaystyle \ left [{1+ \ left ({\ frac {y} {n + x}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {\ frac {n} {2}} = \ left \ {{\ left [{1+ \ left ({\ frac {y} {n + x}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {\ left ({\ frac {n + x} {y} } \ right) ^ {2}}} \ right \} ^ {\ frac {ny ^ {2}} {2 \ left ({n + x} \ right) ^ {2}}}}

\ left [{1+ \ left ({{\ frac {y} {{n + x}}}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {{{\ frac {n} {2}}} } = \ left \ {{\ left [{1+ \ left ({{\ frac {y} {{n + x}}}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ {{\ left ({ {\ frac {{n + x}} {y}}} \ right) ^ {2}}}} \ right \} ^ {{{\ frac {{ny ^ {2}}} {{2 \ left ( {n + x} \ dreapta) ^ {2}}}}}}

cu:

\lim \limits _{n\to +\infty }\left[{1+\left({\frac {y}{n+x}}\right)^{2}}\right]^{\left({\frac {n+x}{y}}\right)^{2}}=e

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left [{1+ \ left ({\ frac {y} {n + x}} \ right) ^ {2}} \ right] ^ { \ left ({\ frac {n + x} {y}} \ right) ^ {2}} = e}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left [{1+ \ left ({{\ frac {y} {{n + x}}} \ right) ^ {2}} \ right ] ^ {{\ left ({{\ frac {{n + x}} {y}}} \ right) ^ {2}}} = și

Și

\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {ny^{2}}{2\left({n+x}\right)^{2}}}=0,

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} {\ frac {ny ^ {2}} {2 \ left ({n + x} \ right) ^ {2}}} = 0,}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} {\ frac {{ny ^ {2}}} {{2 \ left ({n + x} \ right) ^ {2}}}} = 0 ,

rezultă:

\lim \limits _{n\to +\infty }R^{n}=e^{x}.

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} R ^ {n} = e ^ {x}.}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} R ^ {n} = e ^ {x}.

Pentru a calcula limita argumentului, se utilizează regula de l'Hôpital :

\lim \limits _{n\to +\infty }n\varphi =\lim \limits _{n\to +\infty }\left({n\cdot \arctan {\frac {y}{n+x}}}\right)=\lim \limits _{n\to +\infty }\left({\frac {\arctan {\frac {y}{n+x}}}{\frac {1}{n}}}\right)=\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {{\frac {1}{1+\left({\frac {y}{n+x}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {-y}{\left({n+x}\right)^{2}}}}{-{\frac {1}{n^{2}}}}}=

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} n \ varphi = \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} {n + x}}} \ right) = \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({\ frac {\ arctan {\ frac {y} {n + x}}} {\ frac {1} {n}}} \ right) = \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} {\ frac {{\ frac {1} {1+ \ left ({\ frac {y} {n + x}} \ right) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {-y} {\ left ({n + x} \ right) ^ {2}}}} {- {\ frac {1} {n ^ {2 }}}}} =}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} n \ varphi = \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({n \ cdot \ arctan {\ frac {y} { {n + x}}}} \ right) = \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({{\ frac {{\ arctan {\ frac {y} {{n + x} }}}} {{{\ frac {1} {n}}}}}} \ right) = \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} {\ frac {{{\ frac {1} {{1+ \ left ({{\ frac {y} {{n + x}}}} \ right) ^ {2}}}} \ cdot {\ frac {{-y}} {{\ left ({ n + x} \ right) ^ {2}}}}}} {{- {\ frac {1} {{n ^ {2}}}}}}} =

=\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {yn^{2}}{\left({n+x}\right)^{2}+y^{2}}}=y\cdot \lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {1}{\left({1+{\frac {x}{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{n}}\right)^{2}}}=y\cdot 1=y

{\ displaystyle = \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} {\ frac {yn ^ {2}} {\ left ({n + x} \ right) ^ {2} + y ^ {2}} } = y \ cdot \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {n}} \ right) ^ {2}}} = y \ cdot 1 = y}

= \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} {\ frac {{yn ^ {2}}} {{\ left ({n + x} \ right) ^ {2} + y ^ {2 }}}} = y \ cdot \ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} {\ frac {1} {{\ left ({1 + {\ frac {x} {n}}} \ right ) ^ {2} + \ left ({{\ frac {y} {n}}} \ right) ^ {2}}}} = y \ cdot 1 = y

Din rezultatele obținute se demonstrează astfel că:

\lim \limits _{n\to +\infty }\left({1+{\frac {z}{n}}}\right)^{n}=e^{x}\left({\cos y+i\sin y}\right)=e^{x}e^{iy}=e^{x+iy}=e^{z}.

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {n \ to + \ infty} \ left ({1 + {\ frac {z} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x} \ left ({ \ cos y + i \ sin y} \ right) = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ {x + iy} = e ^ {z}.}

\ lim \ limits _ {{n \ to + \ infty}} \ left ({1 + {\ frac {{z}} {n}}} \ right) ^ {n} = e ^ {x} \ left ( {\ cos y + i \ sin y} \ right) = e ^ {x} e ^ {{iy}} = e ^ {{x + iy}} = e ^ {z}.

Dovadă alternativă

Este:

f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {ix}}}.}

f (x) = {\ frac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {{ix}}}}.

Acest lucru este permis deoarece modulul exponențial în numitor este:

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1

{\ displaystyle e ^ {ix} \ cdot e ^ {- ix} = e ^ {0} = 1}

e ^ {{ix}} \ cdot e ^ {{- ix}} = e ^ {0} = 1

ceea ce implică faptul că e ^ix este întotdeauna diferit de zero.

Derivata lui f este, conform regulii coeficientului :

f'(x)=\displaystyle {\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}=\displaystyle {\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}=0

{\ displaystyle f '(x) = \ displaystyle {\ frac {(- \ sin x + i \ cos x) \ cdot e ^ {ix} - (\ cos x + i \ sin x) \ cdot i \ cdot e ^ {ix}} {(e ^ {ix}) ^ {2}}} = \ displaystyle {\ frac {- \ sin x \ cdot e ^ {ix} -i ^ {2} \ sin x \ cdot e ^ {ix}} {(e ^ {ix}) ^ {2}}} = 0}

f '(x) = \ displaystyle {\ frac {(- \ sin x + i \ cos x) \ cdot e ^ {{ix}} - (\ cos x + i \ sin x) \ cdot i \ cdot e ^ {{ix}}} {(e ^ {{ix}}) ^ {2}}} = \ displaystyle {\ frac {- \ sin x \ cdot e ^ {{ix}} - i ^ {2} \ sin x \ cdot e ^ {{ix}}} {(e ^ {{ix}}) ^ {2}}} = 0

Prin urmare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ trebuie să fie o funcție constantă , deci din următoarea relație:

f(0)={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1,

{\ displaystyle f (0) = {\ frac {\ cos 0 + i \ sin 0} {e ^ {0}}} = 1,}

f (0) = {\ frac {\ cos 0 + i \ sin 0} {e ^ {0}}} = 1,

obținem că această constantă trebuie să fie egală cu 1. Aceasta înseamnă că numeratorul și numitorul din definiția lui f trebuie să fie egali pentru fiecare x , adică trebuie să conțină formula lui Euler.

Notă

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.461
^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.417

Bibliografie

Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe formula lui Euler

linkuri externe

Formula și identitatea lui Euler Formula și identitatea lui Euler , puteri și logaritmi complexi. Lecție interactivă.

(RO) O ecuație foarte elegantă. Formula lui Euler și frumusețea matematicii de David Stripp, 2017, Cărți de bază

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.461

[2] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.417

[1]

[2]

V · D · M Trigonometrie
Funcția trigonometrică · Funcția trigonometrică inversă
Funcții	Sân · versin · cosinus · Cosenoverso · Tangent · Cotangent · Secant · Secante externe · Cosecant · Cosecant extern
Funcții inverse	Arc sinus · Arc cosinus · Arctangent · cotangent invers · Arcosecante · Arcocosecante
Teoreme și formule	Rope Teorema · sani Teorema · cosinus teorema · drept de tangentele · cotangents Teorema · Pitagora · Formulele Prosthaphaeresis · Formulele Werner
Alte	Tabel trigonometric · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor trigonometrice · tabel al integralelor nedefinite ale funcțiilor arc · Funcții hiperbolice · identități trigonometrice · Constante trigonometrice exacte · Istoricul funcțiilor trigonometrice