Formula Wilson-Sommerfeld

Orbite eliptice cu aceeași energie și impuls unghiular cuantificat

Formula Wilson-Sommerfeld a reprezentat o încercare de a îmbunătăți modelul Bohr al atomului , ducând la definirea unui model numit Bohr-Sommerfeld.

Descriere

În acest model, se presupunea că electronii se deplasează în jurul nucleului pe orbite eliptice, spre deosebire de modelul original Bohr , care presupunea orbite circulare. Pentru a completa ipoteza, modelul Bohr-Sommerfeld a contemplat o adăugare la constrângerea asupra cuantizării impulsului unghiular cu o constrângere suplimentară de cuantizare a razei determinată prin „ formula de constrângere de cuantificare Wilson-Sommerfeld ”: acțiunea redusă pe orbită deține

{\mathcal {A}}=\oint {\mathbf {p} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {q} }=nh

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ oint {\ mathbf {p} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} = nh}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ oint {\ mathbf {p} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {q}} = nh}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Este momentul, $d q$ ${\ displaystyle dq}$ ${\ displaystyle dq}$ reprezintă diferențialul funcției de coordonate generice $q(t)$ ${\ displaystyle q (t)}$ $q (t)$ , $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck .

Modelul actual al atomului, cunoscut sub numele de modelul orbital atomic, nu ar fi putut fi formulat fără modelele anterioare derivate din ipotezele lui Bohr.

Exemple

Din formula Wilson-Sommerfeld putem obține în mod trivial cuantificarea impulsului unghiular :

\oint {L\,d\phi }=nh

{\ displaystyle \ oint {L \, d \ phi} = nh}

{\ displaystyle \ oint {L \, d \ phi} = nh}

Funcția periodică a timpului este în acest caz $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ :

nh=\int _{0}^{2\pi }{L\,d\phi }=L\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi L

{\ displaystyle nh = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {L \, d \ phi} = L \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi = 2 \ pi L}

{\ displaystyle nh = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {L \, d \ phi} = L \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi = 2 \ pi L}

adică

L=n\hbar

{\ displaystyle L = n \ hbar}

{\ displaystyle L = n \ hbar}

cu $\hbar =h/(2\pi )$ ${\ displaystyle \ hbar = h / (2 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ hbar = h / (2 \ pi)}$ .

În mod similar, legea cuantizării energiei a lui Planck poate fi obținută și din regula anterioară $E=nh\nu$ ${\ displaystyle E = nh \ nu}$ ${\ displaystyle E = nh \ nu}$ . Într-adevăr, pentru un oscilator armonic unidimensional, energia totală poate fi scrisă în termeni de moment și poziție ca

E=K+V={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}

{\ displaystyle E = K + V = {\ frac {p_ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {kx ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle E = K + V = {\ frac {p_ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {kx ^ {2}} {2}}}

sau

{\frac {p_{x}^{2}}{2mE}}+{\frac {x^{2}}{2\displaystyle {\frac {E}{k}}}}=1

{\ displaystyle {\ frac {p_ {x} ^ {2}} {2mE}} + {\ frac {x ^ {2}} {2 \ displaystyle {\ frac {E} {k}}}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {x} ^ {2}} {2mE}} + {\ frac {x ^ {2}} {2 \ displaystyle {\ frac {E} {k}}}} = 1}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta elastică a arcului. În acest fel, integralul formulei de cuantificare Wilson-Sommerfeld poate fi evaluat mult mai simplu; de fapt, ecuația anterioară reprezintă o elipsă de semi-axe $b={\sqrt {2mE}}$ ${\ displaystyle b = {\ sqrt {2mE}}}$ ${\ displaystyle b = {\ sqrt {2mE}}}$ și $a={\sqrt {2E/k}}$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {2E / k}}}$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {2E / k}}}$ în spațiul de fază xp _x . Asa de:

nh=\oint p_{x}\,dx=\pi ab={\frac {2\pi E}{\displaystyle {\sqrt {\frac {k}{m}}}}}

{\ displaystyle nh = \ oint p_ {x} \, dx = \ pi ab = {\ frac {2 \ pi E} {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}}

{\ displaystyle nh = \ oint p_ {x} \, dx = \ pi ab = {\ frac {2 \ pi E} {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}}

Dar ${\sqrt {k/m}}=\omega =2\pi \nu$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k / m}} = \ omega = 2 \ pi \ nu}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {k / m}} = \ omega = 2 \ pi \ nu}$ este trivial frecvența oscilației, din care rezultă că

nh={\frac {E}{\nu }}\quad \longrightarrow \quad E=nh\nu

{\ displaystyle nh = {\ frac {E} {\ nu}} \ quad \ longrightarrow \ quad E = nh \ nu}

{\ displaystyle nh = {\ frac {E} {\ nu}} \ quad \ longrightarrow \ quad E = nh \ nu}

sau legea cuantificării energiei propusă de Planck.

Bibliografie

R. Eisberg, R. Resnick. Fizica cuantică (a atomilor, moleculelor, solidelor, nucleelor și particulelor) . A doua ediție, 1985

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică