Formula pasajului

Formula pasajului vă permite să calculați aria oricărei figuri plane cu n laturi ne-curbate. Este o formulă care eficientizează timpul de calcul al unei zone a unei figuri având un număr mare de laturi, evitând utilizarea sistemului de triangulare .

Pentru a aplica această formulă trebuie să știți:

n-1 laturi ale poligonului;
n-2 unghiuri între laturile cunoscute n-1.

Presupunem din motive de sintaxă:

L_{i}

{\ displaystyle L_ {i}}

{\ displaystyle L_ {i}}

i -a latura poligonului, cu i = 2, ..., n -1

L_{j}

{\ displaystyle L_ {j}}

L_ {j}

j -a latura poligonului, cu j = 1, ..., n -2

\alpha _{h}

{\ displaystyle \ alpha _ {h}}

{\ displaystyle \ alpha _ {h}}

h -unghiul în interiorul poligonului, cu h = j , ..., n

Formula este

A={1 \over 2}{\sum _{j=1}^{n-2}\left[\sum _{i=2}^{n-1}(-1)^{i}L_{j}\cdot \ L_{i}\sin \left(\sum _{h=j}^{n}\alpha _{h}\right)\right]}

{\ displaystyle A = {1 \ over 2} {\ sum _ {j = 1} ^ {n-2} \ left [\ sum _ {i = 2} ^ {n-1} (- 1) ^ {i } L_ {j} \ cdot \ L_ {i} \ sin \ left (\ sum _ {h = j} ^ {n} \ alpha _ {h} \ right) \ right]}}

{\ displaystyle A = {1 \ over 2} {\ sum _ {j = 1} ^ {n-2} \ left [\ sum _ {i = 2} ^ {n-1} (- 1) ^ {i } L_ {j} \ cdot \ L_ {i} \ sin \ left (\ sum _ {h = j} ^ {n} \ alpha _ {h} \ right) \ right]}}

Aceeași formulă poate fi exprimată sub formă de matrice și în special prin indicarea cu k a numărului de LATURI CUNOSCUTE (k = n-1), versiunea matricei compacte devine:

A=L_{1,k-1}^{T}\cdot \Lambda \cdot \ L_{2,k}

{\ displaystyle A = L_ {1, k-1} ^ {T} \ cdot \ Lambda \ cdot \ L_ {2, k}}

{\ displaystyle A = L_ {1, k-1} ^ {T} \ cdot \ Lambda \ cdot \ L_ {2, k}}

unde este

L_{1,k-1}^{T}

{\ displaystyle L_ {1, k-1} ^ {T}}

{\ displaystyle L_ {1, k-1} ^ {T}}

este vectorul rând care conține primele fețe k-1

sau

L_{1,k-1}={\begin{bmatrix}L_{1}\\\vdots \\L_{k-1}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle L_ {1, k-1} = {\ begin {bmatrix} L_ {1} \\\ vdots \\ L_ {k-1} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle L_ {1, k-1} = {\ begin {bmatrix} L_ {1} \\\ vdots \\ L_ {k-1} \ end {bmatrix}}}

în mod similar $L_{2,k}$ ${\ displaystyle L_ {2, k}}$ ${\ displaystyle L_ {2, k}}$ este vectorul coloană ale cărui componente reprezintă în ordine laturile poligonului începând de la al doilea până la k- a ie

L_{2,k}={\begin{bmatrix}L_{2}\\\vdots \\L_{k}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle L_ {2, k} = {\ begin {bmatrix} L_ {2} \\\ vdots \\ L_ {k} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle L_ {2, k} = {\ begin {bmatrix} L_ {2} \\\ vdots \\ L_ {k} \ end {bmatrix}}}

și, în sfârșit $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este o matrice triunghiulară înaltă de ordinul k -1. În special, valorile sinelor unghiurilor cunoscute sunt aranjate în ordine de-a lungul diagonalei principale, în timp ce toți termenii de sub diagonala principală vor fi nuli. Deasupra acestuia din urmă, termenii matricei sunt exprimați prin următoarea relație: