De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Formulele de reducere LSZ sunt o metodă utilizată în teoria câmpului cuantic pentru a scrie matricea de împrăștiere în termeni de funcții de corelație ordonate în timp.
Ele poartă numele celor trei fizicieni germani care au introdus această metodă: Harry Lehmann , Kurt Symanzik și Wolfhart Zimmermann .
Exemplu
De exemplu, luați în considerare o teorie a particulelor scalare {\ displaystyle \ phi} de masă m , cu o acțiune:
- {\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] = \ int {\ text {d}} ^ {4} x {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {2} \ right) -V (\ phi)}
unde este {\ displaystyle V (\ phi)} poate fi, de exemplu, un termen de interacțiune {\ displaystyle \ lambda \ phi ^ {4}} , pe care în acest moment nu este necesar să îl precizăm. Funcțiile Green ale punctului n ale teoriei sunt definite ca valorile de așteptare în vid ale produsului ordonat în timp din n câmpuri:
- {\ displaystyle G ^ {(n)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ equiv \ langle 0 | T \ left (\ phi (x_ {1}) \ phi ( x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \ right) | 0 \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \, e ^ {i {\ mathcal {S}}}} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i { \ mathcal {S}}}}} \,.}
Ele pot fi calculate perturbativ prin teorema lui Wick . Se arată că transformatele Fourier ale funcțiilor lui Green au poli care corespund maselor fizice ale particulelor, adică atunci când {\ displaystyle p_ {i} ^ {2} = m ^ {2}} . Stările asimptotice ale teoriei corespund acestor poli: de fapt aceste stări sunt create și distruse de câmpurile „in” și „out”, care satisfac ecuația Klein-Gordon :
- {\ displaystyle (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {in} (x) = (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {out} (x) = 0}
care diferă de ecuațiile corecte ale mișcării datorită absenței potențialului de interacțiune. În consecință, într-un mod intuitiv, este necesar să se extragă contribuția polară a funcțiilor lui Green pentru a obține funcțiile lui Green construite cu câmpuri asimptotice, care generează exact elementele dorite ale matricei S. Dacă în starea inițială există m particule de impuls q 1 , ..., q m și în starea finală există n particule de impuls p 1 , ..., p n , formula de reducere care descrie procedura este dată de:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle & = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} x_ {i} \ i {\ frac {e ^ {- iq_ {i} \ cdot x_ {i}}} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {x_ {i}} + m ^ {2} \ right) \ right \ } \\ & {} \ qquad \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} y_ {j} \ i {\ frac {e ^ {+ ip_ {j} \ cdot y_ {j}}} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {y_ {j}} + m ^ {2} \ right) \ right \} G ^ {(n + m)} (x_ {1}, \ dots, x_ {m}, y_ {1}, \ dots, y_ {n}) \ end {align}}}
Procesul de extracție al polului este mai evident dacă formula este scrisă în termenii transformatei Fourier a funcției Green. În afară de înmulțirea cu unele constante (inclusiv constantele de renormalizare a câmpurilor Z ), formula arată că este suficient să multiplicați funcția Green cu unii factori {\ displaystyle p ^ {2} -m ^ {2}} , care elimină polii și apoi trimit impulsurile pe shell , adică execută limita {\ displaystyle p ^ {2} \ to m ^ {2}} corespunzător particulelor fizice:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle & = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {{\ frac {-i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (p_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} \\ & {} \ qquad \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {{\ frac {- i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (q_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} {\ tilde {G}} ^ {(n + m)} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}; - q_ {1}, \ ldots, -q_ {m}) \ end {align}}}