Formulele Bordei

Formulele sau relațiile lui Borda permit rezolvarea triunghiului de poziție în aplicațiile de astronomie nautică ( navigație astronomică ).

Referindu-ne la cercul de înălțime , formulele sunt date pentru a obține unghiul la polul P și unghiul zenit Z.

Formule pentru calcularea unghiului la polul P:

$\sin {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos \phi \sin p}}}$ ${\ displaystyle \ sin {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ sin (Sh)} {\ cos \ phi \ sin p}}}}$ ${\ displaystyle \ sin {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ sin (S-h)} {\ cos \ phi \ sin p}}}}$

$\cos {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\cos(S-p)}{\cos \phi \sin p}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ cos (Sp)} {\ cos \ phi \ sin p}}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ cos (S-p)} {\ cos \ phi \ sin p}}}}$

$\tan {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos(S-p)\sin(S-\phi )}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ sin (Sh)} {\ cos (Sp) \ sin (S- \ phi)}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {P} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ sin (S-h)} {\ cos (S-p) \ sin (S- \ phi)}}}$

unde este

$S={\frac {\phi +p+h}{2}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {\ phi + p + h} {2}}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {\ phi + p + h} {2}}}$

Formule pentru calcularea unghiului de azimut Z:

$\sin {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos \phi \cos h}}}$ ${\ displaystyle \ sin {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ sin (Sh)} {\ cos \ phi \ cos h}}}}$ ${\ displaystyle \ sin {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ sin (S-h)} {\ cos \ phi \ cos h}}}}$

$\cos {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\cos(S-p)}{\cos \phi \cos h}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ cos (Sp)} {\ cos \ phi \ cos h}}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos S \ cos (S-p)} {\ cos \ phi \ cos h}}}}$

$\tan {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos S\cos(S-p)}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ sin (Sh)} {\ cos S \ cos (Sp)}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {Z} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (S- \ phi) \ sin (S-h)} {\ cos S \ cos (S-p)}}}}$

unde este

$S={\frac {\phi +p+h}{2}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {\ phi + p + h} {2}}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {\ phi + p + h} {2}}}$

Formulele pentru calcularea unghiului paralactic A nu sunt date deoarece calculul nu prezintă niciun interes practic.

Notă

Formulele sunt raportate toate sub formă logaritmică , o formă în care funcțiile trigonometrice apar doar multiplicate una cu alta; acest lucru simplifică calculele, deoarece permite trecerea la logaritmii acestor funcții și adăugarea rezultatelor obținute (amintind de fapt că a * b = log (a) + log (b)).

Acest mod este cel mai simplu atunci când trebuie să faceți toate calculele manual, folosind doar tabelele logaritmilor și tabelele funcțiilor trigonometrice.