Fractal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - „Fractale” se referă aici. Dacă îl cauți pe fotbalist, vezi Pierluigi Frattali .

Un fractal este un obiect geometric cu omotetică internă: se repetă în forma sa în același mod pe scări diferite și, prin urmare, prin mărirea oricărei părți a acestuia, se obține o figură similară cu originalul. Prin urmare, numim geometrie fractală, geometria (neeuclidiană) care studiază aceste structuri, recurentă de exemplu în proiectarea inginerească a rețelelor, în mișcarea browniană și în galaxii [1] .

Această caracteristică este adesea numită auto-similitudine sau auto-similitudine . Termenul fractal a fost inventat în 1975 de Benoît Mandelbrot în cartea Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension pentru a descrie unele comportamente matematice care păreau să aibă un comportament „haotic” și derivă din latina fractus (rupt, rupt), ca precum și termenul fracție ; de fapt, imaginile fractale sunt considerate de matematică a fi obiecte de dimensiune care nu sunt întregi. De exemplu, curba Koch are dimensiune .

Fractalele apar adesea în studiul sistemelor dinamice , în definirea curbelor sau mulțimilor și în teoria haosului și sunt adesea descrise recursiv prin algoritmi sau ecuații foarte simple, scrise cu ajutorul numerelor complexe . De exemplu, ecuația care descrie setul Mandelbrot este următoarea:

unde este Și sunt numere complexe.

Fractale și natură

Forma fractală a unui munte

Natura produce multe exemple de forme foarte asemănătoare cu fractalele. De exemplu, într-un copac , în special în brad, fiecare ramură este aproximativ similară cu întregul copac și fiecare ramură este la rândul ei similară cu ramura proprie și așa mai departe; De asemenea, este posibil să observăm fenomene de auto-similitudine în formă de coastă: cu imagini preluate din satelit ca din ce în ce mai mari se poate observa că structura generală a golfurilor mai mult sau mai puțin indentate prezintă multe componente care, dacă nu identice cu originale, însă, seamănă foarte mult cu el. Fractalele sunt prezente și în profilul geomorfologic al munților , în nori , în cristalele de gheață , în unele frunze și flori . Potrivit lui Mandelbrot, relațiile dintre fractali și natură sunt mai profunde decât credem.

„Se crede că fractalele corespund cumva structurii minții umane, motiv pentru care oamenii le găsesc atât de familiare. Această familiaritate este încă un mister și cu cât este explorat subiectul mai profund, cu atât misterul crește mai mult "

( Benoît Mandelbrot )

Asemănarea de sine și definiția recursivă

Forma fractală a unui broccoli romanesc

La orice scară observată, obiectul are întotdeauna aceleași caractere globale.

O diferență substanțială între un obiect geometric euclidian și un fractal este modul în care este construit. De fapt, o curbă plană este în general construită pe plan cartezian, folosind o funcție precum:

care descrie poziția punctului pe curbă pe măsură ce timpul se schimbă .

În schimb, construcția fractalilor nu se bazează pe o ecuație, ci pe un algoritm . Aceasta înseamnă că există o metodă, nu neapărat numerică, care trebuie utilizată pentru a desena curba. Mai mult, algoritmul nu se aplică niciodată o singură dată, dar procedura este iterată de un număr teoretic infinit de ori: cu fiecare iterație curba se apropie din ce în ce mai mult de rezultatul final (prin aproximare) și, după un anumit număr de iterații, ochiul uman nu mai este capabil să distingă modificările sau hardware-ul computerului nu mai poate permite îmbunătățiri suplimentare. Prin urmare, atunci când trageți de fapt o fractală, vă puteți opri după un număr adecvat de iterații.

La baza asemănării de sine stă o anumită transformare geometrică numită homotezie care vă permite să măriți sau să reduceți o figură, lăsând în același timp forma sa neschimbată. Un fractal este o entitate geometrică care menține aceeași formă dacă este mărită cu o homotezie adecvată, numită homotezie internă .

Caracteristici

Întregul set Mandelbrot
Mandelbrot a mărit de 6x
Mandelbrot Zoom 100x
Mandelbrot Zoomed 2000x Ansamblul Mandelbrot văzut cu o lupă din ce în ce mai puternică arată întotdeauna la fel.

Dimensiune fractală

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: dimensiunea Hausdorff .

Dimensiunea fractală , sau dimensiunea Hausdorff , este un parametru foarte important care determină „gradul de neregularitate” al obiectului fractal luat în considerare.

Mandelbrot în cartea sa intitulată „ Obiecte fractale ” publicată în 1975 afirmă existența diferitelor metode de măsurare a dimensiunii unui fractal, introduse atunci când matematicianul și-a încercat mâna la determinarea lungimii coastelor Marii Britanii. Printre acestea, următoarele.

O busolă cu o deschidere prescrisă {\ displaystyle h} este avansată de-a lungul coastei și fiecare pas începe acolo unde se termină precedentul. Valoarea diafragmei h înmulțită cu numărul de pași va da lungimea aproximativă {\ displaystyle L (h)} a nervurii; totuși, făcând deschiderea busolei din ce în ce mai mică, numărul de trepte va crește, deschiderea va tinde la zero și numărul de trepte va tinde la infinit, iar măsurarea lungimii coastei va tinde la exactitate. [ Clarifică: tranziția de aici la dimensiune lipsește. ]

Cazul

Mandelbrot afirmă că litoralul a fost modelat în timp de mai multe influențe. Situația este atât de complicată, deoarece legile care guvernează aceste influențe nu sunt cunoscute în geomorfologie . Prin urmare, se poate spune că întâmplarea joacă un rol important și totuși singurul instrument capabil să ofere o soluție la problemă este statistica.

Cazul poate genera nereguli și este capabil să genereze o neregulă la fel de intensă ca cea a coastelor, într-adevăr, în multe situații, este dificil să împiedici cazul să depășească așteptările.

Șansa nu trebuie subestimată în studiul obiectelor fractale, deoarece homotezia internă determină șansa de a avea exact aceeași importanță la orice scară. Prin urmare, obiectele fractale sunt plasate în contextul sistemelor dinamice haotice .

De-a lungul istoriei, mulți matematicieni au ajuns la descoperirile lor în mod neașteptat. Mandelbrot însuși susține că a ajuns la descoperirile sale prin pură întâmplare. Într-o zi, s-a trezit în biblioteca IBM , unde multe cărți pe care nimeni nu le citise erau pe punctul de a fi mărunțite. Benoit a deschis o revistă aleatorie și a citit numele meteorologului Lewis Fry Richardson . Acest nume era deja cunoscut matematicianului polonez pentru studiile pe care le făcea asupra teoriei turbulențelor . Richardson era un savant bizar și excentric care obișnuia să-și pună întrebări pe care nimeni altcineva nu le-ar pune vreodată. Aceste capricii ale sale au dus la anticiparea descoperirilor pe care unii cercetători le-au făcut în deceniile următoare.

În carte, Richardson era preocupat de măsurarea lungimii litoralului pe diferite scale. Mandelbrot a fotocopiat desenul care descrie aceste măsurători și a lăsat cartea unde urma să o recupereze a doua zi, dar cartea a dispărut. Desenul a fost folosit de matematician pentru a formula teoria fractalilor pentru că se referea la ceva ce știm cu toții, coastele. Mandelbrot a realizat astfel că toate studiile efectuate de el însuși aveau ceva în comun, deși au variat între discipline complet diferite. Modelul de pornire a fost același: Mandelbrot s-a străduit să definească haosul aparent inerent lor.

Familii fractale

Curba Von Koch , un tip de fractal

Există mai multe familii de fractali, împărțiți în funcție de gradul termenilor ecuației generatoare conținute în algoritm:

  • Fractali lineari
  • Fractali neliniari
  • Fractali aleatorii

Fractali lineari

Fractalii lineari sunt cei a căror ecuație generatoare conține doar termeni de ordinul întâi și, prin urmare, algoritmul este liniar.

Aceste fractale pot fi studiate cu ajutorul unui duplicator imaginar de figuri: copiatorul de reducere , o mașină metaforică proiectată de John E. Hutchinson , matematician la Universitatea Națională Australiană din Canberra .

Această mașină funcționează mai mult sau mai puțin ca un copiator normal cu variator de reducere, dar diferă prin faptul că are mai multe lentile de reducere, fiecare dintre acestea putând copia originalul plasat pe mașină.

Lentilele pot fi aranjate în funcție de diferiți factori de reducere, iar imaginile reduse pot fi plasate în orice poziție . Prin urmare, figura poate fi mutată, alungită, scurtată, reflectată, rotită sau transformată în orice mod, atâta timp cât diferitele transformări se dovedesc a fi homotetice și , prin urmare, segmentele de linie ale originalului rămân segmente de linie.

Fractali neliniari

Există mai multe tipuri de fractali neliniari , a căror ecuație generatoare este de ordin mai mare decât .

Una dintre ele se bazează pe transformarea pătratică și a făcut obiectul unei atenții deosebite, deoarece produce o mare bogăție de forme geometrice dintr-un algoritm destul de simplu și este strâns legată de teoria haosului de astăzi.

Teoria pe care se bazează această fractală pătratică a fost descrisă pentru prima dată în 1918 de matematicianul francez Gaston Julia , aflat atunci într-un spital militar, recuperându-se după rănile suferite în timpul primului război mondial. Atât cercetările sale, cât și cele contemporane ale acerbului său rival Pierre Fatou , și bazate pe comportamentul transformării , au fost uitate curând până la refacerea de către Benoît Mandelbrot .

Întreprinderea intelectuală a lui Julia și Fatou este remarcabilă, deoarece, din moment ce nu existau computere electronice, acestea puteau conta doar pe abilitățile lor de abstractizare.

Fractali aleatorii

Fractalele examinate până acum sunt deterministe. Deși procesele aleatorii, cum ar fi aruncarea unui zar, pot produce imagini fractale, ele nu au niciun efect asupra formei fractale finale. Situația este foarte diferită pentru o altă clasă de fractali, așa-numiții fractali aleatori . Pentru a genera o fractală de acest tip, putem începe cu un triunghi întins pe un plan arbitrar.

Punctele medii ale fiecărei părți ale triunghiului sunt conectate între ele și triunghiul este astfel împărțit în patru triunghiuri mai mici. Fiecare punct mediu este apoi ridicat sau coborât cu o sumă aleasă aleatoriu. Același proces se aplică fiecăruia dintre triunghiurile mai mici și procesul se repetă la nesfârșit. Pe măsură ce numărul iterațiilor crește, începe să se formeze o suprafață din ce în ce mai bogată în detalii. În această „metodă de deplasare a punctelor medii”, entitatea aleatorie a deplasării punctelor medii este guvernată de o lege de distribuție care poate fi modificată pentru a obține o bună aproximare a suprafeței pe care urmează să fie construit modelul.

Pentru un model de suprafață relativ netedă, transformările utilizate ar trebui să includă o regulă conform căreia deplasările punctelor medii devin foarte mici după doar câteva iterații. O astfel de regulă adaugă doar mici importanțe dezvoltării generale.

În schimb, pentru a reprezenta o suprafață aspră, cum ar fi topografia unui lanț montan , este mai bine să micșorați ușor cantitatea de deplasare cu fiecare iterație.

Această metodă de construire a suprafețelor are multe aplicații. A fost folosit pentru a obține modele de eroziune a solului și pentru a analiza înregistrările seismice pentru a înțelege schimbările din zonele de defect . Acest concept a fost folosit de Richard E. Voss, colegul lui Mandelbrot la Centrul de Cercetare Thomas J. Watson, pentru a genera imagini foarte realiste ale planetelor, sateliților, norilor și munților.

Set Mandelbrot

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: set Mandelbrot .
Setul Mandelbrot este cel mai faimos fractal

Setul Mandelbrot este setul de astfel încât, loc , succesiunea este limitat.

De departe cea mai reușită lucrare în acest domeniu este cea despre așa-numitul potențial electrostatic al setului Mandelbrot.

Imaginați-vă că întregul este dotat cu o încărcare electrică . Potențialul electric ar putea fi măsurat prin plasarea unei sarcini punctuale în afara ansamblului și măsurarea forței electrostatice care acționează asupra acelui punct. Se pare că calculul potențialului este strâns legat de secvență , folosit pentru a determina dacă a aparține sau nu setului Mandelbrot.

Poate că cea mai fascinantă proprietate a setului Mandelbrot este că poate fi considerat un „depozit” de imagini cu eficiență infinită: pe lângă împărțirea mulțimilor Julia în conectate și neconectate, setul Mandelbrot acționează și ca un index direct și un grafic al unui un număr infinit de mulțimi Julia .

Mărind setul Mandelbrot în jurul unui punct situate la marginea sa, apar forme care sunt și elementele constitutive ale mulțimii Julia corespunzătoare punctului . Cu toate acestea, această descoperire nu a fost încă îmbrăcată cu toată rigoarea matematică necesară.

Tan Lei, cercetător la Universitatea din Lyon , a arătat că setul Mandelbrot se comportă în acest fel pentru majoritatea valorilor parametrului situat exact la hotarul întregului.

Metoda lui Mandelbrot: fractali prin iterația puterilor de

Mai jos sunt enumerate o serie de fractali generate cu metoda Mandelbrot , adică iterație , Pentru o fix. Toate punctele planului complex sunt luate în considerare și, dacă nu se specifică altfel, toate iterațiile încep de la punctul respectiv . Când iterația converge, imaginea este colorată în galben pal. Divergența la infinit este colorată cu o culoare variind de la negru la albastru. Cazul , acesta este se numește set Mandelbrot .

Exemple de fractali de tip Mandelbrot .

Exemple de fractali de tip Mandelbrot .

Alte fractale Mandelbrot.

Notă

  1. ^ ( IT ) UTET, Enciclopedia Republicii , Torino (Moncalieri), 2003.

Bibliografie

Elemente conexe

Setul Julia este, de asemenea, un fractal

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 7037 · LCCN (EN) sh85051147 · BNF (FR) cb119730272 (data) · NDL (EN, JA) 00.576.561
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică