Fractale de dimensiunea Hausdorff

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică, un fractal este un obiect geometric în care dimensiunea Hausdorff (δ) este strict mai mare decât dimensiunea topologică . Mai jos este o listă a fractalelor prin creșterea dimensiunii Hausdorff , cu scopul de a vizualiza ce înseamnă pentru un fractal să aibă o dimensiune mică sau înaltă.

Fractali deterministi

δ
(valoare exacta)
δ
(valoare aproximativă)
Nume Ilustrare Comentarii
Bifurcațiile ecuației logistice Diagrama bifurcației hărții logistice.png În diagrama de bifurcație , pe măsură ce se apropie fiecare regiune haotică, apare o succesiune de dublări de perioadă, într-o progresie geometrică tendind la 1 / δ. (δ F = constanta Feigenbaum = 4.6692).
Set cantor Cantor setat în șapte iterații.svg Construit prin eliminarea treimii mijlocii la fiecare iterație. Împreună niciodată dens , nici numărabil .
Set Smith-Volterra-Cantor Smith-Volterra set2.png Construit prin eliminarea celei de-a patra părți centrale la fiecare iterație. Împreună niciodată dens, dar cu o măsură Lebesgue de ½.
Insula Gosper Ile de Gosper.gif
Atractorul din Hénon Henon attractor.png Atractorul canonic Hénon (cu parametri și ) posedă dimensiunea Haussdorf δ = 1.261 ± 0.003. Parametrii diferiți conduc la valori diferite ale lui δ.
Curba Koch Curba Koch.svg 3 dintre aceste curbe formează brațul Koch sau anti-brațul.
Marginea curbei Terdragon , Fudgeflake Limita Terdragonului.png Sistem L: similar cu curba dragonului cu un unghi de 30 °. Fudgeflake este construit prin juxtapunerea celor 3 segmente inițiale pentru a forma un triunghi.
Pulbere Cantor în 2D Carre cantor.gif Ansamblu cantor în două dimensiuni.
Sita lui Apollonius Garnitură Apollonian.gif
Cutie fractală Box fractal.svg Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui pătrat cu o cruce de 5 pătrate.
Curba Koch quadratică (tip 1) Quadratic Koch 2.png În el găsim motivul cutiei fractale (vezi mai sus), construit diferit.
Curba quadratică Koch (tip 2) Quadratic Koch.png Numit și „Cârnați Minkowski”.
Marginea Curbei Dragonului Boundary dragon curve.png Cf. Chang și Zhang [1]
Copac cu 3 ramuri Arbre 3 branches.png Arbre 3 ramuri2.png Fiecare ramură se împarte în alte 3 ramuri. (aici cazurile la 90 ° și 60 °). Dimensiunea fractală a întregului copac este cea a ramurilor terminale. NB: arborele cu 2 ramuri are dimensiunea fractală 1.
Triunghiul Sierpiński SierpinskiTriangle.PNG Este, de asemenea, triunghiul lui Pascal modulul 2.
Curba Sierpinski a săgeții PfeilspitzenFraktal.PNG Aceeași limită ca și triunghiul Sierpinski (vezi mai sus), dar obținut prin iterația construitului cu o curbă unidimensională.
Triunghiul Tartaglia modulul 3 Modulul triunghi Pascal 3.png În general, pentru un modul triunghiular k, dacă k este prim, dimensiunea fractală este (Cf Stephen Wolfram [2] )
Triunghiul Tartaglia modulul 5 Modulul triunghi Pascal 5.png Ca mai sus.
Arc hexagonal Flocon hexagonal.gif Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui hexagon cu o capsă de 7 hex. Marginea sa este capsa Koch. Conține fulgi Koch infini (alb-negru).
Rivera HI fractal Începând de la un pătrat unitar prin împărțirea dimensiunilor sale în trei părți egale pentru a forma nouă pătrate asemănătoare cu primul pătrat, două pătrate centrale (cel de deasupra și dedesubtul pătratului central) sunt eliminate în fiecare dintre cele șapte pătrate care nu sunt eliminate. se repetă, apoi continuă la nesfârșit.
Curba Koch la 85 ° , fractala lui Cesàro Koch Curve 85degrees.png Generalizarea curbei Koch cu un unghi la alegere între 0 și 90 °. Dimensiunea fractală este atunci . Fractalul Cesàro se bazează pe acest motiv.
Arcul pentagonal Penta plexity.png Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui pentagon cu o capsă de 6 pentagone. Aici este raportul auriu.
Covor Sierpinski Sierpinski6.png
Pulbere de cantor în 3D Cube Cantor.png Set cantor în 3 dimensiuni.
Apreciat Marginea curbei Lévy LevyFractal.png Estimat de Duvall și Keesling (1999). Curba în sine are dimensiunea fractală 2. [ neclar ]
Teselarea Penrose Pen0305c.gif Cf. Ramachandrarao, Sinha și Sanyal [3]
Set Mandelbrot Mandelbrot-similar1.png Orice obiect plan care conține un disc are o dimensiune Hausdorff δ = 2. Limita setului Mandelbrot are și o dimensiune Hausdorff δ = 2.
Curba Sierpiński Sierpinski-Curve-3.png Fiecare curbă care umple planul are o dimensiune 2 Hausdorff.
Curba Hilbert Hilbert-Curve-3.png Construită într-un mod similar: curba Moore
Curba Peano Peano curve.png Și o familie de curbe construite într-un mod similar, cum ar fi curbele Wunderlich sau curbele Moore .
Curba Lebesgue sau curba de ordinul z Curba de ordine Z.png Contrar curbelor anterioare, acest lucru este diferențiat aproape peste tot.
Curba Dragonului Courbe du dragon.png Marginea sa are o dimensiune fractală de 1.5236 (Cf. Chang și Zhang [1] ).
Curba Terdragon Terdragon curve.png Sistem L: F-> F + FF. unghi = 120 °.
Piața T T-fractal pătrat (evoluție) .png
Curba Peano-Gosper Curba Gosper 3.png Marginea sa este Insula Gosper.
Tetraedrul Sierpinski Tetraedre Sierpinski.png
H-fractal H fractal2.png La fel, arborele Mandelbrot, care are o structură similară.
Fractal cruce grecesc 2D Fiecare segment este înlocuit de o cruce formată din 4 segmente.
Lorenz Atractor Lorenz attractor.png Pentru valori precise ale parametrilor atractorului.
Dodecaedru fractal Dodecaedron fractal.jpg Fiecare dodecaedru este înlocuit cu 20 de dodecaedre. Aici este raportul auriu.
Suprafața Koch quadratică (tip 1) în 3D Quadratic Koch 3D (type1) .png Extensia tridimensională a curbei pătratice Koch (tip 1). Ilustrația prezintă a doua iterație.
Interstiții din sferele lui Apollonius Apollonian spheres.jpg Sită Apollonius în 3 dimensiuni. Imitați pesmet sau burete. Dimensiunea calculată de M. Borkovec, W. De Paris și R. Peikert [4] .
Suprafața Koch quadratică (tip 2) în 3D Quadratic Koch 3D.png Extensia tridimensională a curbei pătratice Koch (tip 2). Ilustrația arată prima iterație.
Hipercubul lui Cantor Set cantor în 4 dimensiuni. În general, într-un spațiu de dimensiune n, setul Cantor posedă dimensiunea Hausdorff
Icosaedru fractal Icosaedron fractal.jpg Fiecare icosaedru este înlocuit cu 12 icosahedra. Aici este raportul auriu.
3D fractal de cruce greacă Crucea greacă 3D.png Fiecare segment este înlocuit cu o cruce formată din 6 segmente. Extindere tridimensională a crucii în două dimensiuni.
Octaedru fractal Octaedron fractal.jpg Fiecare octaedru este înlocuit cu 6 octaedre.
Buretele lui Menger Burete Menger (IFS) .jpg Suprafața sa are o dimensiune fractală .
Curba Hilbert în 3D Hilbert512.gif Extensia tridimensională a curbei Hilbert.

Fractali aleatori și naturali

δ
(valoare exacta)
δ
(valoare aproximativă)
Nume Ilustrare Comentarii
Măsurat Coasta Marii Britanii Gb4dot.svg
Marginea mișcării browniene Front mouvt brownien.png (Cf. Gregory Lawler, Oden Schramm și Wendelin Werner [5] ).
Polimer 2D Similar cu mișcarea 2D browniană fără auto-intersecție. (Cf Sapoval [6] ).
Măsurat Coasta Norvegiei Norgeskart.png
Măsurat Plimbare informală fără intersecții Polimer 2D.png Plimbare aleatorie în interiorul unui pătrat, cu algoritmul „return” pentru a evita fundăturile.
Polimer 3D Similar cu mișcarea browniană din interiorul unui cub, dar fără auto-intersecții (Cf Sapoval [6] ).
Mișcare browniană Mouvt brownien2.png Sau plimbare casual. Dimensiunile Hausdorff sunt egale cu 2 în 2D, 3D și toate celelalte dimensiuni (K. Falconer „Geometria seturilor fractale”).
Conopidă Blumenkohl-1.jpg Fiecare ramură poartă 13 ramuri de 3 ori mai mici.
Suprafața pulmonară Thorax Lung 3d (2) .jpg Alveolele unui plămân formează o suprafață fractală cu o dimensiune apropiată de 3 (Cf Sapoval [6] ).

Notă

  1. ^ a b Dimensiunea fractală a curbei dragonului
  2. ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984) , pe stephenwolfram.com . Adus pe 29 decembrie 2006 (arhivat din original la 15 octombrie 2012) .
  3. ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha și D. Sanyal, Despre natura fractală a plăcilor Penrose [1] ( PDF )
  4. ^ M. Borkovec, W. De Paris și R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] ( PDF )
  5. ^ GF Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] Arhivat pe 28 septembrie 2007 Internet Archive . ( PDF )
  6. ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales , Flammarion, colecția Champs (2001), ISBN 2080814664

Bibliografie

  • 1 Kenneth Falconer, Fractal Geometry , John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (martie 1990)
  • Benoît Mandelbrot, Geometria fractală a naturii , WH Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (septembrie 1982).
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images , Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (august 1988)
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere , Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
  • Bernard Sapoval, «Universalités et fractales», colecția Champs, Flammarion.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică