Fractale de dimensiunea Hausdorff
Salt la navigare Salt la căutare
În matematică, un fractal este un obiect geometric în care dimensiunea Hausdorff (δ) este strict mai mare decât dimensiunea topologică . Mai jos este o listă a fractalelor prin creșterea dimensiunii Hausdorff , cu scopul de a vizualiza ce înseamnă pentru un fractal să aibă o dimensiune mică sau înaltă.
Fractali deterministi
δ (valoare exacta) | δ (valoare aproximativă) | Nume | Ilustrare | Comentarii |
---|---|---|---|---|
Bifurcațiile ecuației logistice | În diagrama de bifurcație , pe măsură ce se apropie fiecare regiune haotică, apare o succesiune de dublări de perioadă, într-o progresie geometrică tendind la 1 / δ. (δ F = constanta Feigenbaum = 4.6692). | |||
Set cantor | Construit prin eliminarea treimii mijlocii la fiecare iterație. Împreună niciodată dens , nici numărabil . | |||
Set Smith-Volterra-Cantor | Construit prin eliminarea celei de-a patra părți centrale la fiecare iterație. Împreună niciodată dens, dar cu o măsură Lebesgue de ½. | |||
Insula Gosper | ||||
Atractorul din Hénon | Atractorul canonic Hénon (cu parametri și ) posedă dimensiunea Haussdorf δ = 1.261 ± 0.003. Parametrii diferiți conduc la valori diferite ale lui δ. | |||
Curba Koch | 3 dintre aceste curbe formează brațul Koch sau anti-brațul. | |||
Marginea curbei Terdragon , Fudgeflake | Sistem L: similar cu curba dragonului cu un unghi de 30 °. Fudgeflake este construit prin juxtapunerea celor 3 segmente inițiale pentru a forma un triunghi. | |||
Pulbere Cantor în 2D | Ansamblu cantor în două dimensiuni. | |||
Sita lui Apollonius | ||||
Cutie fractală | Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui pătrat cu o cruce de 5 pătrate. | |||
Curba Koch quadratică (tip 1) | În el găsim motivul cutiei fractale (vezi mai sus), construit diferit. | |||
Curba quadratică Koch (tip 2) | Numit și „Cârnați Minkowski”. | |||
Marginea Curbei Dragonului | Cf. Chang și Zhang [1] | |||
Copac cu 3 ramuri | Fiecare ramură se împarte în alte 3 ramuri. (aici cazurile la 90 ° și 60 °). Dimensiunea fractală a întregului copac este cea a ramurilor terminale. NB: arborele cu 2 ramuri are dimensiunea fractală 1. | |||
Triunghiul Sierpiński | Este, de asemenea, triunghiul lui Pascal modulul 2. | |||
Curba Sierpinski a săgeții | Aceeași limită ca și triunghiul Sierpinski (vezi mai sus), dar obținut prin iterația construitului cu o curbă unidimensională. | |||
Triunghiul Tartaglia modulul 3 | În general, pentru un modul triunghiular k, dacă k este prim, dimensiunea fractală este (Cf Stephen Wolfram [2] ) | |||
Triunghiul Tartaglia modulul 5 | Ca mai sus. | |||
Arc hexagonal | Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui hexagon cu o capsă de 7 hex. Marginea sa este capsa Koch. Conține fulgi Koch infini (alb-negru). | |||
Rivera HI fractal | Începând de la un pătrat unitar prin împărțirea dimensiunilor sale în trei părți egale pentru a forma nouă pătrate asemănătoare cu primul pătrat, două pătrate centrale (cel de deasupra și dedesubtul pătratului central) sunt eliminate în fiecare dintre cele șapte pătrate care nu sunt eliminate. se repetă, apoi continuă la nesfârșit. | |||
Curba Koch la 85 ° , fractala lui Cesàro | Generalizarea curbei Koch cu un unghi la alegere între 0 și 90 °. Dimensiunea fractală este atunci . Fractalul Cesàro se bazează pe acest motiv. | |||
Arcul pentagonal | Construit prin înlocuirea iterativă a fiecărui pentagon cu o capsă de 6 pentagone. Aici este raportul auriu. | |||
Covor Sierpinski | ||||
Pulbere de cantor în 3D | Set cantor în 3 dimensiuni. | |||
Apreciat | Marginea curbei Lévy | Estimat de Duvall și Keesling (1999). Curba în sine are dimensiunea fractală 2. [ neclar ] | ||
Teselarea Penrose | Cf. Ramachandrarao, Sinha și Sanyal [3] | |||
Set Mandelbrot | Orice obiect plan care conține un disc are o dimensiune Hausdorff δ = 2. Limita setului Mandelbrot are și o dimensiune Hausdorff δ = 2. | |||
Curba Sierpiński | Fiecare curbă care umple planul are o dimensiune 2 Hausdorff. | |||
Curba Hilbert | Construită într-un mod similar: curba Moore | |||
Curba Peano | Și o familie de curbe construite într-un mod similar, cum ar fi curbele Wunderlich sau curbele Moore . | |||
Curba Lebesgue sau curba de ordinul z | Contrar curbelor anterioare, acest lucru este diferențiat aproape peste tot. | |||
Curba Dragonului | Marginea sa are o dimensiune fractală de 1.5236 (Cf. Chang și Zhang [1] ). | |||
Curba Terdragon | Sistem L: F-> F + FF. unghi = 120 °. | |||
Piața T | ||||
Curba Peano-Gosper | Marginea sa este Insula Gosper. | |||
Tetraedrul Sierpinski | ||||
H-fractal | La fel, arborele Mandelbrot, care are o structură similară. | |||
Fractal cruce grecesc 2D | Fiecare segment este înlocuit de o cruce formată din 4 segmente. | |||
Lorenz Atractor | Pentru valori precise ale parametrilor atractorului. | |||
Dodecaedru fractal | Fiecare dodecaedru este înlocuit cu 20 de dodecaedre. Aici este raportul auriu. | |||
Suprafața Koch quadratică (tip 1) în 3D | Extensia tridimensională a curbei pătratice Koch (tip 1). Ilustrația prezintă a doua iterație. | |||
Interstiții din sferele lui Apollonius | Sită Apollonius în 3 dimensiuni. Imitați pesmet sau burete. Dimensiunea calculată de M. Borkovec, W. De Paris și R. Peikert [4] . | |||
Suprafața Koch quadratică (tip 2) în 3D | Extensia tridimensională a curbei pătratice Koch (tip 2). Ilustrația arată prima iterație. | |||
Hipercubul lui Cantor | Set cantor în 4 dimensiuni. În general, într-un spațiu de dimensiune n, setul Cantor posedă dimensiunea Hausdorff | |||
Icosaedru fractal | Fiecare icosaedru este înlocuit cu 12 icosahedra. Aici este raportul auriu. | |||
3D fractal de cruce greacă | Fiecare segment este înlocuit cu o cruce formată din 6 segmente. Extindere tridimensională a crucii în două dimensiuni. | |||
Octaedru fractal | Fiecare octaedru este înlocuit cu 6 octaedre. | |||
Buretele lui Menger | Suprafața sa are o dimensiune fractală . | |||
Curba Hilbert în 3D | Extensia tridimensională a curbei Hilbert. |
Fractali aleatori și naturali
δ (valoare exacta) | δ (valoare aproximativă) | Nume | Ilustrare | Comentarii |
---|---|---|---|---|
Măsurat | Coasta Marii Britanii | |||
Marginea mișcării browniene | (Cf. Gregory Lawler, Oden Schramm și Wendelin Werner [5] ). | |||
Polimer 2D | Similar cu mișcarea 2D browniană fără auto-intersecție. (Cf Sapoval [6] ). | |||
Măsurat | Coasta Norvegiei | |||
Măsurat | Plimbare informală fără intersecții | Plimbare aleatorie în interiorul unui pătrat, cu algoritmul „return” pentru a evita fundăturile. | ||
Polimer 3D | Similar cu mișcarea browniană din interiorul unui cub, dar fără auto-intersecții (Cf Sapoval [6] ). | |||
Mișcare browniană | Sau plimbare casual. Dimensiunile Hausdorff sunt egale cu 2 în 2D, 3D și toate celelalte dimensiuni (K. Falconer „Geometria seturilor fractale”). | |||
Conopidă | Fiecare ramură poartă 13 ramuri de 3 ori mai mici. | |||
Suprafața pulmonară | Alveolele unui plămân formează o suprafață fractală cu o dimensiune apropiată de 3 (Cf Sapoval [6] ). |
Notă
- ^ a b Dimensiunea fractală a curbei dragonului
- ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984) , pe stephenwolfram.com . Adus pe 29 decembrie 2006 (arhivat din original la 15 octombrie 2012) .
- ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha și D. Sanyal, Despre natura fractală a plăcilor Penrose [1] ( PDF )
- ^ M. Borkovec, W. De Paris și R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] ( PDF )
- ^ GF Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] Arhivat pe 28 septembrie 2007 Internet Archive . ( PDF )
- ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales , Flammarion, colecția Champs (2001), ISBN 2080814664
Bibliografie
- 1 Kenneth Falconer, Fractal Geometry , John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (martie 1990)
- Benoît Mandelbrot, Geometria fractală a naturii , WH Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (septembrie 1982).
- Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images , Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (august 1988)
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere , Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
- Bernard Sapoval, «Universalités et fractales», colecția Champs, Flammarion.
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe lista fractalelor Hausdorff după dimensiune
linkuri externe
- Fractalii de pe Mathworld [ link rupt ] , pe mathworld.wolfram.com .
- Alte fractale pe site-ul lui Paul Bourke , la local.wasp.uwa.edu.au . Adus la 29 decembrie 2006 (arhivat din original la 5 septembrie 2006) .
- Galeria Soler , pe soler7.com .
- Fractale pe mathcurve.com , pe mathcurve.com .
- 1000fractales.free.fr - Proiect de colectare a fractalelor create cu diverse software , su 1000fractales.free.fr .
- Fractale dezlănțuite , la library.thinkquest.org . Adus la 29 decembrie 2006 (arhivat din original la 23 septembrie 2006) .