Functor (matematică)

În matematică , este adesea util să traducem probleme geometrice sau topologice în fapte algebrice sau stabilite , care sunt adesea mai ușor de rezolvat. Acest pas se face în mod normal printr-un functor .

Definiție

Un functor este o hartă între categorii care își păstrează structurile. ^[1]

Mai exact, un functor covariant de la categoria C la categoria D este o hartă care asociază:

• pentru fiecare obiect X din C un obiect F ( X ) în D
• pentru fiecare morfism f: X → Y un morfism F ( f ): F ( X ) → F ( Y )

în așa fel încât să dețină următoarele proprietăți:

• F (id _X ) = id _{F (X)} pentru fiecare obiect X din C.
• F ( g sau f ) = F ( g ) sau F ( f ) pentru toate morfismele f : X → Y și g : Y → Z.

Un functor contravariant este definit în mod similar, dar inversează morfismele, adică dacă f : X → Y , atunci F ( f ): F ( Y ) → F ( X ). Fiecare functor covariant de la C la D induce un functor contravariant între categoriile C ^* (adică categoria duală a lui C ) și D.

Exemple

Functor constant

Un functor „trivial” între oricare două categorii C → D este cel care mapează fiecare obiect al lui C la un obiect fix X în D și fiecare morfism al lui C la morfismul identitar al lui X.

Spațiu vector dual

Harta care asociază fiecărui spațiu vectorial spațiul său dual și fiecărei aplicații liniare dualul său este un functor contravariant din categoria spațiilor vectoriale (cu câmp fix) în sine.

Grup fundamental

Un spațiu topologic ascuțit este o pereche ( X , x ) unde X este un spațiu topologic și x este un punct al lui X. Grupul fundamental este un functor covariant din categoria spațiilor topologice arătat către cel al grupurilor , care asociază perechea (X, x) grupul π ₁ (X, x).

Algebra funcțiilor continue

Prin asocierea fiecărui spațiu topologic X algebra reală C ( X ) a funcțiilor continue de la X la R obținem un functor contravariant din categoria spațiilor topologice la cea a algebrelor reale.

Spațiul tangent și cotangent

Harta care trimite fiecare varietate diferențiată în fasciculul său tangent și fiecare funcție netedă din derivata sa este un functor covariant din categoria varietăților diferențiate în cea a fasciculelor vectoriale . Prin asocierea fasciculului cotangent obținem un functor contravariant.

Algebre de minciună

Prin asocierea cu fiecare grup Lie a algebrei Lie se obține un functor covariant.

Produs tensor

Dacă C este categoria de spații vectoriale pe un câmp fix, produsul tensor determină un functor C x C → C covariant în ambii factori.

Functor uitat

Functorul care asociază setul de bază cu fiecare grup este un functor de la categoria grupurilor la cea a seturilor, în care fiecare grup pur și simplu „uită” că are o structură. Functorii analogi sunt definiți de exemplu de la inele la grupuri.

Functor hom

Să reparăm un grup G. Prin urmare, asociem fiecărui grup H grupul Hom ( G , H ) alcătuit din toate omomorfismele de la G la H. Acesta este un functor covariant din categoria grupurilor în sine. Dacă asociem cu H grupul Hom (H, G), obținem în schimb un functor contravariant.

Proprietate

Având în vedere o categorie C și morfismul său f în Hom (A, B) , se spune:

• secțiune dacă există un morfism r în Hom (B, A) astfel încât r • f este morfismul identitar pe A
• retragere dacă există un morfism s în Hom (B, A) astfel încât f • s este morfismul identitar pe B.

Din definiție rezultă cu ușurință că fiecare functor păstrează secțiuni și retracții și, în special, izomorfisme.

În general, un functor nu reflectă izomorfisme. Mai precis, având în vedere un functor F de la categoria C la categoria D , dacă F ( f ): F ( X ) → F ( Y ) este un izomorfism de categoria D , morfismul f de categoria C nu este neapărat un izomorfism. Să luăm în considerare, de exemplu, funcționorul uitat U de la categoria spațiilor topologice la categoria mulțimilor: fiecare funcție continuă (morfismul primei categorii) care este bijectivă este trimisă în sine văzută ca o simplă funcție bijectivă a mulțimilor, care este de aceea un izomorfism în categoria mulțimilor; totuși, o funcție continuă bijectivă nu este în general un homeomorfism (izomorfism în categoria spațiilor topologice).

Un functor care reflectă izomorfisme se numește conservator . Un exemplu este dat de uitarea functorului din categoria grupurilor la categoria seturilor.

Notă

Bibliografie

• ( EN ) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Categorii abstracte și concrete , John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
• ( EN ) Nathan Jacobson , Algebra de bază , vol. 2, 2, Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47187-7 .
• ( EN ) Saunders Mac Lane , Categorii pentru matematicianul de lucru , Springer-Verlag: New York, 1971, ISBN 978-3-540-90035-1 .

linkuri externe

• ( EN ) Functor (matematică) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică