Funcția Riemann Xi

Funcţie

\xi (s)

{\ displaystyle \ xi (s)}

{\ displaystyle \ xi (s)}

lui Riemann în planul complex . Culoarea unui punct

s

{\ displaystyle s}

s

codifică valoarea funcției. Culorile mai închise indică valori mai apropiate de zero și nuanța codifică argumentul valorii.

În matematică , funcția Riemann Xi (Ξ) este o funcție definită în așa fel încât să aibă o ecuație funcțională deosebit de simplă. Este o variantă a funcției zeta Riemann .

Definiție

Functia $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ Originalul lui Riemann (minuscule xi ) a fost redenumit în funcția Ξ (capitalul xi) de către matematicianul german Edmund Landau .

Functia $~\xi ~$ ${\ displaystyle ~ \ xi ~}$ ${\ displaystyle ~ \ xi ~}$ a fost definit, de fapt, de Landau ca ^[1] :

\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)

{\ displaystyle \ xi (s) = {\ tfrac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} s \ dreapta) \ zeta (s)}

{\ displaystyle \ xi (s) = {\ tfrac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} s \ dreapta) \ zeta (s)}

pentru $s\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$ , cu $\zeta (s)$ ${\ displaystyle \ zeta (s)}$ $\ zeta (e)$ indicând funcția zeta Riemann și $\Gamma (s)$ ${\ displaystyle \ Gamma (s)}$ $\ Gamma (s)$ funcția Gamma .

Ecuația funcțională pentru $~\Xi ~$ ${\ displaystyle ~ \ Xi ~}$ ${\ displaystyle ~ \ Xi ~}$ din Landau este $\xi (1-s)=\xi (s)~.$ ${\ displaystyle \ xi (1-s) = \ xi (s) ~.}$ ${\ displaystyle \ xi (1-s) = \ xi (s) ~.}$

În schimb, funcția Riemann originală a fost redenumită de Landau ^[1] pentru a funcționa ${\textstyle ~\Xi ~}$ ${\ textstyle ~ \ Xi ~}$ ${\ textstyle ~ \ Xi ~}$ ca ${\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$ ${\ textstyle \ Xi (z) = \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + zi \ right),}$ ${\ textstyle \ Xi (z) = \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + zi \ right),}$ care se supune ecuației funcționale ${\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$ ${\ textstyle \ Xi (-z) = \ Xi (z) ~.}$ ${\ textstyle \ Xi (-z) = \ Xi (z) ~.}$

Rețineți că $~\Xi ~$ ${\ displaystyle ~ \ Xi ~}$ ${\ displaystyle ~ \ Xi ~}$ mai sus este într-adevăr funcția indicată inițial de Riemann cu litera mică $~\xi ~$ ${\ displaystyle ~ \ xi ~}$ ${\ displaystyle ~ \ xi ~}$ ^[1] . Ambele sunt funcții întregi și pur reale pentru argumente reale.

Valori

Forma generală pentru numerele întregi pozitive este

\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)

{\ displaystyle \ xi (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {(2n)!}} B_ {2n} 2 ^ {2n-1} \ pi ^ {n} (2n-1)}

{\ displaystyle \ xi (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {(2n)!}} B_ {2n} 2 ^ {2n-1} \ pi ^ {n} (2n-1)}

unde B _n indică al n-lea număr Bernoulli . Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ da ai ${\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}.}$ ${\ textstyle \ xi (2) = {\ frac {\ pi} {6}}.}$ ${\ textstyle \ xi (2) = {\ frac {\ pi} {6}}.}$

Reprezentări în serie

Functia $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ are următoarea expansiune a seriei

{\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln \ xi \ left ({\ frac {-z} {1-z}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n + 1} z ^ {n},}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln \ xi \ left ({\ frac {-z} {1-z}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n + 1} z ^ {n},}

unde este

\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],

{\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ left. {\ frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} \ left [s ^ {n-1} \ log \ xi (s) \ right] \ right | _ {s = 1} = \ sum _ {\ rho} \ left [1- \ left (1 - {\ frac {1} { \ rho}} \ right) ^ {n} \ right],}

{\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ left. {\ frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} \ left [s ^ {n-1} \ log \ xi (s) \ right] \ right | _ {s = 1} = \ sum _ {\ rho} \ left [1- \ left (1 - {\ frac {1} { \ rho}} \ right) ^ {n} \ right],}

iar însumarea este luată pe zerourile non-banale ρ ale funcției zeta, în număr de

|\Im (\rho )|.

{\ displaystyle | \ Im (\ rho) |.}

{\ displaystyle | \ Im (\ rho) |.}

Această expansiune joacă un rol deosebit de important în criteriul lui Li, conform căruia ipoteza Riemann este echivalentă cu a avea $\lambda _{n}>0,\forall n>0.$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}> 0, \ forall n> 0.}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}> 0, \ forall n> 0.}$

Produsul lui Hadamard

O expansiune simplă cu produs infinit este dată de:

\xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!

{\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right), \!}

{\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right), \!}

unde ρ variază peste rădăcinile lui ξ.

Pentru a asigura convergența în extindere, produsul trebuie luat pe „perechile potrivite” de zerouri: acei factori pentru o pereche de zerouri de formă $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $1-\rho$ ${\ displaystyle 1- \ rho}$ ${\ displaystyle 1- \ rho}$ prin urmare, acestea ar trebui grupate împreună.

Notă

^ ^a ^b ^c Landau .

Bibliografie

( DE ) Edmund Landau , Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen , III, New York, Chelsea, 1974 [1909] .
( EN ) JB Keiper, expansiuni din seria Power ale funcției $ \ xi $ a lui Riemann , în Matematica de calcul , LVIII, n. 198, 1 mai 1992, pp. 765–765, DOI : 10.1090 / S0025-5718-1992-1122072-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Landau-1] Landau .

[1]