Funcție aditivă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea aditivității în teoria măsurătorilor , consultați Aditivitatea Sigma .

În teoria numerelor , o funcție aditivă este o funcție aritmetică f ( n ) a întregului n astfel încât pentru fiecare a și b numere întregi coprimă avem:

Funcție complet aditivă

O funcție aditivă se numește complet aditiv dacă este adevărat pentru toate numerele întregi pozitive a și b , chiar dacă acestea nu sunt coprimă.

Fiecare funcție complet aditivă este aditivă, dar nu invers.

Exemple

Sunt funcții aritmetice complet aditive:

  • Funcția de logaritm considerată în N.
  • a 0 ( n ) - suma primilor care împart n . Avem 0 (20) = a 0 (2 2 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9. Unele valori: ( OEIS A001414 ).
a 0 (4) = 4
la 0 (27) = 9
a 0 (144) = a 0 (2 4 3 2 ) = a 0 (2 4 ) + a 0 (3 2 ) = 8 + 6 = 14
a 0 (2.000) = a 0 (2 4 5 3 ) = a 0 (2 4 ) + a 0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23
la 0 (2.001) = 55
la 0 (2.002) = 33
a 0 (2.003) = 2003
a 0 (54.032.858.972.279) = 1240658
a 0 (54.032.858.972.302) = 1780417
a 0 (20.802.650.704.327.415) = 1240681
...
  • a 1 ( n ) - suma primei diviziuni distincte n . Avem: a 1 (1) = 0, a 1 (20) = 2 + 5 = 7. Câteva valori suplimentare: ( OEIS A008472 )
a 1 (4) = 2
a 1 (27) = 3
a 1 (144) = a 1 (2 4 3 2 ) = a 1 (2 4 ) + a 1 (3 2 ) = 2 + 3 = 5
a 1 (2.000) = a 1 (2 4 5 3 ) = a 1 (2 4 ) + a 1 (5 3 ) = 2 + 5 = 7
a 1 (2.001) = 55
a 1 (2.002) = 33
a 1 (2.003) = 2003
a 1 (54.032.858.972.279) = 1238665
a 1 (54.032.858.972.302) = 1780410
a 1 (20.802.650.704.327.415) = 1238677
...
  • Funcția Ω (n), definită ca numărul total de factori mai întâi de n, numărând fiecare factor în multiplicitatea sa. Aceasta implică Ω (1) = 0 deoarece 1 nu are factori primi. Alte valori: ( OEIS A001222 [ conexiune întreruptă ] )
Ω (4) = 2
Ω (27) = 3
Ω (144) = Ω (2 4 3 2 ) = Ω (2 4 ) + Ω (3 2 ) = 4 + 2 = 6
Ω (2.000) = Ω (2 4 5 3 ) = Ω (2 4 ) + Ω (5 3 ) = 4 + 3 = 7
Ω (2.001) = 3
Ω (2.002) = 4
Ω (2.003) = 1
Ω (54.032.858.972.279) = 3
Ω (54.032.858.972.302) = 6
Ω (20.802.650.704.327.415) = 7
...
  • ω ( n ), definit ca numărul total de factori primi distincti ai lui n . Acesta este un exemplu de funcție aditivă care nu este complet aditivă. Unele valori (comparați cu Ω ( n )) ( OEIS A001221 ):
ω (4) = 1
ω (27) = 1
ω (144) = ω (2 4 3 2 ) = ω (2 4 ) + ω (3 2 ) = 1 + 1 = 2
ω (2.000) = ω (2 4 5 3 ) = ω (2 4 ) + ω (5 3 ) = 1 + 1 = 2
ω (2.001) = 3
ω (2.002) = 4
ω (2.003) = 1
ω (54.032.858.972.279) = 3
ω (54.032.858.972.302) = 5
ω (20.802.650.704.327.415) = 5
...

Funcții aditive și funcții multiplicative

Din orice funcție aditivă puteți crea cu ușurință o funcție multiplicativă , adică cu proprietatea pe care pentru fiecare a și b coprimă avem:

Un exemplu este

Funcții aditive în alte domenii ale matematicii

În afara teoriei numerelor, o funcție aditivă este definită ca o funcție care păstrează operația de adăugare:

pentru fiecare element x și y al domeniului . Ecuația funcțională anterioară este cunoscută sub numele de ecuație Cauchy .

Bibliografie

  • Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Ring of arithmetic functions ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică