Funcția analitică

În matematică , o funcție analitică este o funcție exprimată local printr-o serie de puteri convergente. Adesea termenul „funcție analitică” este folosit ca sinonim pentru funcția holomorfă , deși aceasta din urmă este folosită mai des pentru funcții complexe (toate funcțiile holomorfe sunt funcții analitice complexe și invers). ^[1] O funcție este analitică dacă și numai dacă, totuși, luând un punct aparținând domeniului funcției, există un vecinătate în care funcția coincide cu dezvoltarea sa în seria Taylor .

Funcțiile analitice pot fi văzute ca o punte între polinoame și funcții generice. Există funcții analitice reale și funcții analitice complexe : similare în unele privințe, diferite în altele. Funcțiile de acest tip sunt infinit diferențiate, dar funcțiile analitice complexe prezintă proprietăți care, în general, nu aparțin funcțiilor analitice reale.

Definiție

O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este analitică pe un set deschis $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ a liniei reale dacă pentru fiecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ poti sa scrii $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ca: ^[2]

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (x-x_ {0} \ right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1 } (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + a_ {3} (x-x_ {0}) ^ {3} + \ cdots}

f (x) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (x-x_ {0} \ right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + a_ {3} (x-x_ {0}) ^ {3} + \ cdots

unde coeficienții $a_{0},a_{1},\cdots$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ cdots}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ cdots}$ sunt numere reale și seria converge într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Alternativ, o funcție analitică este o funcție infinit diferențiată, adică o funcție lină , astfel încât seria sa Taylor

T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}

{\ displaystyle T (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0 }) ^ {n}}

T (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infin} \ frac {f ^ {(n)} (x_0)} {n!} (X-x_0) ^ {n}

în fiecare moment $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparținând domeniului, converge către $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Ansamblul tuturor funcțiilor analitice reale aparținând unui set dat $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este de obicei notat ca $C^{\omega }(D)$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega} (D)}$ $C ^ \ omega (D)$ .

O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit în unele subseturi ale liniei reale, se spune că este analitic real la obiect $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă există un cartier $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ in care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este real analitic.

Definiția unei funcții analitice complexe se obține prin înlocuirea „real” cu „complex” peste tot.

Proprietățile funcțiilor analitice

Printre principalele proprietăți care caracterizează funcțiile analitice sunt următoarele:

Suma, produsul și compoziția funcțiilor analitice sunt analitice.
Reciprocitatea unei funcții analitice care nu se anulează niciodată este analitică, la fel și inversul unei funcții analitice inversabile a cărei derivată nu este niciodată nulă.
Toate polinoamele sunt funcții analitice. Pentru un polinom, expansiunea seriei de putere conține doar un număr finit de termeni diferiți de zero.
Toate funcțiile analitice sunt netede .

Un polinom nu poate fi zero în prea multe puncte decât dacă este polinomul nul (mai exact, numărul de zerouri este cel mult egal cu gradul polinomului). O afirmație similară, dar mai slabă, este valabilă pentru funcțiile analitice. Dacă mulțimea de zerouri a unei funcții analitice $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci are un punct de acumulare în domeniul său $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este nul pe întreaga componentă conectată a domeniului care conține punctul de acumulare.

Mai formal, această afirmație poate fi exprimată în modul următor. De sine $(r_{n})$ ${\ displaystyle (r_ {n})}$ $(r_n)$ Este o succesiune de numere distincte astfel încât $f(r_{n})=0$ ${\ displaystyle f (r_ {n}) = 0}$ $f (r_n) = 0$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar această succesiune converge într-un punct $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în domeniu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este identic zero în componenta conectată a $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ conținând $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Mai mult, dacă toate derivatele unei funcții analitice sunt zero la un moment dat, concluzia de mai sus se menține.

Aceste afirmații implică faptul că funcțiile analitice sunt încă destul de rigide, în ciuda numărului lor mai mare de grade de libertate decât polinoamele.

Analiticitate și derivabilitate

Același subiect în detaliu: funcția holomorfă .

Toate funcțiile analitice (reale sau complexe) într-un singur punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Ele sunt infinit diferențiate în $|x-x_{0}|<R$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} | <R}$ $| x-x_0 | <R$ , unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este raza de convergență a seriei. Mai mult, se arată că în aceeași regiune derivata funcției coincide cu seria derivatelor ( seria derivată ), adică dacă:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}(x-x_{0})^{k}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {k} (x-x_ {0}) ^ {k}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {k} (x-x_ {0}) ^ {k}}}

asa de:

f^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{ka_{k}(x-x_{0})^{k-1}}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {ka_ {k} (x-x_ {0}) ^ {k-1}}}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {ka_ {k} (x-x_ {0}) ^ {k-1}}}

În mod similar, fiind limita uniformă a unei succesiuni de funcții continue (polinoame), fiecare funcție analitică este continuă (și deci integrabilă) pe întregul său set de convergență, iar primitivul său este seria primitivă . Cu alte cuvinte, dacă:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}x^{k}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {k} x ^ {k}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {k} x ^ {k}}}

avem:

\int f(x)dx=\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}}

{\ displaystyle \ int f (x) dx = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{\ frac {a_ {k}} {k + 1}} x ^ {k + 1}}}

{\ displaystyle \ int f (x) dx = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{\ frac {a_ {k}} {k + 1}} x ^ {k + 1}}}

Nu toate funcțiile reale netede sunt analitice; de exemplu funcția definită ca:

f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x\leq 0\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ exp (-1 / x) & {\ text {se}} x> 0 \\ 0 & {\ text {se}} x \ leq 0 \ end {cazuri}}}

f (x) = \ begin {cases} \ exp (-1 / x) & \ text {se} x> 0 \\ 0 & \ text {se} x \ le0 \ end {cases}

este netedă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ dar nu este analitic în 0. Acest lucru poate fi exprimat prin implicația (non-inversabilă):

f\in C^{\omega }(E)\Rightarrow f\in C^{\infty }(E)\quad {\text{se }}f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}

{\ displaystyle f \ in C ^ {\ omega} (E) \ Rightarrow f \ in C ^ {\ infty} (E) \ quad {\ text {se}} f: E \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f \ in C ^ {\ omega} (E) \ Rightarrow f \ in C ^ {\ infty} (E) \ quad {\ text {se}} f: E \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

.

Situația este foarte diferită în cazul funcțiilor analitice complexe. Se poate arăta că toate funcțiile holomorfe pe un set deschis sunt analitice. În consecință, în analiza complexă , termenul „funcție analitică” este un sinonim pentru funcția holomorfă .

Stare suficientă

Dacă o funcție reală de variabilă reală netedă definită pe un set deschis are toate derivatele care pot fi mărite cu termenii unei secvențe geometrice (cu rațiune fixă) pe o vecinătate a unui punct dat, atunci funcția este analitică în acea vecinătate . În mod formal, fie el $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f: (a, b) \ to \ mathbb {R}$ și apartenența la $C^{\infty }(a,b)$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (a, b)}$ $C ^ {\ infty} (a, b)$ și fie $x_{0}\in (a,b)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_0 \ in (a, b)$ . Dacă există $\Lambda ,M,\delta >0$ ${\ displaystyle \ Lambda, M, \ delta> 0}$ $\ Lambda, M, \ delta> 0$ astfel încât:

\left|f^{(k)}(x)\right|\leq \Lambda M^{k}\qquad \forall k\geq 0\quad \forall x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )

{\ displaystyle \ left | f ^ {(k)} (x) \ right | \ leq \ Lambda M ^ {k} \ qquad \ forall k \ geq 0 \ quad \ forall x \ in (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)}

\ left | f ^ {(k)} (x) \ right | \ le \ Lambda M ^ {k} \ qquad \ forall k \ ge 0 \ quad \ forall x \ in (x_0 - \ delta, x_0 + \ delta)

asa de:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}\qquad \forall x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} {k!}} (x-x_ {0 }) ^ {k} \ qquad \ forall x \ in (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)}

f (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(k)} (x_0)} {k!} (x - x_0) ^ {k} \ qquad \ forall x \ în (x_0 - \ delta, x_0 + \ delta)

În special, dacă o funcție are toate derivatele mărginite de aceeași constantă $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ pe un interval, atunci este analitic acolo (este suficient să punem $M=1$ ${\ displaystyle M = 1}$ $M = 1$ în propoziția anterioară). Aceasta arată că funcții precum sinus , cosinus , exponențial ^[3] , funcții hiperbolice pot fi exprimate în termeni de serie de puteri pe întreaga axă reală:

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

{\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots}

e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}

\ sin x = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Cdots}

\ cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ frac {x ^ 6} {6!} + \ cdots

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

{\ displaystyle \ sinh x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}

\ sinh x = x + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots

\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

{\ displaystyle \ cosh x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Cdots}

\ cosh x = 1 + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ frac {x ^ 6} {6!} + \ cdots

Demonstrație

Întrucât funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este netedă, este posibil să scrieți formula lui Taylor arestată la comandă $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n - 1$ (odihnește conform Lagrange):

f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-x_{0})^{n}\quad \xi \in (x_{0}-x,x_{0}+x)

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} {k!}} (x-x_ { 0}) ^ {k} + {\ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}} (X-x_ {0}) ^ {n} \ quad \ xi \ in (x_ { 0} -x, x_ {0} + x)}

f (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ frac {f ^ {(k)} (x_0)} {k!} (x - x_0) ^ {k} + \ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!} (x - x_0) ^ {n} \ quad \ xi \ in (x_0 - x, x_0 + x)

De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se mișcă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de rază $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ creșterea (în valoare absolută) garantată de ipoteză poate fi utilizată:

\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}\right|=\left|{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right|\leq {\frac {\Lambda M^{n}}{n!}}\delta ^{n}=\Lambda {\frac {(M\delta )^{n}}{n!}}{\underset {n\longrightarrow +\infty }{\longrightarrow }}0

{\ displaystyle \ left | f (x) - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} {k!}} (x -x_ {0}) ^ {k} \ right | = \ left | {\ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} \ right | \ leq {\ frac {\ Lambda M ^ {n}} {n!}} \ delta ^ {n} = \ Lambda {\ frac {(M \ delta) ^ {n}} {n!}} {\ underset {n \ longrightarrow + \ infty} {\ longrightarrow}} 0}

\ left | f (x) - \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ frac {f ^ {(k)} (x_0)} {k!} (x - x_0) ^ {k} \ right | = \ left | \ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!} (x - x_0) ^ {n} \ right | \ le \ frac {\ Lambda M ^ {n}} {n!} \ delta ^ {n} = \ Lambda \ frac {(M \ delta) ^ {n}} {n!} \ underset {n \ longrightarrow + \ infty} {\ longrightarrow} 0

adică seria converge în sens punctual către $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe interval $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)}$ $(x_0 - \ delta, x_0 + \ delta)$ , QED

Funcții analitice reale și complexe

Funcțiile analitice reale și complexe au diferențe importante, după cum se poate observa din relația lor diferită cu diferențialitatea. Funcțiile analitice complexe sunt mai rigide din mai multe puncte de vedere.

Conform teoremei lui Liouville , orice funcție analitică complexă mărginită definită pe întregul plan complex este constantă. Această afirmație este în mod clar falsă pentru o funcție analitică reală, așa cum se vede din

f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}

f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 1}

De asemenea, dacă o funcție analitică complexă este definită într-o bilă deschisă în jurul unui punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , seria sa de expansiune în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este convergent în toată mingea. Acest lucru nu este în general adevărat pentru funcțiile analitice reale. O bilă deschisă în planul complex este un disc bidimensional, în timp ce pe linia reală este un interval .

Orice funcție analitică reală pe un anumit set deschis al liniei reale poate fi extinsă la o funcție analitică complexă pe un anumit set deschis al planului complex. Cu toate acestea, nu toate funcțiile analitice reale definite pe întreaga linie reală pot fi extinse la o funcție complexă definită pe întregul plan complex. Functia $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ definit în paragraful anterior este un contraexemplu.

Funcții analitice în mai multe variabile

Puteți defini funcții analitice în mai multe variabile prin seria de putere din aceste variabile. Funcțiile analitice multi-variabile au unele dintre proprietățile funcțiilor analitice cu o singură variabilă. Cu toate acestea, mai ales în cazul funcțiilor analitice complexe, fenomene noi și interesante se găsesc în dimensiuni multiple.

Notă

^ Funcții analitice ale unei variabile complexe , Enciclopedia Matematicii. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)
^ (EN) Eric W. Weisstein, Funcție analitică , în MathWorld , Wolfram Research.
^ Derivatele funcției $f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ x$ nu sunt limitate în jur $x=+\infty$ ${\ displaystyle x = + \ infty}$ $x = + \ infty$ , dar sunt peste orice interval limitat de mai sus; asa de, $e^{x}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ $și ^ x$ este dezvoltabil în $[-a,a]$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ $[-a, a]$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ real și, în consecință, este real pe întreaga axă reală.

Bibliografie

Giulio Vivanti Teoria funcțiilor analitice (Milano, U. Hoepli, 1901)
( EN ) J. Harkness și F. Morley Introducere în teoria funcțiilor analitice (GEStechert & Co., 1898)
( EN ) J. Pierpont Funcțiile unei variabile complexe (Ginn & co. 1914) (capitolul 7)
( EN ) HF Burkhardt Teoria funcțiilor unei variabile complexe (DC Heath, Boston, 1913)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA Gonchar, BV Shabat, Funcția analitică , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21158 · LCCN (EN) sh85004784 · BNF (FR) cb119507313 (data) · NDL (EN, JA) 00.564.621

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Funcții analitice ale unei variabile complexe , Enciclopedia Matematicii. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)

[2] (EN) Eric W. Weisstein, Funcție analitică , în MathWorld , Wolfram Research.

[3] Derivatele funcției $f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ x$ nu sunt limitate în jur $x=+\infty$ ${\ displaystyle x = + \ infty}$ $x = + \ infty$ , dar sunt peste orice interval limitat de mai sus; asa de, $e^{x}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ $și ^ x$ este dezvoltabil în $[-a,a]$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ $[-a, a]$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ real și, în consecință, este real pe întreaga axă reală.

[1]

[2]

[3]