Funcție închisă
În topologie , o funcție este închisă dacă imaginea fiecărui închis este una închisă. Mai formal, o funcție f: X → Y între spațiile topologice este închisă dacă pentru fiecare F închis al lui X imaginea sa f (F) este închisă în Y. [1]
Proprietate
Definiția unei funcții închise este legată de cea a unei funcții deschise (= imaginea fiecărui deschis este una deschisă). Cele două definiții nu coincid.
În majoritatea cazurilor este necesar să se demonstreze că o funcție este închisă pentru a verifica dacă este un homeomorfism . De fapt, un f: X → Y între spațiile topologice este un homeomorfism dacă și numai dacă sunt valabile următoarele ipoteze:
De fapt, dacă f este unu-la-unu, inversul său este continuu dacă și numai dacă f este deschis. Mai mult, întotdeauna dacă f este biunică, o funcție este deschisă dacă și numai dacă este închisă.
De multe ori este mai ușor să demonstrezi că o funcție este închisă decât este deschisă, datorită următorului fapt:
- O funcție continuă de la un spațiu compact la un spațiu Hausdorff este închisă.
Nu există o teoremă analogă pentru funcțiile deschise.
Exemple
Parabola f : R → R dată de f (x) = x 2 este o funcție închisă. Arctangentul f (x) = arctan ( x ) nu este închis.
Proiecția planului euclidian pe una dintre cele două axe nu este închisă. De fapt, o ramură a hiperbolei este un sub spațiu închis al planului, care este proiectat pe o jumătate de linie deschisă x > 0.
Mai general, proiecțiile unui produs al spațiilor topologice nu sunt neapărat închise. Cu toate acestea, dacă Y este un spațiu compact, proiecția X × Y → X este închisă. Acest rezultat rezultă din așa-numita lemă tubulară .
Notă
- ^ M. Manetti , p. 45 .
Bibliografie
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .