Funcție continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Funcția în roșu este continuă, cea în albastru nu

În matematică , o funcție continuă este o funcție care, intuitiv, se potrivește în mod arbitrar cu elemente apropiate ale intervalului cu elemente suficient de apropiate ale domeniului.

Există definiții diferite ale continuității, corespunzătoare contextelor matematice în care sunt utilizate: continuitatea unei funcții este unul dintre conceptele de bază ale topologiei și analizei matematice . Continuitatea unei funcții poate fi definită și local: în acest caz vorbim de continuitate într-un punct al domeniului. O funcție continuă este, prin definiție, continuă în fiecare punct al domeniului său. O funcție care nu este continuă se numește discontinuă , iar punctele din domeniul în care nu este continuă se numesc puncte de discontinuitate .

De exemplu, funcția descrierea înălțimii unui bărbat față de vârsta sa poate fi văzută ca o funcție continuă: în perioade scurte omul crește puțin. Dimpotrivă, funcția reprezentarea sumei de bani într-un cont curent de-a lungul timpului este o funcție discontinuă, deoarece retragerile și depunerile îi determină să sară de la o valoare la alta.

Definiții

Continuitatea unei funcții este un concept topologic și, prin urmare, definiția generală a unei funcții continue se dezvoltă cu funcții între spații topologice. Cu toate acestea, același concept este utilizat în zone mai puțin generale, în special în ceea ce privește utilizarea sa în analiza matematică : definiția continuității este adesea prezentată numai pentru funcții între spații metrice sau, din nou, numai pentru funcții ale unei variabile reale.

Funcții reale

Graficul funcției are un salt în x 0 : funcția nu este continuă

În cazul funcțiilor unei variabile reale, continuitatea este adesea prezentată ca o proprietate a graficului: funcția este continuă dacă graficul său este format dintr-o singură curbă care nu face niciodată salturi. Deși această noțiune poate fi utilizată în cazuri mai simple pentru a distinge funcțiile continue de funcțiile discontinue, nu este formal corectă și poate duce la ambiguitate sau erori.

Definiție în termeni de limită a unei funcții

O functie este definit ca continuu la punct a domeniului său dacă limita sa pentru tinde să coincide cu evaluarea funcției în , asta este cu . În simboluri: [1]

Această definiție este folosită mai ales pentru funcții definite pe un interval al liniei reale: de fapt, are sens doar dacă este un punct de acumulare pentru domeniul . Cu toate acestea, poate fi extins și în cazul domeniilor mai complicate, care includ puncte izolate: în ele, rezultă continuu pentru un „adevăr gol” (din engleza vacuous adevăr ).

Se spune că funcția este continuă dacă este continuă în orice punct a domeniului.

Definiția epsilon-delta

Studiind funcția din punct , și alegerea , doar alege pentru a face toate imaginile punctelor din distins pentru mai puțin de din

O functie definit pe un subset se spune că numerele reale cu valori reale sunt continue la un moment dat dacă pentru orice număr , în mod arbitrar mic, există un al doilea număr astfel încât, , functia este departe de pentru mai puțin de , adică: [1]

În limbajul simbolic, o funcție este continuă la un moment dat de sine:

Dacă această proprietate este valabilă pentru orice punct din domeniul definiției funcției, atunci funcția se spune că este continuă. În acest caz se spune că , care este setul continuu de funcții reale și variabile în .

Mai intuitiv, dacă doriți această funcție disti de o mică valoare din trebuie doar să ne restrângem la un cartier destul de mic . Dacă acest lucru este posibil, indiferent de distanța aleasă (cu excepția cazului în care se restrânge în continuare vecinătatea ), atunci funcția este continuă în .

Această definiție este echivalentă cu cea dată anterior: este construită din prima pur și simplu făcând explicită definiția limitei unei funcții. A fost folosit pentru prima dată de Cauchy . [2]

Funcții între spațiile topologice

f este continuu la un punct xX dacă (și numai dacă) pentru fiecare vecinătate V a lui f ( x ) există o vecinătate U a x astfel încât f ( U ) ⊆ V. Intuitiv, oricât de mic este V , există întotdeauna un U care conține x care este mapat la V.

Definiția continuității dată în cazul funcțiilor reale poate fi generalizată în contexte mai largi, precum cel al spațiilor topologice .

Să existe două spații topologice , și fie o aplicatie. Atunci:

se spune continuă în de sine în jurul or în jurul or astfel încât ;

se spune continuă dacă deschide în este un set deschis în .

Observăm că alte definiții echivalente ale funcției continue sunt:

  • este continuu în fiecare punct ;
  • este deschis în cu o bază a topologiei ;
  • este deschis în cu o pre-bază a topologiei ;
  • închis în este închis în ;
  • cu închiderea unui subset;
  • cu închiderea unui subset.

Definiția continuității este strict legată de topologia aleasă în domeniu și în gamă: funcțiile continue cu unele opțiuni de topologie s-ar putea să nu fie așa cu altele. De exemplu, funcția de identitate este continuă dacă spațiul de sosire are aceeași topologie ca spațiul de pornire sau dacă are unul mai puțin fin , adică cu mai puține spații deschise. Dacă, pe de altă parte, spațiul de sosire are o topologie mai fină, cu altele mai deschise, funcția de identitate nu este continuă.

Funcții între spații metrice

Spațiile metrice sunt spații topologice în care topologia este generată de o bază de vecinătăți circulare. [3] Ambele o funcție între două spații metrice Și . Se spune că funcția f este continuă la un moment dat dacă, pentru fiecare alegere de , este un , astfel încât, pentru fiecare punct care este mai mic de din , sau asta:

avem asta este pentru mai puțin de din , adică: [4]

Definiția poate fi scrisă folosind noțiunea de vecinătate sferică centrat în , de rază : în acest caz, funcția este continuă dacă presupune că sau, simbolic:

unde este este setul de definiții al . [4]

În cazul funcțiilor reale, definițiile coincid dacă cele două distanțe pe domeniu și interval nu sunt altceva decât modulul diferenței dintre două valori în .

Mai mult, această definiție este valabilă pentru funcțiile definite și evaluate în toate spațiile vectoriale normate , unde distanța este norma diferenței dintre două puncte. În special, este valabil în cu norma euclidiană și, prin urmare, extinde definiția continuității la funcțiile mai multor variabile.

Exemple

O funcție cubică, exprimată printr-un polinom de gradul trei, este o funcție continuă.

Exemple de funcții continue sunt:

  • Funcțiile constante .
  • Funcția de identitate dintr-un spațiu topologic în același spațiu , unde este este aceeași topologie ca domeniul sau o topologie mai puțin fină .
  • Funcții care se leagă de o pereche de numere suma , produsul sau relația sunt continue în definiția lor setată în .
  • Transformări liniare între spațiile euclidiene
  • Funcții exprimate prin polinoame , cum ar fi de exemplu .
  • Funcțiile raționale , în toate punctele în care sunt definite, sau în toate punctele în care numitorul nu este anulat.
  • Funcția exponențială și logaritmul natural în seturile lor definitorii , adică Și .
  • Funcțiile sinus și cosinus , adică Și .
  • Funcția de valoare absolută este continuu (dar nu derivabil în ).
  • Funcția Cantor și curba Koch sunt exemple de funcții continue cu structură fractală .
  • Curba Peano : o curbă plană care acoperă întregul pătrat.
Funcția Heaviside are o discontinuitate în 0.

Exemple de funcții non- continue sunt:

Proprietățile funcțiilor continue

Este o funcție continuă cu valoare reală definită pe un interval . Merită:

  • Permanența semnului : Dacă într-un punct a domeniului său , apoi există un cartier astfel încât în toate punctele din jur.
  • Teorema valorii intermediare : dacă Și sunt două puncte de stăpânire, atunci își asumă toate valorile între Și .
  • Teorema Bolzano : dacă Și sunt două puncte ale domeniului astfel încât (adică dacă Și au un semn diferit), atunci există cel puțin unul astfel încât
  • Teorema Weierstrass : dacă intervalul este închis și limitat, adică dacă , asa de admite maxim și minim, adică există două puncte Și astfel încât pentru fiecare .

De sine este o funcție continuă bijectivă cu valoare reală definită pe un interval, atunci este strict monotonă și funcția inversă este continuu și strict monoton. Implicația nu se aplică în general funcțiilor al căror domeniu nu este un interval . [5]

Este o funcție între spațiile metrice. Merită:

  • Teorema Weierstrass : dacă atunci este un întreg compact presupune maxim și minim în . În special, ele există astfel încât pentru fiecare .
  • De sine este bidirecțional e atunci este compact și continuă.
  • Heine - Teorema Cantor : dacă atunci este compact este uniform continuu .
  • De sine , asa de este continuu dacă și numai dacă fiecare funcție este continuă . Prin urmare, acest rezultat este valabil pentru funcții . [5]

Este o funcție continuă între spațiile topologice. Merită:

Compoziţie

Compoziția funcțiilor continue este o funcție continuă, adică dacă Și sunt două funcții continue, apoi și:

este o funcție continuă.

Ca o consecință a acestei proprietăți avem următoarele:

  • Suma a două funcții continue este o funcție continuă.
  • Produsul a două funcții continue este o funcție continuă.
  • Coeficientul a două funcții continue este o funcție continuă (în setul definitoriu, adică unde este diferit de 0).

În general, inversul nu este adevărat: de exemplu, dacă o funcție continuă este suma a două funcții, nu este sigur că ambele adunări sunt ele însele funcții continue. [5] De exemplu dacă

asa de Și nu sunt continue, dar

amândoi sunt continuați în toate . În mod similar, dacă

asa de Și nu sunt continue, dar

este continuu pe toate .

Succesiuni

Animația arată o secvență de funcții continue care indică o funcție discontinuă

Având în vedere o succesiune de funcții continue astfel încât limita:

există finit pentru fiecare (convergență punctuală), atunci nu este neapărat adevărat că este o funcție continuă. Cu toate acestea, dacă secvența converge uniform , atunci punctul limită este continuu. [6]

Derivarea și integrarea

O funcție diferențiată (sau mai general o funcție diferențiată ) la un moment dat este întotdeauna continuu în acel moment. Reversul nu este adevărat: există funcții continue nedirectabile, cum ar fi funcția de valoare absolută , care este continuă, dar nu derivabilă în același punct. Există, de asemenea, funcții variabile reale care sunt continue în toate punctele domeniului și nu se pot diferenția în niciunul dintre ele, cum ar fi funcția Weierstrass .

O funcție continuă este întotdeauna integrabilă după Riemann (și deci și după Lebesgue ). În plus, admite întotdeauna primitive și fiecare dintre primitive este continuă. În schimb, nu toate funcțiile integrabile sunt continue: de exemplu, toate funcțiile constante în bucăți sunt integrabile. [7]

Alte tipuri de continuitate

Continuitate prin succesiuni

O functie la valori reale este continuu pentru secvențe în dacă, pentru fiecare succesiune la valorile din domeniul funcției și convergente la , succesiunea converge la .

Această formulare a continuității se datorează lui Eduard Heine .

O funcție continuă este întotdeauna continuă pentru secvențe, în timp ce, dimpotrivă, este posibil să se dea exemple de funcții continue pentru secvențe, dar nu continuă. Reversul este adevărat numai dacă domeniul este un spațiu secvențial , la fel ca spațiile prime-numărabile [8] și, prin urmare, în special spațiile metrice : în acest caz, prin urmare, cele două definiții pot fi considerate echivalente. [9]

Continuitate stânga și dreapta

O funcție continuă spre dreapta

O funcție reală se spune continuă chiar în de sine:

unde limita este destinată doar drept limită potrivită .

O functie se spune continuă stânga în de sine:

O funcție este continuă într-un punct dacă și numai dacă este continuă la stânga și la dreapta acolo.

Aceste proprietăți nu pot fi extinse la funcții cu mai multe variabile, ca în plan, în spațiu și, în general, în cand nu există o relație de ordine , adică nu este posibil să se definească o „dreapta” sau o „stânga”.

Semi-continuitate

O funcție semicontinuă de mai jos: la punctul de salt, este situat în partea de jos
Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Funcția semi-continuă .

O functie definit pe un spațiu topologic la valorile reale se spune semicontinuu inferior în dacă pentru fiecare există un cartier din astfel încât pentru fiecare , avem:

Dacă, pe de altă parte, este adevărat, pentru fiecare :

funcția se numește semicontinuă în partea de sus în .

Dacă prima (sau respectiv a doua) proprietate deține în fiecare punct al domeniului, funcția se spune că este semicontinuă dedesubt (sau respectiv semicontinuă deasupra).

Semicontinuitatea (atât inferioară, cât și superioară), este o proprietate mai slabă a continuității: există funcții semi-continue, dar nu continue. În schimb, o funcție este continuă dacă și numai dacă este atât semicontinuă dedesubt, cât și semicontinuă deasupra.

Continuitate separată

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Continuitate separată .

În cazul funcțiilor mai multor variabile, este posibil să se definească o condiție mai slabă de continuitate, numită continuitate separată : o funcție este continuu separat la un moment dat în ceea ce privește una dintre variabile dacă funcția unei variabile dependente doar de parametru este continuă , lăsând variabilele rămase fixate la valoarea asumată la punctul în cauză.

Continuitate uniformă

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Continuitate uniformă .

O condiție de continuitate mai puternică (și mai globală) este cea a continuității uniforme : se spune că o funcție continuă între două spații metrice este uniformă continuă dacă parametrul a definiției nu depinde de punct considerat, adică dacă este posibil să alegeți un care satisface definiția pentru toate punctele domeniului.

Mai exact, o funcție este uniform continuu dacă, pentru fiecare este un astfel încât, totuși, am luat două puncte Și în domeniul care sunt pentru mai puțin de , apoi imaginile lor Și sunt plecați mai puțin de . [5]

Echicontinuitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: echicontinuitate .

Când elementele unui set de funcții continue au același modul de continuitate , vorbim despre un set echicontinuu . Mai exact, Siano Și două spații metrice și o familie de funcții definită de în . Familia este echicontinuu la punctul respectiv dacă pentru fiecare există astfel încât pentru toți și pentru fiecare astfel încât . Familia este echicontinuu (în total ) dacă este echicontinuă în fiecare dintre punctele sale. Familia este uniform echicontinuu dacă pentru fiecare există astfel încât pentru toți iar pentru fiecare pereche de puncte Și în astfel încât .

Mai general, când este un spațiu topologic , un întreg de funcții din în este echicontinuu la punctul respectiv dacă pentru fiecare ideea deține un cartier astfel încât:

Se știe că această definiție este utilizată în contextul spațiilor vectoriale topologice .

Spațiul funcțiilor continue

Setul tuturor funcțiilor continue pe un domeniu fix și valori reale:

poate fi prevăzut cu o structură spațială vectorială prin setarea pentru Și într-un astfel de set:

si pentru numar real:

Vectorul spațiul astfel definit se numește spațiul funcțiilor continue pe .

Dacă domeniul este compact (și, prin urmare, pentru toate funcțiile din Teorema lui Weierstrass se menține) în spațiu o normă poate fi definită prin setarea:

detta norma uniforme o norma del sup .

La coppia costituita dallo spazio e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach .

Note

  1. ^ a b Apostol, TM , pp. 130-131 .
  2. ^ Judith V. Grabiner, Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus ( PDF ) [ collegamento interrotto ] , in The American Mathematical Monthly , vol. 90, n. 3, marzo 1983, pp. 185–194, DOI : 10.2307/2975545 , JSTOR 2975545 .
  3. ^ Manetti, Marco , p. 50 .
  4. ^ a b Soardi, PM , pp. 175-177 .
  5. ^ a b c d e Soardi, PM , cap. 7 .
  6. ^ Giusti E. , cap. 13 .
  7. ^ Soardi PM , p.204 e pp. 295-301 .
  8. ^ "primo-numerabile" è la traduzione letterale del termine first-countable usato in lingua inglese. Nella letteratura matematica recente lo si preferisce a termine base locale numerabile per evitare possibili confusioni con il secondo assioma di numerabilità. Si ricorda che uno spazio topologico soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.
  9. ^ Arkhangel'skii, AV , pp. 31-33 .

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 53874 · LCCN ( EN ) sh85052334 · BNF ( FR ) cb12123565q (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica