Funcția convexă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Convex .
O funcție convexă: luate două puncte pe grafic, segmentul care le unește este deasupra funcției

În matematică , o funcție o valoare reală definită pe un interval se spune că este convexă dacă segmentul care unește oricare două puncte ale graficului său este deasupra graficului în sine. De exemplu, funcția pătratică este funcții convexe și funcția exponențială .

Funcțiile convexe au o importanță considerabilă în multe domenii ale matematicii. De exemplu, acestea sunt importante în problemele de optimizare și sunt printre cele mai studiate în calculul variațiilor . În analiză și în teoria probabilității , sunt funcțiile pentru care deține inegalitatea lui Jensen .

Conceptul opus celui al unei funcții convexe este cel al unei funcții concavă , adică o funcție în care segmentul care leagă oricare două puncte de pe grafic se află sub graficul însuși. O functie este concav dacă este opus este o funcție convexă.

Definiție

Explicație grafică a convexității lui

O functie real-valoros, definit pe un interval (sau, mai general, pe un subset convex al unui spațiu vectorial real), se spune că este convex în domeniul său dacă:

[1]

Dacă egalitatea se menține doar în caz sau daca sau , atunci vorbim de o funcție strict convexă .

În cazul în care este o funcție a unei singure variabile, a spus , puteți utiliza scrisul echivalent:

De asemenea, se arată că dacă o funcție este convexă într-un interval deschis, atunci este continuu în . Funcția este, de asemenea, Lipschitz în fiecare interval închis conținut în și ale cărei extreme nu coincid cu cele extreme ale .

Convexitate în mai multe variabile

O funcție diferențiată este strict convex cu parametrul m > 0 dacă pentru fiecare pereche de puncte din domeniu avem: [2] :

De sine are derivate parțiale continue secundare , apoi este convex dacă și numai dacă matricea Hessian este semidefinit pozitiv în fiecare punct , și este strict convex dacă este pozitiv definit în fiecare punct .

Alte definiții

Epigraficul unei funcții convexe este un set convex

O functie în este convex:

crește în ambele variabile.
  • Doar dacă:
Acest fapt derivă direct din definiție prin plasare . Implicația inversă poate fi afirmată dacă este de asemenea continuu în , excluzând eventual extremele dacă este un interval sau dacă este delimitat mai sus în , sau dacă este măsurabilă în conform lui Lebesgue .
  • Dacă și numai dacă epigraficul de este un subset convex al planului, unde epigraficul unei funcții este mulțimea:

În unele articole, definiția funcției convexe se bazează pe acest criteriu, care totuși nu este echivalent cu definiția utilizată în mod obișnuit astăzi:

  • O funcție este convexă dacă și numai dacă are derivate stânga și dreapta definite pe , crescând, cu .
  • Dacă o funcție este diferențiată în atunci este convex dacă și numai dacă creste. În special, funcțiile de două ori diferențiate sunt convexe dacă și numai dacă .

Inegalitatea lui Jensen

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: inegalitatea lui Jensen .

Una dintre principalele teoreme privind funcțiile convexe este inegalitatea lui Jensen. Este un spațiu de măsurare , astfel încât . De sine este o funcție integrabilă din la valori reale, e este o funcție convexă pe imaginea , apoi: [3]

Notă

  1. ^ W. Rudin , pagina 60 .
  2. ^ p. 72, Convex Analysis and Optimization , de Dimitri Bertsekas, Athena Scientific, 2003
  3. ^ W. Rudin , pagina 61 .

Bibliografie

Elemente conexe

Controlul autorității Tezaur BNCF 19549 · LCCN (EN) sh85031728 · BNF (FR) cb12274506n (data) · NDL (EN, JA) 00.573.442
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică