funcţia monotonă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o funcție monotonă este o funcție care menține ordonarea seturi ordonate . Aceste funcții au fost definite pentru prima dată în analiză și au fost ulterior generalizate în mai abstract teoria ordine . Conceptele de monotonie în cele două discipline sunt, de fapt, la fel, chiar dacă terminologia este un pic diferit. În analiza de multe ori vorbim de creștere monotonă și scăderea funcțiilor monotone, teoria ordinelor în schimb preferă termenii monotone și antitone sau care păstrează ordinea (ordin de conservare) și că inversează ordinea (ordinea de inversare a).

Definiție generală

Este o funcție între două seturi Și , Ambele echipate cu o ordonare parțială , notată cu simbolul pentru ambele seturi. De obicei , în analiza se concentrează asupra funcțiilor între subseturi ale numerelor reale și relația comandă este relația ordinea obișnuită de numere reale, dar această poziție nu este necesară în sensul prezentei definiții.

Functia este monotonă dacă pentru toți , asa de . Cu alte cuvinte, o funcție monotonă păstrează ordinea de sortare.

Monotonie în analiza

Diagrama unei funcții monotone non-descreștere

În analiza matematică , este , de obicei , nu este necesar de a utiliza metode abstracte ale teoriei comenzii. După cum sa menționat, funcțiile obișnuite funcționează între subseturi ale numerelor reale , ordonate în funcție de ordinea naturală.

Luând un sfat de forma care are graficul unei funcții monotone pe real, o funcție care posedă proprietățile menționate mai sus , se mai numește și monotonă în creștere (sau nondecreasing monotone).

In mod similar, o funcție se numește monotonă descreștere (sau monotonă fără creștere) în cazul în care , pentru fiecare avem asta Aceasta este, în cazul în care se inverseze ordinea de sortare.

În cazul în care relația comandă în definiția monotonie este înlocuită cu relația unui ordin strict , Atunci este necesară o proprietate mai puternic. O funcție care are această proprietate se numește strict în creștere. Chiar și în acest caz, inversarea ordinii simbolului, puteți obține conceptul de scădere strict funcției. Funcțiile strict crescătoare sau descrescătoare sunt numite strict monotonă și injectiv (deoarece implica ) Și , prin urmare , reversibilă îngustarea codominio toate " imagine .

Termenii care nu sunt în scădere și nu în creștere evita orice confuzie posibilă cu strict crescătoare și strict descrescătoare, respectiv.

Unele aplicații fundamentale și rezultate

In analiza, fiecare dintre următoarele proprietăți ale unei funcții presupune următoarele:

  • este monoton;
  • El nu limitează dreapta și la stânga , la fiecare punct al său de domeniu ;
  • Ea poate avea numai discontinuități sari ;
  • Acesta poate avea doar o cantitate finită sau, cel mult, numărabilă de discontinuitate în domeniul său.

dovada parțială

Demonstrăm că a doua declarație presupune a treia.

Să fie intervalul l ' set de definire a funcției și fie un punct de discontinuitate a funcției. Am demonstrat acest lucru prin excludere trebuie să fie de primul tip.

Considera de exemplu monotonă non-descreștere (un discurs analog deține o funcție non-creștere). Având în vedere proprietatea anterioară, admite la stânga și la dreapta, în limita :

Și trebuie să fie, pentru monotonia, , Prin urmare, limitele trebuie să existe finit. Aceasta înseamnă că discontinuitatea nu poate fi de -al doilea tip.

Atâta timp cât este de discontinuitate nu poate fi , prin urmare, Și Ele nu sunt egale, care , de asemenea Exclude „eliminabili“ discontinuitate.

Prin excludere, apoi, în are o discontinuitate de primul tip.

Noi acum arata ca a treia comunicare presupune a patra.

Aceleași ipoteze se aplică ca și în proba anterioară, și așa să fie un alt punct de discontinuitate astfel încât, de exemplu, . Pentru monotonia și pentru rezultatul de mai sus avem în cazul în care cuvinte ca au fost definite ca în demonstrația anterioară. intervale care nu este gol Și Ele sunt în mod evident disjuncte ; din moment ce rațională sunt dense în reală , fiecare dintre aceste intervale de timp pe care le conține cel puțin una, care nu sunt conținute în cealaltă. Pot construi o funcție care bi-unic asociază un număr rațional la fiecare interval de tipul că acesta conține, care intervalul este saltul funcției în punctul de discontinuitate :

-

Deoarece numerele raționale sunt numărabile , numărul de puncte de discontinuitate în este cel mult numărabilă.

QED

Aceste proprietăți sunt motivul pentru care funcțiile monotone sunt utile în activitatea tehnică de " analiză matematică . Două proprietăți cu privire la aceste funcții sunt:

  • de sine este o funcție monotonă definită pe un interval , asa de Este derivabila aproape peste tot pe , Adică, setul de valori în pentru care nu este diferențiabilă în Are măsură ceva , și derivatul de nu este negativ în cazul în care este în creștere (pozitiv dacă este strict crescătoare), nu este pozitiv în cazul în scădere (negativ dacă este strict descrescătoare); această ultimă afirmație este un corolar al teoremei lui Lagrange .
  • de sine este o funcție monotonă definită pe un interval , asa de Este integrabilă în conformitate cu Riemann .
Graficul unei funcții non-monotonă dar unimodală ( clopotul gaussiană )

O aplicație importantă a funcțiilor monotone pe care le are în teoria probabilității . De sine Este o variabilă aleatoare , sa funcția de distribuție cumulativă

este o funcție monotonă în creștere.

O funcție este unimodală dacă este în creștere până la monoton un anumit punct de pornire ( moda ) și apoi este monoton descrescătoare.

Exemple

  • O transformare liniară este în creștere, dacă și numai dacă .
  • Funcțiile exponențială , sinusului hiperbolic și tangentă hiperbolică este în creștere pentru fiecare real.
  • Funcțiile sinusul și cosinusul nu sunt monotone , Deoarece acestea oscilează continuu între Și . Pentru aceasta poate fi apoi scuturați considerând restricția într - un interval de amplitudine adecvat : Prin convenție, se adoptă intervalul de san (În care sânul este strict în creștere de la la ) Și pentru cosinusul intervalul (Unde cosinusul este strict în scădere de la ).
  • Funcția pătratic este în creștere pentru fiecare pozitive și în scădere pentru fiecare negativ.
  • , cu orice funcție reală este non-descrescătoare.
  • Funcția integrală , cu orice funcție non-negativ, acesta este non-descrescătoare.

Monotonie în teoria comenzilor

În teorie , pentru că nu se limitează la numerele reale, dar are de a face cu seturi parțial ordonate arbitrare sau chiar cu seturi de precomandat . În aceste cazuri, definițiile date mai sus monotonie rămân valabile, deși termenii „ în creștere“ și sunt evitate „ în scădere“, deoarece acestea își pierd sensul lor grafic de îndată ce are de a face cu sisteme care nu sunt totale . Plus relațiile strânse Și acestea sunt puțin utilizate în multe sisteme non-totale și se introduce terminologia, prin urmare, nu suplimentară pentru ei.

Conceptul dublu este adesea numit antitonia, anti-monotonie sau de mers inapoi ordine. Prin urmare, o funcție antitone satisface următoarea proprietate:

pentru fiecare Și în domeniul său. Este ușor de observat că compoziția a două funcții monotone este ea însăși monoton.

O funcție constantă este atât monotonă că antitona; invers, dacă care este atât antitona monoton, iar în cazul în care domeniul de Este un grilaj , atunci trebuie să fie constantă.

funcție monotonă sunt de primă importanță în teoria ordine. Unele funcții monotone demne de notat sunt scufundări ordine (comandă încorporarea) (funcții pentru care și izomorfisme ordine (scufundări surjective ).

logica monotonă

Monotonia implicație este o proprietate a multor sisteme logice , care prevede că ipotezele fiecărui fapt derivate poate fi extins în mod liber , cu ipoteze suplimentare. Fiecare declarație că a fost adevărat într - o logică cu această proprietate, acesta va fi în continuare adevărat după adăugarea de orice nouă axiomă (consistentă). Logică cu această proprietate poate fi apeluri monotonă pentru a fi diferențiată de logică nu monoton .

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică